Transcript 功與功能定律
功 (work) 的定義
動能 位能 功能定律
功 work 的概念
力作用在物體上,改變物體的運動狀態,
表示施力者傳遞某些能量給物體;物體總
能量改變,運動狀態就改變
這種因為『施力所傳遞的能量』就稱為
『力對物體做的功』
傳遞能量為一個『過程』,所以一定有個
開始的時間(或位置)和一個結束的時間(或
起點)
功 work 的定義-定力時
力作用在物體上,使物體產生位置的改變
F
S
力只有在位移方向的分量,對物體的移動
才有影響,所以定義
W F cosθ S F S
功 work 的定義-非定力時(一維)
功 work 的定義-非定力時(一維)
每移動一小段Δxj
外力對物體作功
ΔWj=Fj,avgΔxj
功 work 的定義-非定力時(一維)
所以由xi移動到xf
外力作功的總合
W Fj.avg x j
功 work 的定義-非定力時(一維)
W Fj ,avg x j
xf
F ( x ) dx
xi
功 work 的定義-非定力時
功 work 的定義-非定力時
F
功 work 的定義-非定力時
力作用在物體上,使物體產生位置的改變
物體位移 ds ,力對其做功
dW=F.ds . cosθ
所以由 Pi 到 Pf 過程,力作功的總和
Pf
rf
Pi
ri
W F ds F ds
功 work 的定義-非定力時
Pf
rf
Pi
ri
W F ds F ds
xf
yf
zf
xi
yi
zi
Fx dx y Fy dy Fz dz
功(能量)的單位
W F S
1N m 1 joule 1J
1J 1 10 dyne 100cm
5
1 10 dyne cm 1 10 erg
7
7
內積的運算
內積、scalar product、dot product
運算符號『‧』
運算方式
A B A B cos A B cos
A
θ
B
練習
兩向量 A 5iˆ ˆj 10kˆ , B 2iˆ 4 ˆj kˆ
求 A B 。
(a) +4
A B (5 2) (1 (-4)) ((-10) 1)
(b) -4
10 - 4 - 10 -4
(c) -5
(d) 15.8
練習
已知一定力 F 2iˆ ˆj 4kˆ N 作用於一質點上,使其
ˆ
ˆ
ˆ
由 r1 2i j 4k m的位置移動到 r2 2ˆi ˆj - kˆ m,
求此力所做的功。
(a) 18J
(b) 20J
(c) -20J
(d) 7J
W F Δr F (r2-r1 )
(2ˆi ˆj - 4kˆ ) (0ˆi - 2 ˆj - 5kˆ )
0 - 2 20 18J
Example 1
施一水平力 F 於小球,使其保持平衡的緩慢由垂
直位置升至θ=θ0 (如圖所示、線長L、小球質量
m),以功的定義求 F 對小球所作的功。
θ
(1)平衡→合力為零→先求出 F
(2)因為 W F d s 所以
須了解 ds 與 F 的夾角
(3)代入計算、積分
F
練習:
F 與 ds 的關係圖何者正確?
θ
θ
ds
(d)
F
(b)
θ
θ
F
ds
θ
F
F
ds
(a)
θ
ds
(c)
練習:
F 與 ds 的關係圖何者正確?
θ
ds
θ
θ
F
F ds F ds cosθ
ds 沿著切線方向移動,所以與
T(即線)的方向垂直
練習:
F 與 ds 的關係圖何者正確?
θ
ds
θ
θ
F
F ds F ds cosθ
ds 弧長 L dθ
F ds m g tanθ L dθ cosθ m g L sin θ dθ
練習
施一水平力 F 於小球,使其保持平衡的緩慢由垂
直位置升至θ=θ0 (如圖所示、線長L、小球質量
m),則 F 對小球做了多少功?
(a) mgL(cosθ0 - 1)
(b) mgL(1- cosθ0 )
(c) mgL(1- sin θ0 )
(d) mgL( sin θ0 - 1)
θ
F
練習
θ
F ds F ds cosθ
ds 弧長 L dθ
F ds m g tan θ L dθ cosθ
θ
F
m g L sin θ dθ
θ0
W m gLsin θdθ m gL(- cosθ ) 0
θ0
0
m gL( cos 0 - cosθ0 )
o
m gL(1- cosθ0 )
ds
θ
練習
一力 F(x)=5x N 作用於物體上,則物體由x=0
移動到x=5m過程,此力作功=?
