Transcript Génération de nombres aléatoires
Simulation
Ramon Puigjaner Universitat de les Illes Balears Palma, Espagne
Université Paul Sabatier. Toulouse
INDICE
Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles
Université Paul Sabatier. Toulouse.
2
SIMULATION
Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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SIMULATION La simulation est essentiellement une technique d’échantillonnage statistique contrôlé à partir d’un programme que représente le comportement dynamique de système à étudier.
Les contreparties de la libération des contraintes de modélisation sont: un coût plus grand de préparation du modèle un temps machine plus grand pour l’obtention des résultats.
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SIMULATION Puisqu’un système informatique est un automate à états discrets, la simulation sera à événements discrets mais avec des changements d’état à des instants aléatoires.
Les nouveaux problèmes sont: la génération de nombres aléatoires la gestion du temps simulé et des événements bloqués l’extraction de résultats statistiques et estimation de ses intervalles de confiance
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SIMULATION Les phases à suivre sont: Formulation du modèle de simulation Construction du modèle Conception des expériences de simulation Validation du modèle de simulation Exécution des expériences de simulation et analyse des résultats.
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INDICE
Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Trois sont les résoudre: problèmes fondamentales à Génération de séquences uniformes Vérification de l’aléatorieté des séquences uniformes Génération de nombres aléatoires avec d’autres distributions.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Un générateur de nombres aléatoires (ou plus précisément de nombres pseudoaléatoires) est un algorithme que produit des séquences de nombres que suivent une distribution de probabilité uniforme et qu’ont un aspect aléatoire.
La génération se fait sur l’intervalle ]0, 1[.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Il peut être surprenant que les algorithmes de génération de nombres aléatoires soient basés sur une récurrence déterministe où chaque nombre est fonction du précédant.
La vraie aléatorieté exige l’indépendance des successifs nombres générés; néanmoins le choix soigneux des permet obtenir paramètres de génération, des séquences avec une apparence tout à fait aléatoire.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes La plupart des générateurs de nombres aléatoires uniformes sont du type congruentiel linéaire:
X n
+ 1 =
aX n
+
c
(mod
m
)
m
, le modulo,
m
> 0;
a
, le multiplicateur, 0
a
<
m
;
c
, l’incrément, 0
c
<
m
;
X
0 , la valeur initiale, 0
X
0 <
m
.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes L’application de la récurrence produit une séquence de nombres entiers {
X n
} =
X
1 ,
X
2 , . . . considérée comme de nombres aléatoires uniformes distribués entre 0 et
m
- 1. Les nombres aléatoires uniformes distribués dans l’intervalle ]0, 1[s’obtiennent par la division par
m
,
U n
=
X n
/
m
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Par exemple, la séquence obtenue pour =
a
=
c
= 7, est
m
= 10 et
X
0 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, . . . .
Cet exemple met en évidence que la séquence congruentielle arrive toujours à une boucle. Afin que la séquence soit utile il faut que la période soit longue.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Le cas spécial de
c
= 0 mérite une attention spéciale permettant un processus de génération plus rapide.
Cependant le choix de période.
c
= 0 raccourcit la
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Le choix du modulo
m
doit se faire en tenant compte des caractéristiques suivantes:
m
doit être assez grand afin de permettre que la période le soit aussi.
Le besoin que l’opération (
aX n
Donc,
m
+
c
) mod
m
soit rapide.
doit être 2 puissance la longueur du mot en bits
e
; le calcul du reste devient une troncature.
w
= 2
e
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Une autre technique est choisir comme modulo
m
=
w
±
1, avec
c
= 0.
Après le produit premier
q aX
, le résultat est dans deux registres; le (quotient de la division par
w
) et le deuxième
r
(reste de la division par
w
). Si
m
=
w
+ 1
aX
=
q
(
w
+ 1) + (
r
-
q
) et (
aX
) mod(
w
selon que
r
-
q
+ 1) serait égal à 0 ou
r
-
q r
-
q
ou à
r
-
q
< 0, respectivement.
+ (
w
+ 1)
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Le choix du multiplicateur et du modulo déterminent la longueur de la période et l’aspect aléatoire des nombres.
