Transcript 1 + - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Mathématiques SN
La fonction
EXPONENTIELLE
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Rappels sur les lois des exposants
TERMINOLOGIE
base exposant = puissance
Ex. : 32 = 9
NOTATION



LOIS DES EXPOSANTS

a1 = a

a0 = 1
a -m =
1
am

a½ =
a⅓ =
a⅔ =
a
3
3
a
a2



am • an = a m + n
am
an

= am – n
(ab)m = am bm
a
b
m
=
am
bm
 (am)n = amn
EXEMPLES sur les LOIS



am • an = am + n
Ex. #1 :
34 • 33 = 37
Ex. #2 :
x • x5 = x6
Ex. #3 :
7x + 8 = 7 x • 78
am
an
=
Ex. #1 :

am – n
(ab)m = am bm
(3x)4 =
Ex. #2 :
x7 • y7 = (xy)7
a
b
m
=
Ex. #1 :
= 55
Ex. #2 :
53
Ex. #2 :
bm
3
x
x5
y5
= x-3 =
x4
Ex. #3 :
am
4
58
6x – 2 =
34 • x4
Ex. #1 :
2
=
=
32
42
x
5
y
1
x3

(am)n = amn
6x
62
Ex. #1 :
Ex. #2 :
(34)2 = 38
x8 = (x8)½ = x4
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = cx
(forme générale de BASE)
Exemple : f(x) = 2x
f(x) = acb(x – h) + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
Exemple : f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5
f(x) = acx – h + k
(forme CANONIQUE)
Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = 2x
(forme générale de BASE où c  1 )
x
f(x)
0
1
1
2
2
4
3
8
-1
½
-2
¼
1
1
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = ( 1 )x (forme générale de BASE où c  ] 0 ,1 [ )
2
x
f(x)
0
1
1
½
2
¼
3
0,1
-1
2
-2
4
1
1
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = - 2x
(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)
x
f(x)
0
-1
1
-2
2
-4
3
-8
-1
-½
-2
-¼
1
1
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = 2-x
(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)
x
f(x)
0
1
1
½
2
¼
3
⅛
-1
2
-2
4
1
1
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = 2 • 3x – 1 – 5
x
f(x)
0
- 4,3
1
-3
2
1
3
13
(forme générale TRANSFORMÉE)
1
1
y = - 5 (asymptote)
-1
- 4,8
-2
- 4,9
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Équations et graphique
f(x) = a cb(x – h) + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
c  ] 0 ,1 [
y = k
c1
Équation de l’asymptote
Dom f = 
Ima f = ] k , +∞
1
1
y = k (asymptote)
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Résolutions d’équations
2 méthodes :
1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base exponentielle
2- Utiliser les logarithmes
Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .
Exemple #1 :
Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .
0 = 11 (72x – 1) – 539
539 = 11 (72x – 1)
49 = 72x – 1
72 = 72x – 1
2 = 2x – 1
3 = 2x
3 = x
2
Réponse :
x{ 3 }
2
Exemple #2 :
Trouver le zéro de la fonction f(x) =
1 (6x+1) – 108 .
2
0 = 1
(6x+1) – 108
2
108 = 1 (6x+1)
2
216 = 6x+1
63 = 6x+1
3 = x+1
2 = x
Réponse :
x{2}
Exemple #3 :
Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( 1 )3x – 1 .
5
0 = 625 ( 1 )3x – 1
5
1
= ( 1 )3x
625
5
1
= ( 1 )3x
54
5
( 1 )4 = ( 1 )3x
5
5
4 = 3x
4 = x
3
Réponse :
x{ 4 }
3
Exemple #4 :
Résoudre ( 1 )8x = 2-10x + 18 .
4
( 1 )8x = 2-10x + 18
22
(2-2)8x = 2-10x +18
2-16x = 2-10x + 18
-16x = -10x + 18
-18 = 6x
-3 = x
Réponse :
x  { -3 }
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Recherche de l’équation
A) À partir d’éléments du GRAPHIQUE
Exemple :
Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :
a) La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et
l’équation de l’asymptote est y = 0.
Exemple :
Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :
a) La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et
l’équation de l’asymptote est y = 0.