(a) 125 J
(b) 25 J
(c) 62.5 J
(d) 50J
5
W F dx 5 x dx
0
5 25 5 2
x 5 62.5
2 0 2
Power 功率
功率=單位時間內做了多少功
平均功率
Pav=W/Δt
瞬時功率
lim W dW
P
t 0 t
dt
dr
PF
F v
dt
單位 1 watt = 1 joule / second = 1 kg . m2 / s2
1 hp =550 ft .lb/s = 746 W
千瓦小時 1 kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.6 x106 J
動能 kinetic energy 的定義
Pf
rf
Pi
ri
W F ds F ds
F ds Fx dx Fy dy Fz dz
dvx
dx
其中 Fx dx m ax dx m
dx m dvx
dt
dt
m v x dvx
v fx
1
所以 m vx dvx m (v2fx-vix2 )
2
vix
動能 kinetic energy 的定義
Pf
rf
Pi
ri
W F ds F ds
Fx dx Fy dy Fz dz
1
2
2
2
2
2
2
m[(v fx v fy v fz )-( vix viy viz )]
2
1
1 2 1 2
2
2
m(v f -vi ) m vf - m vi
2
2
2
動能的定義 與 功能定律
1 2
K mv
2
1 2 1 2
ΔK m vf - m vi W
2
2
功能定律
外力作用於物體的功的總和
=物體動能的變化量
練習
搖控飛機(質量20kg),初速 vi (5ˆi 3ˆj 6kˆ ) m/s
末速 v f (4iˆ 2 ˆj 10kˆ) m/s 則飛機的動能變化
量=?
(a) 180 J
(b) 360 J
(c) 500 J
(d) 1000 J
1
ΔK m(v 2f -vi2 )
2
20 2
[(4 22 102 ) - (52 32 62 )]
2
10 50 500
位能 potential energy 的定義
Pf
rf
Pi
ri
W F ds F ds
F作功只與前後兩點的位置有關,而和所經的過程
無關,則稱此力為保守力 conservative force。
保守力可以定義相對應的位能
rf
ΔU U f -Ui - Fc ds
ri
位能定義式的“-”
物體於保守力場 Fc 中,緩慢的由 Pi 移動到
Pf ,則此過程必有一外力 F (=-Fc)力同時作
用於物體上。視(保守力場+物體)為一系統,
則此系統受到外力 F 對其作功。由能量守
恆:
外力對系統做的功 W
= 系統能量的改變量
= 系統位能的變化量 ΔU
Pf
Pi
rf
rf
ri
ri
ΔU U f -Ui W F ds - Fc ds
重力位能 : g = constant
地球表面附近,物體所受的重力 mg mgˆj
為定值,物體由高度 yi 移到 yf,(物體+地球)
系統的重力位能變化量為
rf
yf
ri
yi
ΔU U ( y f )-U ( yi ) Fc ds ( m g) dy
m gyf m gyi
m gh
重力位能 : g = constant
位能零點的設定:位能的定義式只能求出兩點
的位能差
欲求出位能對位置的函數須定義位能零點
rf
yf
ΔU U ( y f )-U ( yi ) Fc ds ( m g) dy
ri
U (h)y mgh
i
m gyf m gyi
令 yi 0 處的U ( yi ) 0 U ( y f ) m gyf
U ( y ) m gy
彈力位能 : 理想彈簧
理想彈簧符合虎克定律 F kx
其中 x 為伸長(或壓縮)量,彈簧由伸長量 xi
移變為 xf,彈簧的彈力位能變化量為
rf
xf
ri
xi
ΔU U ( x f )-U ( xi ) Fc ds ( kx) dx
1 2 1 2
kx f kxi
2
2
1 2
U ( x ) kx
2
彈力位能 : 理想彈簧
重力位能 : 大尺度範圍
兩個星體(質量分別為 M、m、相距 r ),兩星
體間的重力吸引力為
GMm
F
rˆ
ds
r
2
rˆ
rˆ ds dr
重力位能 : 大尺度範圍
當兩星體的距離由 ri 變為 rf,兩星體系統的重
力位能變化量為
rf
rf
GMm
ΔU U ( rf )-U ( ri ) Fc ds ( 2 ) dr
r
ri
ri
rf
GMm
GMm GMm
r ri
ri
rf
GMm
U (r)
r
動能的定義 與 功能定律
1 2
K mv
2
1 2 1 2
ΔK m vf - m vi W
2
2
功能定律
外力作用於物體的功的總和
=物體動能的變化量
動能 位能 機械能 與 功能定律
機械能 m echanic energy
E K U
W K Wnc Wc
Wnc 非保守力作的功
Wc 保守力作的功 -U
Wnc -ΔU ΔK Wnc U K E
機械能 與 功能定律
Wnc U K E
非保守力作功的總和 = 系統機械能的變化量
若 非保守力作功的總和 = 0
則 系統機械能的變化量 = 0
即 系統的機械能守恆
Example 2
質量 m 的木塊放在一彈簧(力常數k)上面,最初木
塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮了xo,而後由靜止開始釋
放。若斜面無摩擦,求(a)木塊剛脫離彈簧那瞬間的
瞬時速度?(b)木塊可滑行多遠(從靜止處算起) ?