Ce choix doit être fait d ’accord avec une série de théorèmes que permettent une longue période.
Une longue période s’obtient si le modulo est une puissance d ’un nombre premier ou, encore mieux, s ’il est un nombre premier.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Dans les machines avec un mot de 32 bits, le choix évident serait
m
= 2 31 .
Un générateur multiplicatif (
c
= 0) avec
m
= 2 31 a une période maximale de longueur et la longueur de la période peut dépendre aussi de la valeur initiale.
m
/4 =. 2 31 /4 = 2 29 Si le modulo est premier, la période maximale possible est
m
- 1. Par chance, le plus grand premier plus petit que 2 31 est 2 31 - 1 = 2147483647.
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SIMULATION: Nombres aléatoires Génération de séquences uniformes Cependant, les conditions qu’assurent une période maximale ne le font pas simultanément avec les bonnes caractéristiques d’aleatorieté.
Dans ce cas le choix du multiplicateur les deux conditions.
a
= 7 5 satisfait
X n
+ 1 = 7 5
X n
mod ( 2 31 - 1) = = 16807
X n
mod (2147483647)
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Vérification nombres aléatoires
Puisque les résultats d’une simulation dépendent d’une apparence d’aléatorieté, il faut vérifier le générateur à l’aide de plusieurs tests statistiques.
Chaque séquence doit être vérifiée avec soin. Il y a deux types de tests: tests empiriques pour un séquence de quelques nombres consécutifs.
tests théoriques pour la totalité de la séquence.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Tests généraux employés: Chi 2 pour des distributions discrètes Kolmogorov-Smirnov pour des distributions continues
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Il s ’agît d ’une batterie de tests, chacun décrivant une condition nécessaire d’aléatorieté.
On accepte par convention que si le générateur passe toute la batterie cela représente une condition suffisante d ’aléatorieté.
Chaque test est basé sur la description d ’une caractéristique intuitive d ’aléatorieté.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Le test d’équidistribution contrôle que la distribution uniforme de la séquence entre 0 et 1.
Le test serial consiste à vérifier que les paires de nombres consécutifs sont uniformément distribuées.
On peut généraliser ce test à des triples, quadruples, etc., mais alors de nombre d’échantillons croit très rapidement.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Le test des lacunes prétend examiner la longueur des "lacunes" entre apparitions de
U j
dans le domaine entre
a
et
b
, avec 0
a
,
b
1.
On considère les longueurs des sous-séquences consécutives
U j
,
U j
+ 1 , ...,
U j
+
r
où
U j
+
r
se trouve entre
a
et
b
mais non les autres
U
. Cette sous séquence est une lacune de longueur
r
. Si
p
=
b
-
a
la distribution des longueurs doit suivre la distribution:
p
0 =
p
,
p
1
p t
- 1 =
p
(1 =
p
(1 -
p p
)
t
), - 1
p
2 ,
p t
=
p
(1 = (1 -
p p
)
t
) 2 , ...,
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Le test du poker considère groupes de cinq entiers successifs (
Y
5
j
,
Y
5
j
+ 1 , ...,
Y
5
j
+ 4 ) et on observe lequel de ces sept possibilités coïncide avec le quintuple: Toutes différentes :
abcde
Paire:
aabcd
Double paire:
aabbc
Trio:
aaabc
Fool:
aaabb
Poker:
aaaab
Repoker:
aaaaa
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Le test du collectionneur observe la longueur des séquences
Y j
+ 1 ,
Y j
+ 2 , ...,
Y j
+
r
nécessaire pour obtenir un ensemble complet d’entiers (un élément dans chaque classe) entre 0 et
d
- 1.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Le test de la permutation découpe la séquence en
n
1 groupes de
t
éléments chacun, (
U jt
,
U jt
+ 1 , ...,
U jt
). Les éléments de chaque groupe peuvent avoir + permutations relatives possibles
t t
!
toutes équiprobables. Par exemple, si
t
= 3, nous avons six 1 permutations possibles
U U
3 3 <
j j
+ 2 < + 2
U
3
j
.
