Transcript 功與功能定律
功 (work) 的定義 動能 位能 功能定律 功 work 的概念 力作用在物體上，改變物體的運動狀態， 表示施力者傳遞某些能量給物體；物體總 能量改變，運動狀態就改變 這種因為『施力所傳遞的能量』就稱為 『力對物體做的功』 傳遞能量為一個『過程』，所以一定有個 開始的時間(或位置)和一個結束的時間(或 起點) 功 work 的定義－定力時 力作用在物體上，使物體產生位置的改變 F S 力只有在位移方向的分量，對物體的移動 才有影響，所以定義 W F cosθ S F S 功 work 的定義－非定力時(一維) 功 work 的定義－非定力時(一維) 每移動一小段Δxj 外力對物體作功 ΔWj=Fj,avgΔxj 功 work 的定義－非定力時(一維) 所以由xi移動到xf 外力作功的總合 W Fj.avg x j 功 work 的定義－非定力時(一維) W Fj ,avg x j xf F ( x ) dx xi 功 work 的定義－非定力時 功 work 的定義－非定力時 F 功 work 的定義－非定力時 力作用在物體上，使物體產生位置的改變 物體位移 ds ，力對其做功 dW=F．ds ． cosθ 所以由 Pi 到 Pf 過程，力作功的總和 Pf rf Pi ri W F ds F ds 功 work 的定義－非定力時 Pf rf Pi ri W F ds F ds xf yf zf xi yi zi Fx dx y Fy dy Fz dz 功(能量)的單位 W F S 1N m 1 joule 1J 1J 1 10 dyne 100cm 5 1 10 dyne cm 1 10 erg 7 7 內積的運算 內積、scalar product、dot product 運算符號『‧』 運算方式 A B A B cos A B cos A θ B 練習 兩向量 A 5iˆ ˆj 10kˆ , B 2iˆ 4 ˆj kˆ 求 A B 。 (a) +4 A B (5 2) (1 (-4)) ((-10) 1) (b) -4 10 - 4 - 10 -4 (c) -5 (d) 15.8 練習 已知一定力 F 2iˆ ˆj 4kˆ N 作用於一質點上，使其 ˆ ˆ ˆ 由 r1 2i j 4k m的位置移動到 r2 2ˆi ˆj - kˆ m， 求此力所做的功。 (a) 18J (b) 20J (c) -20J (d) 7J W F Δr F (r2-r1 ) (2ˆi ˆj - 4kˆ ) (0ˆi - 2 ˆj - 5kˆ ) 0 - 2 20 18J Example 1 施一水平力 F 於小球，使其保持平衡的緩慢由垂 直位置升至θ=θ0 (如圖所示、線長L、小球質量 m)，以功的定義求 F 對小球所作的功。 θ (1)平衡→合力為零→先求出 F (2)因為 W F d s 所以 須了解 ds 與 F 的夾角 (3)代入計算、積分 F 練習： F 與 ds 的關係圖何者正確？ θ θ ds (d) F (b) θ θ F ds θ F F ds (a) θ ds (c) 練習： F 與 ds 的關係圖何者正確？ θ ds θ θ F F ds F ds cosθ ds 沿著切線方向移動，所以與 T(即線)的方向垂直 練習： F 與 ds 的關係圖何者正確？ θ ds θ θ F F ds F ds cosθ ds 弧長 L dθ F ds m g tanθ L dθ cosθ m g L sin θ dθ 練習 施一水平力 F 於小球，使其保持平衡的緩慢由垂 直位置升至θ=θ0 (如圖所示、線長L、小球質量 m)，則 F 對小球做了多少功？ (a) mgL(cosθ0 - 1) (b) mgL(1- cosθ0 ) (c) mgL(1- sin θ0 ) (d) mgL( sin θ0 - 1) θ F 練習 θ F ds F ds cosθ ds 弧長 L dθ F ds m g tan θ L dθ cosθ θ F m g L sin θ dθ θ0 W m gLsin θdθ m gL(- cosθ ) 0 θ0 0 m gL( cos 0 - cosθ0 ) o m gL(1- cosθ0 ) ds θ 練習 一力 F(x)=5x N 作用於物體上，則物體由x=0 移動到x=5m過程，此力作功=？ (a) 125 J (b) 25 J (c) 62.5 J (d) 50J 5 W F dx 5 x dx 0 5 25 5 2 x 5 62.5 2 0 2 Power 功率 功率=單位時間內做了多少功 平均功率 Pav=W/Δt 瞬時功率 lim W dW P t 0 t dt dr PF F v dt 單位 1 watt = 1 joule / second = 1 kg . m2 / s2 1 hp =550 ft .lb/s = 746 W 千瓦小時 1 kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.6 x106 J 動能 kinetic energy 的定義 Pf rf Pi ri W F ds F ds F ds Fx dx Fy dy Fz dz dvx dx 其中 Fx dx m