L=?
xo
θ
Example 2
木塊上滑的過程有三個特殊點:
(1)起始點、木塊靜止、彈簧壓縮 xo
(2)木塊上滑了xo、速度為v2、彈簧恢復原長
(3)木塊上滑到最高點(L)、速度為 0
L=?
(3)
(2)
(1)
xo
θ
練習
設(1)的重力為能為0,則(1)的機械能 E1 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
1 2
(a) kx0 m gx0
2
1 2
(c) kx0
2
xo
θ
(b) m gx0
1 2
(d) kx0 m gx0
2
練習
設(1)的重力為能為0,則(2)的機械能 E2 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
1 2
1 2
(a) kx0 m gx0 m v2
2
2
1 2
(c) m v2 m gx0
2
xo
θ
1 2
(b) m v2 m gx0 sin
2
1 2
(d) m v2 m gx0 sin
2
練習
設(1)的重力為能為0,則(3)的機械能 E3 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
(a) m g( L x0 )
xo
θ
1 2
(b) m v3 m gL sin
2
1 2
(c) kx m g( L x0 ) (d) m gL sin
2
設(1)的重力為能為0,則
L=?
(3)
(2)
(1)
xo
θ
1 2
E1 kx0
2
1 2
E2 m v2 m gx0 sin
2
E3 m gL sin
設(1)的重力為能為0,則
L=?
(3)
(2)
(1)
1 2
E1 kx0
2
1 2
E2 m v2 m gx0 sin
2
E3 m gL sin
xo
θ
E3 - E1 -f L
E2 - E1 -f x0
E3 - E2 - f ( L - x0 )
f m g cosθ μk
若無摩擦,且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg
則 v2 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
xo
θ
1 2
1 2
E1 kx0
E2 m v2 m gx0 sin
2
2
E1 E2 kx02 m v22 2m gx0 sin
v2 ( kx02 - 2m gx0 sin )/m 1.43m /s
練習
若無摩擦,且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg
則 L 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
xo
θ
若無摩擦,且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg
則 L 為何?
L=?
(3)
(2)
(1)
xo
θ
1 2
E1 kx0 E3 m gL sin
2
E1 E3 kx02 2m gL sinθ
2
0
kx
L
0.408m
2m g sinθ
Example 3
質量 m 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與木塊的
動摩擦係數為μk,求木塊到達底部的速度大小?
H
θ
練習
質量 m 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與木塊的
動摩擦係數為μk,設底部的重力位能為0,下列何者
正確? (1)
H
(2)
m gH
(a) E1
sinθ
1 2
(c) E2 m v
2
θ
1 2
(b) E 1 m gH - m v
2
1 2
(d) E2 m v - m gH
2
質量 m 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與木塊的
動摩擦係數為μk,設底部的重力位能為0,下列何者
正確?
(1)
H
(2)
θ
E1 U1 K1 m gH 0 m gH
1 2 1 2
E2 U 2 K 2 0 m v m v
2
2
練習
質量 m 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與木塊的
動摩擦係數為μk,下列何者正確?
(1)
H
(2)
H
(a) E2 - E1 Wnc - f
sinθ
(c) E2 - E1 Wnc - f H
θ
H
(b) E1 - E2 Wnc - f
sinθ
(d) E1 - E2 Wnc - f H
質量 m 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與木塊的
動摩擦係數為μk,設底部的重力位能為0,下列何者
正確?