<
U U
3 3
j j
+ 1 , ou , ou
U
3
j U
3
j U
3
j
+ 2 < + 1 <
U
3
j
<
U
3
j U
3
j
<
U
3
j
< + 1 + 1 <
U
3
j U
3
j
+ 2 , ou + 2 , ou
U
3
j
, ou + 2
U
3 <
j U
3
j
+ 1
U
3
j
< < +
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Test des monotonies ascendantes ou descendantes dans lesquelles on mesure sa distribution de longueurs.
|
1 2 9
|
8
|
5
|
3 6 7
|
0 4
|
Test du maximum de
U tj
+
t
avec 0 - 1
x
1.
t
:
V j
=
max
(
U tj
, ) suit la fonction de distribution
U tj F
(
x
+ 1 , ..., ) =
x t
,
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests empiriques de vérification
Test des collisions: nous avons
m
urnes et nous lançons
n
balles au hasard,
m
etant beaucoup plus grand que
n
. La plupart des balles tombera dans des urnes vides, mais si une balle tombe dans une urne où il y a au moins une balle, alors nous disons que se produit une collision. Le test des collisions en compte le nombre Test d ’autocorrélation effectué par calcul du coefficient d’autocorrélation.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests théoriques de vérification
Le test spectral est une façon théorique de tester les générateurs de nombres aléatoires.
Il considère la totalité de la séquence.
Si nous représentons sur un axe une séquence de nombres réellement aléatoires uniformément répartis entre 0 et 1, dans sa représentation dans un ordinateur, nous découvrirons qu’il y a des trous entre deux points consécutifs à cause de la représentation discrète des nombres.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests théoriques de vérification
Si nous représentons sur un plan des paires de valeurs d’un séquence de nombres réellement aléatoires dans sa représentation dans un ordinateur, nous découvrirons qu’ils se qu’il y avait entre les points sur l’axe.
distribuent uniformément sur le carré unitaire et que la plus petite distance entre points est la même que celle Le même arrive pour des triplets, quadruples, etc.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests théoriques de vérification
Si nous représentons tous les nombres d ’une séquence pseudo-aléatoire sur un axe, nous retrouverons la même structure qu’avec les nombres réellement aléatoires.
Si nous représentons tous les paires de valeurs pseudo aléatoires dans le carré unitaire, nous découvrons que nous pouvons recouvrir tous les points avec un nombre réduit de lignes droites parallèles équidistantes; en outre, il y a plusieurs ensembles de droites recouvrant tous les points. La distance minimale entre droites est plus grande que dans le cas aléatoire pur.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests théoriques de vérification
Si nous considérons le même générateur en trois dimensions nous pouvons découvrir aussi des familles de plans équidistants recouvrant la totalité des points, dont la distance minimale est encore plus grande.
Le même arrive si on augmente la taille des groupes.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Tests théoriques de vérification
La différence essentielle entre les séquences périodiques et les vraiment aléatoires est que, puisque nous avons fait une troncature des nombres, la distance est la même dans toutes les dimensions, tandis que dans les séquences périodiques la augmente diminue quand la dimension fait aussi.
Le taux de croissance des distances nous donne une idée de la qualité du générateur.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Génération des lois non uniformes
La génération des nombres aléatoires selon une loi de distribution non uniforme peut être résolu par la distribution inverse.
Cependant cette fonction inverse n’est pas toujours calculable ou son calcul peut être difficile. Il faut disposer de méthodes pour générer des valeurs distribuées selon une loi de façon exacte, rapide, facile de programmer et économique en mémoire.
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SIMULATION: Nombres aléatoires
Génération des lois non uniformes
Ces méthodes peuvent être groupées en six classes non totalement disjointes: fonction inverse composition refus-acceptation décomposition caractérisation comparaison
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SIMULATION: Nombres aléatoires Fonction inverse
F
(
x
) 1
U
0
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x
=
G
(
U
) 37
SIMULATION: Nombres aléatoires Refus-acceptation
U
2
U
>
f
(
U
), refuser 2 1 0
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U
£
f
(
U
) , accepter 2 1
U
1 38
SIMULATION: Nombres aléatoires Décomposition On représente la distribution de faciles à générer.