ax dx m dx m dvx dt dt m v x dvx v fx 1 所以 m vx dvx m (v2fx-vix2 ) 2 vix 動能 kinetic energy 的定義 Pf rf Pi ri W F ds F ds Fx dx Fy dy Fz dz 1 2 2 2 2 2 2 m[(v fx v fy v fz )-( vix viy viz )] 2 1 1 2 1 2 2 2 m(v f -vi ) m vf - m vi 2 2 2 動能的定義 與 功能定律 1 2 K mv 2 1 2 1 2 ΔK m vf - m vi W 2 2 功能定律 外力作用於物體的功的總和 =物體動能的變化量 練習 搖控飛機(質量20kg)，初速 vi (5ˆi 3ˆj 6kˆ ) m/s 末速 v f (4iˆ 2 ˆj 10kˆ) m/s 則飛機的動能變化 量=？ (a) 180 J (b) 360 J (c) 500 J (d) 1000 J 1 ΔK m(v 2f -vi2 ) 2 20 2 [(4 22 102 ) - (52 32 62 )] 2 10 50 500 位能 potential energy 的定義 Pf rf Pi ri W F ds F ds F作功只與前後兩點的位置有關，而和所經的過程 無關，則稱此力為保守力 conservative force。 保守力可以定義相對應的位能 rf ΔU U f -Ui - Fc ds ri 位能定義式的“－” 物體於保守力場 Fc 中，緩慢的由 Pi 移動到 Pf ，則此過程必有一外力 F (=-Fc)力同時作 用於物體上。視(保守力場+物體)為一系統， 則此系統受到外力 F 對其作功。由能量守 恆： 外力對系統做的功 W = 系統能量的改變量 = 系統位能的變化量 ΔU Pf Pi rf rf ri ri ΔU U f -Ui W F ds - Fc ds 重力位能 ： g = constant 地球表面附近，物體所受的重力 mg mgˆj 為定值，物體由高度 yi 移到 yf，(物體+地球) 系統的重力位能變化量為 rf yf ri yi ΔU U ( y f )-U ( yi ) Fc ds ( m g) dy m gyf m gyi m gh 重力位能 ： g = constant 位能零點的設定：位能的定義式只能求出兩點 的位能差 欲求出位能對位置的函數須定義位能零點 rf yf ΔU U ( y f )-U ( yi ) Fc ds ( m g) dy ri U (h)y mgh i m gyf m gyi 令 yi 0 處的U ( yi ) 0 U ( y f ) m gyf U ( y ) m gy 彈力位能 ： 理想彈簧 理想彈簧符合虎克定律 F kx 其中 x 為伸長(或壓縮)量，彈簧由伸長量 xi 移變為 xf，彈簧的彈力位能變化量為 rf xf ri xi ΔU U ( x f )-U ( xi ) Fc ds ( kx) dx 1 2 1 2 kx f kxi 2 2 1 2 U ( x ) kx 2 彈力位能 ： 理想彈簧 重力位能 ： 大尺度範圍 兩個星體(質量分別為 M、m、相距 r )，兩星 體間的重力吸引力為 GMm F rˆ ds r 2 rˆ rˆ ds dr 重力位能 ： 大尺度範圍 當兩星體的距離由 ri 變為 rf，兩星體系統的重 力位能變化量為 rf rf GMm ΔU U ( rf )-U ( ri ) Fc ds ( 2 ) dr r ri ri rf GMm GMm GMm r ri ri rf GMm U (r) r 動能的定義 與 功能定律 1 2 K mv 2 1 2 1 2 ΔK m vf - m vi W 2 2 功能定律 外力作用於物體的功的總和 =物體動能的變化量 動能 位能 機械能 與 功能定律 機械能 m echanic energy E K U W K Wnc Wc Wnc 非保守力作的功 Wc 保守力作的功 -U Wnc -ΔU ΔK Wnc U K E 機械能 與 功能定律 Wnc U K E 非保守力作功的總和 = 系統機械能的變化量 若 非保守力作功的總和 = 0 則 系統機械能的變化量 = 0 即 系統的機械能守恆 Example 2 質量 m 的木塊放在一彈簧(力常數k)上面，最初木 塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮了xo，而後由靜止開始釋 放。若斜面無摩擦，求(a)木塊剛脫離彈簧那瞬間的 瞬時速度？(b)木塊可滑行多遠(從靜止處算起) ？ L=? xo θ Example 2 木塊上滑的過程有三個特殊點： (1)起始點、木塊靜止、彈簧壓縮 xo (2)木塊上滑了xo、速度為v2、彈簧恢復原長 (3)木塊上滑到最高點(L)、速度為 0 L=? (3) (2) (1) xo θ 練習 設(1)的重力為能為0，則(1)的機械能 E1 為何? L=? (3) (2) (1) 1 2 (a) kx0 m gx0 2 1 2 (c) kx0 2 xo θ (b) m gx0 1 2 (d) kx0 m gx0 2 練習 設(1)的重力為能為0，則(2)的機械能 E2 為何? L=? (3) (2) (1) 1 2 1 2 (a) kx0 m gx0 m v2 2 2 1 2 (c) m v2 m gx0 2 xo θ 1 2 (b) m v2 m gx0 sin 2 1 2 (d) m v2 m gx0 sin 2 練習 設(1)的重力為能為0，則(3)的機械能 E3 為何? L=? (3) (2) (1) (a) m g( L x0 ) xo θ 1 2 (b) m v3 m gL sin 2 1 2 (c) kx m g( L x0 ) (d) m gL sin 2 設(1)的重力為能為0，則 L=? (3) (2) (1) xo θ 1 2 E1 kx0 2 1 2 E2 m v2 m gx0 sin 2 E3 m gL sin 設(1)的重力為能為0，則 L=? (3) (2) (1) 1 2 E1 kx0 2 1 2 E2 m v2 m gx0 sin 2 E3 m gL sin xo θ E3 - E1 -f L E2 - E1 -f x0 E3 - E2 - f ( L - x0 ) f m g cosθ μk 若無摩擦，且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg 則 v2 為何? L=? (3) (2) (1) xo θ 1 2 1 2 E1 kx0 E2 m v2 m gx0 sin 2 2 E1 E2 kx02 m v22 2m gx0 sin v2 ( kx02 - 2m gx0 sin )/m 1.43m /s 練習 若無摩擦，且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg 則 L 為何? L=? (3) (2) (1) xo θ 若無摩擦，且k=300N/m、x0=0.20m、θ=30o、m=3.0kg 則 L 為何? L=? (3) (2) (1) xo θ 1 2 E1 kx0 E3 m gL sin 2 E1 E3 kx02 2m gL sinθ 2 0 kx L 0.408m 2m g sinθ Example 3 質量 m 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與木塊的 動摩擦係數為μk，求木塊到達底部的速度大小？ H θ 練習 質量 m 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與木塊的 動摩擦係數為μk，設底部的重力位能為0，下列何者 正確？ (1) H (2) m gH (a) E1 sinθ 1 2 (c) E2 m v 2 θ 1 2 (b) E 1 m gH - m v 2 1 2 (d) E2 m v - m gH 2 質量 m 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與木塊的 動摩擦係數為μk，設底部的重力位能為0，下列何者 正確？ (1) H (2) θ E1 U1 K1 m gH 0 m gH 1 2 1 2 E2 U 2 K 2 0 m v m v 2 2 練習 質量 m 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與木塊的 動摩擦係數為μk，下列何者正確？ (1) H (2) H (a) E2 - E1 Wnc - f sinθ (c) E2 - E1 Wnc - f H θ H (b) E1 - E2 Wnc - f sinθ (d) E1 - E2 Wnc - f H 質量 m 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與木塊的 動摩擦係數為μk，設底部的重力位能為0，下列何者 正確？ (1) H (2) θ H ΔE E2 - E1 Wnc - f L -f sinθ f m g cosθ μk 1 2 H m v -m gH - f 2 sinθ 練習 質量 m(3.0kg) 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與 木塊的動摩擦係數為0.12，求木塊到達底部的速度大 小？ 3m 30o 質量 m(3.0kg) 的木塊由靜止開始往下滑，若斜面與 木塊的動摩擦係數為0.12，求木塊到達底部的速度大 小？ 3m 30o H ΔE E2 - E1 Wnc - f L -f sinθ f m g cosθ μk 1 2 H m v -m gH - f v 2 gH (1-cotθ μk ) 6.82m /s 2 sinθ 練習 一個0.11kg的木塊放在一彈簧(彈簧力常數k=40N/m) 上面如圖所示，最初木塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮 了20cm，而後由靜止開始釋放。若木塊往上滑行 60cm後停下，求斜面與木塊的摩擦力為何？ L=60cm (3) (2) (1) xo θ m=0.11kg、k=40N/m、x0=20cm=0.2m、L=60cm=0.6m L=60cm (3) (2) (1) xo θ 1 2 Wnc -f L E3-E1 m gH- kx0 2 1 2 kx0 - m gH 1 2 -f L m gH- kx0 f 2 0.794N 2 L 練習 一個0.11kg的木塊放在一彈簧(彈簧力常數k=40N/m)上面 如圖，最初木塊往下壓著彈簧使彈簧壓縮了20cm，而後 由靜止開始釋放。若木塊往上滑行60cm後停下，若斜面 與木塊的摩擦力為0.794N，則木塊剛脫離彈簧那瞬間的 瞬時速度？ L=60cm (3) (2) (1) xo θ m=0.11kg、k=40N/m、x0=20cm=0.2m、L=60cm=0.6m L=60cm f=0.794N (3) (2) (1) xo θ 1 2 1 2 Wnc -f x0 E2 -E1 m gx0 sin m v - kx0 2 2 1 2 1 2 m v -f x0 - m gx0 sin kx0 0.5334 2 2 2 0.5334 v 3.11m /s 0.11 練習 一質點質量 m 由 H 沿無摩擦軌道處滑落。為了讓 m 滑至最高點仍不脫離軌道，H 最少需多高？ R H (a) 2.0R (d) 2 2 R (b) 3.0R (c) 2.5R R H 先考慮在最高點的最小速度應多大 ? 2 v m g N m 當 N 0 時 v vmin R vmin gR 1 2 1 E1 m gH , E2 m g(2 R) m vmin 2m gR m gR 2 2 H 2.5R 練習 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由 靜止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時 的速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ (a) θ (b) Fc mg θ θ N mg (c) θ Fc (d) θ mg N mg 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由 靜止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時 的速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ N θ θ mg 練習 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由 靜止往下滑，下列何者敘述正確？ (a)下滑過程為等加速度運動 (b) 下滑過程為等速率圓周運動 N θ θ (c) 因為下滑速率越來越快， 所以只有切線加速度， 向心方向合力為零 mg (d)下滑過程為圓周運動， 但速率會越來越快 (e) 因為是圓周運動，所以只有向心加速度，切線方 向合力為零 練習 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜 止往下滑，討論受力方向的座標軸要如何選取？ N θ N θ θ θ mg mg (a) (b) 因為是圓周運動，分成向心方向和切線方向較好討論 練習 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜 止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的 速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ θ (a) 2 gR sin θ (b) gR sin θ (c) 2 gR (d) 2 gR sin θ (e) 2 gR 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜 止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的 速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ E1 設底端的重力位能 0 θ E2 1 2 E1 m gR , E2 m gR(1- sin θ) m v 2 Wnc WN 0 ΔE 0 , E1 E2 1 2 m gRsin θ m v v 2 gR sin θ 2 練習 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜 止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的 速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ N θ θ θ mg (a) 3mgsin (b) 2mgsin (c) 2 2mg (d) 3 2mg 一質點 m 沿著一無摩擦的圓形碗面(半徑為 R )由靜 止往下滑，(a)畫出質點的受力圖。求(b)下滑θ時的 速度？(c)此時碗面施於質點的作用力為何？ N θ 向心方向的作用力 θ 2 v F N-m gsin θ m R v 2 gR sin θ mg N m g sin θ 2m g sin θ 3m g sin θ