(1)
H
(2)
θ
H
ΔE E2 - E1 Wnc - f L -f
sinθ
f m g cosθ μk
1 2
H
m v -m gH - f
2
sinθ
練習
質量 m(3.0kg) 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與
木塊的動摩擦係數為0.12,求木塊到達底部的速度大
小?
3m
30o
質量 m(3.0kg) 的木塊由靜止開始往下滑,若斜面與
木塊的動摩擦係數為0.12,求木塊到達底部的速度大
小?
3m
30o
H
ΔE E2 - E1 Wnc - f L -f
sinθ
f m g cosθ μk
1 2
H
m v -m gH - f
v 2 gH (1-cotθ μk ) 6.82m /s
2
sinθ
練習
一個0.11kg的木塊放在一彈簧(彈簧力常數k=40N/m)
上面如圖所示,最初木塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮
了20cm,而後由靜止開始釋放。若木塊往上滑行
60cm後停下,求斜面與木塊的摩擦力為何?
L=60cm
(3)
(2)
(1)
xo
θ
m=0.11kg、k=40N/m、x0=20cm=0.2m、L=60cm=0.6m
L=60cm
(3)
(2)
(1)
xo
θ
1 2
Wnc -f L E3-E1 m gH- kx0
2
1 2
kx0 - m gH
1 2
-f L m gH- kx0 f 2
0.794N
2
L
練習
一個0.11kg的木塊放在一彈簧(彈簧力常數k=40N/m)上面
如圖,最初木塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮了20cm,而後
由靜止開始釋放。若木塊往上滑行60cm後停下,若斜面
與木塊的摩擦力為0.794N,則木塊剛脫離彈簧那瞬間的
瞬時速度?
L=60cm
(3)
(2)
(1)
xo
θ
m=0.11kg、k=40N/m、x0=20cm=0.2m、L=60cm=0.6m
L=60cm
f=0.794N
(3)
(2)
(1)
xo
θ
1 2 1 2
Wnc -f x0 E2 -E1 m gx0 sin m v - kx0
2
2
1 2
1 2
m v -f x0 - m gx0 sin kx0 0.5334
2
2
2 0.5334
v
3.11m /s
0.11
練習
一質點質量 m 由 H 沿無摩擦軌道處滑落。為了讓
m 滑至最高點仍不脫離軌道,H 最少需多高?
R
H
(a) 2.0R
(d) 2 2 R
(b) 3.0R
(c) 2.5R
R
H
先考慮在最高點的最小速度應多大 ?
2
v
m g N m 當 N 0 時 v vmin
R
vmin gR
1 2
1
E1 m gH , E2 m g(2 R) m vmin 2m gR m gR
2
2
H 2.5R
練習
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由
靜止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時
的速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
(a)
θ
(b)
Fc
mg
θ
θ
N
mg
(c) θ
Fc
(d)
θ
mg
N
mg
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由
靜止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時
的速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
N θ
θ
mg
練習
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由
靜止往下滑,下列何者敘述正確?
(a)下滑過程為等加速度運動
(b) 下滑過程為等速率圓周運動
N θ
θ
(c) 因為下滑速率越來越快,
所以只有切線加速度,
向心方向合力為零
mg
(d)下滑過程為圓周運動, 但速率會越來越快
(e) 因為是圓周運動,所以只有向心加速度,切線方
向合力為零
練習
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜
止往下滑,討論受力方向的座標軸要如何選取?
N θ
N θ
θ
θ
mg
mg
(a)
(b)
因為是圓周運動,分成向心方向和切線方向較好討論
練習
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜
止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的
速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
θ
(a) 2 gR sin θ
(b)
gR sin θ
(c) 2 gR
(d) 2 gR sin θ
(e) 2 gR
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜
止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的
速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
E1
設底端的重力位能 0
θ
E2
1 2
E1 m gR , E2 m gR(1- sin θ) m v
2
Wnc WN 0 ΔE 0 , E1 E2
1 2
m gRsin θ m v v 2 gR sin θ
2
練習
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜
止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的
速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
N θ
θ
θ
mg
(a) 3mgsin
(b) 2mgsin
(c) 2 2mg
(d) 3 2mg
一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜
止往下滑,(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的
速度?(c)此時碗面施於質點的作用力為何?
N θ
向心方向的作用力
θ
2
v
F N-m gsin θ m R
v 2 gR sin θ
mg
N m g sin θ 2m g sin θ 3m g sin θ