X
par un mélange linéaire convexe de distributions d’une variable et
f X
(
x
) =
p
1
f
1 (
x
) + ... +
p k f k
(
x
) {
p i
} sont non négatives et sa somme est l’unité {
f i
(
x
)} sont fonctions de densité de probabilité.
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INDICE
Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles
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SIMULATION: Organisation d’un simulateur Contrôle du temps dans un simulateur Pour établir la temporisation et la synchronisation des événements simulés nous pouvons employer deux méthodes: temporisation synchrone ou avancement par des temps unitaires temporisation asynchrone ou avancement par des événements
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SIMULATION: Organisation d’un simulateur Structures de données dans un simulateur Dans une simulation les changements d’état se produisent comme conséquence des événements.
L’état du système est représenté par un ensemble d’objets décrivant des entités (clients, serveurs, etc.) Les rapports entre objets sont décrits à l’aide des structures de données telles que listes, files FIFO, piles, tableaux, etc.
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Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre Choix de la dimension de l’échantillon Méthodes indépendants pour des échantillons
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre L’objectif d’une simulation est la recherche de la performance du système en régime stationnaire ou permanent.
Il faut choisir les conditions initiales et détecter régimes transitoires.
Pour l ’étude d ’un régime stationnaire on doit initier la simulation dans un état qui soit, si possible, représentatif des conditions du régime permanent afin de réduire au maximum la durée du transitoire.
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre Déterminer si le système a atteint le régime permanent n’es pas toujours simple, puisque ce régime permanent est défini par les probabilités des états et non par une simple valeur.
Le régime permanent étant une condition limite, il n’y a pas un instant précis à partir duquel on puisse considérer le système en équilibre.
La durée de la période transitoire dépend des conditions initiales.
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre Initier la simulation dans un des états typiques accélère l’arrivée au régime permanent.
Il faut estimer sa durée afin d’éviter que les données collectées pendant cette période nuisent les résultats.
Idéalement il faut sélectionner les conditions initiales d’après la distribution en régime permanent (inconnue).
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre Dans la pratique la recherche des conditions initiales se base dans ou quelque connaissance préalable ou les résultats de simulations pilote ou des études préalables avec des modèles analytiques ou par facilité de définition.
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SIMULATION: Obtention de résultats Conditions initiales, transitoires et équilibre Pour estimer sa durée il faut faire un certain nombre d’exécutions pilote à partir des mêmes conditions initiales et comparer les distributions observées à des instants différents de la simulation.
Pour ce faire il n’y a qu’à choisir pour chaque exécution pilote une valeur initiale différente générateur des nombres aléatoires.
X
0 du
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SIMULATION: Obtention de résultats Echantillons indépendants Méthode des répétitions Méthode des moyennes des lots Méthode régénération Echantillons corrélés Méthode spectrale
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SIMULATION: Obtention de résultats Méthode des répétitions On fait
m
exécutions indépendantes du modèle avec observations dans chacune.
n
L’indépendance est atteinte par l’utilisation de différentes successions de nombres aléatoires dans chaque exécution à partir du même état initial.
On peut considérer qu’on a obtenu un ensemble d’observations {
Y i
(
j
) } pour 1
i
n
et 1
j
m
; au total
N
=
mn
observations.
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SIMULATION: Obtention de résultats Méthode des répétitions La moyenne des échantillons de la sera
Y
(
j
)
i n
1
Y i
(
j
)
n
pour
j j
-ième répétition 1 , 2, ...,
n
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SIMULATION: Obtention de résultats Méthode des répétitions La meilleure estimation de la moyenne de la population m sera alors
Y
j m
1
Y j m
j m n
1 1
i Y j
(
i
)
n
et la variance de l’échantillon 2
y
m
1 1
j m
1
Y
(
j
)
Y
2
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SIMULATION: Obtention de résultats Méthode des répétitions Si
n
est assez grand, la distribution des moyennes de chaque répétition tend vers la normale. Alors la distribution de la variable
Y
m 2
y
/
m
peut être approchée par une distribution avec
m
- 1 degrés de liberté.