f(x) = acx + k
Système
d’équation
(forme CANONIQUE où h = 0)
- 20 = ac1 + 0
(1)
(avec le point A)
- 500 = ac3 + 0
(2)
(avec le point B)
(2) / (1) :
- 500 = ac3
- 20 = ac1
25 = c2
5 = c
(3) dans (1) :
(3)
- 20 = a(5)1
-4 = a
Réponse :
f(x) = - 4 (5)x
Exemple :
Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des
informations suivantes :
b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et
l’équation de l’asymptote est y = 5.
f(x) = acx + k (forme CANONIQUE où h = 0)
Système
d’équation
29 = ac1 + 5
(avec le point A)
24 = ac1
(1)
653 = ac4 + 5
(avec le point B)
648 = ac4
(2)
(2) / (1) :
648 = ac4
24 = ac1
27 = c3
3 = c
(3) dans (1) :
(3)
24 = a(3)1
8 = a
Réponse :
f(x) = 8 (3)x + 5
B) À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTS » …
Formule « utile » pour ce genre de problème…
Temps
Taux
d’intérêt
C(t) = Co (1 +
i
)kt
k
Capital
accumulé
Capital
initial
Nombre de
fois que C(t)
est capitalisé
Exemple :
On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel
de 5%. On t’offre trois options.
a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.
b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.
c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.
Laquelle est la plus avantageuse ?
C(t) : Ce qu’on cherche
Données
Co = 1000 $
i = 5%
k = 1 fois par année (en a)
3 fois par année (en b)
12 fois par année (en c)
a) Règle générale…
Après 3 ans…
C(t) = 1000 (1 + 0,05
1
C(t) = 1000 (1,05)t
)1t
C(3) = 1000 (1,05)3
C(3) ≈ 1157,63
Réponse : 1157,63 $
Exemple :
On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel
de 5%. On t’offre trois options.
a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.
b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.
c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.
Laquelle est la plus avantageuse ?
a) Règle générale…
Après 3 ans…
C(t) = 1000 (1 + 0,05
)1t
C(3) = 1000 (1,05)3
C(3) ≈ 1157,63
1
C(t) = 1000 (1,05)t
Réponse : 1157,63 $
b) Règle générale…
Après 3 ans…
C(t) = 1000 (1 + 0,05
)3t
C(3) = 1000 (1,01667)3(3)
C(3) ≈ 1160,40
3
C(t) = 1000 (1,01667)3t
Réponse : 1160,40 $
c) Règle générale…
Après 3 ans…
C(t) = 1000 (1 + 0,05
)12t
12
C(t) = 1000 (1,0041667)12t
C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)
C(3) ≈ 1161,47
Réponse : 1161,47 $
C) À partir d’un problème de « BACTÉRIES » …
Exemple :
Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques
de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il
plus de 128 000 ?
N(t) = 500 (2)t/5
128 000 = 500 (2)t/5
256 = (2)t/5
28 = 2t/5
8 = t
5
40 = t
Réponse : Après 40 heures.
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLEBase naturelle « e »
Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme « constante de Néper »
et qui est symbolisée par la lettre « e » dont la valeur est environ :
e ≈ 2,7182818…
C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de
nombreuses modélisations de phénomènes naturels.
Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :
e1 ≈ 2,7182818…
e2 ≈ 7,39
e3 ≈ 20,0855
etc.
Graphique de la fonction f(x) = ex
f(x) = ex
(forme générale de BASE où c  1 )
x
f(x)
0
1
1
~ 2,72
2
~ 7,39
3
~ 20,09
-1
~ 0,37
-2
~ 0,14
1
1
Mathématiques SN
- La fonction EXPONENTIELLE Résolutions d’inéquations
Exemple :
Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 .
-26 + 234 (3-0,08x) < 52
234 (3-0,08x) < 78
3-0,08x <
1
y = 52
3
3-0,08x < 3-1
10
-0,08x < -1
x  12,5
Réponse :
x  ] 12,5 , + ∞
3
y = - 26 (asymptote)