t
de Student
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SIMULATION: Obtention de résultats Méthode des répétitions L’intervalle de confiance est donné par
Y
t
/ 2 ,
m
1
m
2
y
Si
m
est grand, on peut remplacer la loi de Student par la normale; l’intervalle de confiance sera alors
Y
z
/ 2
m
2
y
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des moyennes des lots (
batch means
)
Elle consiste à faire une exécution assez longue du modèle tout en partageant l’ensemble des observations de l’exécution en
m
lots de
n
observations.
Si
m
est assez grande les observations successives ne seront pas pratiquement pas corrélées.
Les formules sont identiques a celles de la méthode précédente.
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
On peut utiliser cette méthode régénérative si le système a une succession de points de régénération Dans un point de régénération, le système se trouve dans les mêmes conditions d’état et dont tout ce qui s’est passé avant cet instant n’influence pas le futur.
Dans ce type de systèmes il n’y a pas de régime transitoire et la simulation est divisée en une séquence de blocs indépendants et également distribués.
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
Les problèmes de la méthode régénérative sont: déterminer s’il y a des points de régénération s’il y en a, il faut que le système y retourne assez fréquemment Les avantages de cette méthode sont: la certitude d’avoir des observations indépendantes, ce qui permet des meilleurs estimateurs.
la non-existence de transitoires.
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
Trouver des points de régénération est très facile dans les réseaux ouverts, où le réseau vide l’est.
Dans les réseaux fermés la détermination de ces points est difficile et, en général, on ne connaît que des approches que n’incluent pas normalement les réseaux résultant de la modélisation des systèmes informatiques et téléinformatiques.
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
On veut estimer la valeur de quelque fonction
E
[
f
(
X
)].
r
Chaque cycle génère une paire (
Y i
,
d i
), où
Y i
est l’intégrale de
f
(
X
(
t
)) au long de l’
i
-ième cycle
d i
est la longueur de ce cycle.
Alors les paires de variables aléatoires (
Y
1 , ..., (
Y i
,
d
distribuées
r
i d
1 ), (
Y
2 ,
d
2 ), ), ... sont indépendantes et identiquement lim
t
t
f
X t
du
E E
i
i
=
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
Si le simulateur passe par
n
points de régénération et on calcule les moyennes et les variances des
Y
et des
d
, et la covariance des deux séquences Alors nous pouvons utiliser comme estimateur de quotient entre les moyennes des deux séquences
r
ˆ
Y
ˆ /
d
ˆ
r
le
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode des régénérations
Une expression approchée de l’intervalle de confiance peut se déduire de la normalité asymptotique de la variable
Y i
-
rd i
:
r
ˆ
z
d
ˆ / 2
n
r
r
ˆ
z d
ˆ / 2
n
où 2 2
y
2
r
ˆ
yd
r
ˆ 2 2
d
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SIMULATION: Obtention de résultats
Méthode spectrale
Pour l’étude de modèles de ce type il est conseillé de consulter un ouvrage spécialisé
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INDICE
Introduction
Génération de nombres aléatoires
Organisation d’un simulateur
Approches pour l’obtention de résultats
Construction des modèles Université Paul Sabatier. Toulouse.
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SIMULATION: Construction de modèles Langages de simulation langages de programmation avec des extensions comme GASP (FORTRAN), SIMULA (ALGOL) ou SMPL (C).
langages de SIMSCRIPT.
simulation comme GPSS et paquets de simulation fermés orientés à des systèmes informatiques ou téléinformatiques comme MODARCH, NETWORK, OPNET, etc.
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SIMULATION: Construction de modèles Langages de modélisation Langages de d’attente par des: programmation structurés pour construire et traiter des modèles de réseaux de files méthodes analytiques exactes et/ou approchées méthodes de simulation méthodes numériques markoviennes Entre autres nous pouvons trouver QNAP2, RESQ, BEST-1, LQNS, etc.
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