希薄気体の流れ

• 熊谷寛夫、富永五郎、「真空の物理と応用」、裳華房 • 堀越源一、「真空技術第 3 版」、東京大学出版会 • K.Jousten, Handbook of Vacuum Technology (Wiley-VCH) • A.Roth, Vacuum Technology (North-Holland) • J.Lafferty, Fundamental of Vacuum Science and Technology (John Wiley) • W.Steckelmacher, Report on Progress in Physics 49, 1083(1986) • G.A.Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simlation of Gas Fows (Oxford) • L.N.Rozanov, Vacuum Technique (Taylor & Francis)

• 散乱確率

f

(  )

d

  1  cos 

d



d

  sin 

d



d



VSJ_3_15

排気速度

真空ポンプの開口面のような真空装置内の 特定の断面（表面）について定義される量 分子の占有体積： 1

n

排気速度 （理想排気速度）

S



A

 1

n

 1 4

n v

 1 4

v A

VSJ_3_17

p

1

p

2 分子流の開口コンダクタンス

Q V

 1 4

v Ap

1  1 4

v Ap

2  1 4

v A

(

p

1 

p

2 ) 開口コンダクタンス

C O

 1 4

v A

コンダクタンスと排気速度

粘性流領域のオリフィスコンダクタンス 断熱膨張：等エンタルピー流

Q



Ap

1  

p

2

p

1   1 γ    γ 2 γ  1

kT

1

m

    1   

p p

1 2   γ  1 γ        1 2

C

 1  9 .

13 

p

2 /

A p

1   

p

2

p

1   1 γ Critical pressure ratio γ 2 γ  1

T

1

M

    1   

p p

1 2   γ  1 γ    

r

c   

p

2

p

1   c    γ 2   1  γ γ  1 For 20℃ air

r

c  0 .

525

Q

c  20

Ap

1

C

 20 1 

A p p

1 2

for p

2

p

1  0 .

525

リング状体積素片に関 する力のバランスを考え る。 圧力差

F

  2 π

rdr dp dx

 

dx

粘性抗力

F

   

dF dr dr

  2 π 

dx

 

d dr F

 

F

  0

d dr r du dr



r



dp dx r du dr

 

dr u

(

r

) 

r

2  4 

a

2

Q

V   

a

4 8 

p dp dx dp dx

VSJ_3_22 長さ

L

の配管の粘性流コンダクタンス （ L は十分長いとき）

Q V

 π

a

4 8 

L p

(

p

1 

p

2 )

C

 π

a

4

p

8 η

L

端面の影響：速度場形成 • 圧力に比例 • 管径の４乗に比例 • 管長に反比例

L

*  0 .

277

aR

e

VSJ_3_18 分子流コンダクタンスの合成則 「希薄気体の流れと圧力」で詳細を学ぶ 電気回路系との類似関係 電気回路 電圧 容量 抵抗 コンダクタンスの直列接続 1

C

  1

C

i 真空排気系 圧力 体積 コンダクタンスの逆数 コンダクタンスの並列接続

C

 

C

i

VSJ_3_19 電気回路系との差異 • 電気回路が集中定数系であるのに，真空系は「分布定数」回 路的側面が多い。圧力の意味を考える必要。 • コンダクタンスが開口端に分子がマックスウェル分布で入射し た場合に定義されているため，多段接続では，次段へ入射す る分子が「ビーム化」することによる誤差がある。 • 電子は一方向にドリフトするのに対し，分子は戻ってくる確率 がある。

VSJ_3_20 有効排気速度の算出 真空槽 S* 有効排気速度

Q V



S

*

p

1 

S

0

p

2 

C

(

p

1 

p

2 )

p

1 配管： C 1

S

*  1

S

0  1

C p

2 ポンプ： S 0

VSJ_3_23

分子流領域の円形配管のコンダクタンス

★管壁により制約された拡散過程

J

 

D



dn dx

  1 3

v



dn dx

管内での実効的平均自由行程を λ * とすると

Q V

 

a

2 1 3

v

 * (

p

1 

p

2 )

L n



p kT

分子流コンダクタンス C M は

C M



1 3

L



a

2

v

 *

VSJ_3_24 λ

*

の算出

VSJ_3_25 管壁への総衝突回数 管内分子の総飛行距離

Z

 2 

aL

  

aLn v

2   

a

2

Ln v

 *  

Z

 2

a

開口

C M

 2 

a

3

v

3

L

 

a

2

v

4 8

a

3

L

円管部 

C

0 8

a

3

L

管内の自由分子流

z



s

cot θ 仮定：拡散反射 圧力勾配は、一次関数 Present, Fig.4-1

n

(

z

) 

n

( 0 ) 

z

d

n

d

z

0 

z

2 2   d d

z

2 2

n

  0 

dS を単位時間に通過する分子数 -z direction d

N

 

v

d

S

4 π 0 2  d  π /   2

n

( 0

z

) cos  sin  d  +z direction d

N z

 

s

d

N

 cot  θ d

N

 d

N

 

v

d

S

4 π 2  d  π 0   / 0 2

n

(

z

)(  cos θ ) sin θdθ d

N

 

v

d

S

4 π 第一項、第 3 項は０ 2   0 d    

n

( 0 ) 0  π cos θ sin  1 2   d 2

n

d

z

2   0

s

2 θdθ  π 0  cot 2 d

n

d

z

0

s

0  π θ cos θ sin cot θ cos θ sin θdθ    θdθ d

N

 

v

d

S

8 d

n

d

z

0 0  2π

s

d   : distance from dS to axis

 '  

a

d

N

 

v

d

S

8 d

N

 

v a

d

S

2 d

n

d

z

d

n

d

z

d

S

 2 π

ρ

d   2 π

a

2

ρ

' d  ' 0 2 0 π   (

a

2   2 sin 2  ) 1 / 2   cos   d  0 π/2 0  ( 1   ' 2 sin 2  ) 1 / 2 d 

N

  π

a

3

v N

  π

a

3

v

d

n

d

z

d

n

d

z

1 0   ' d  ' π/2 0  ( 1   ' 2 sin 2  ) 1 / 2 d  π/2 0  1 cos sin 2  3  d    π

a

2

v

3 2

a

d

n

d

z

 π

a

2

v

4 8

a

3

L

(

n

1 

n

2 ) Self diffusion coefficient Knudsen conductance

C M

 2 

a

3

v

3

L

 

a

2

v

4 8

a

3

L



C

0 8

a

3

L

Entrance conductance

Finite length tube Entrance correction Very long tube:

W

0  8

a

3

L C



C

O

W

0 Dushman: 1

C

 1

C

O  1

C

O

W

0 orifice + tube Bermann:

Steckermacher:Vacuum 28, 296(1978)

Beaming effect

W.Steckelmacher: Rept. Progr. Phys. 49, 1083 (1986)

Error by beaming effect

• • コンダクタンスは、ランダムな入射について計算 されている。 接続すると、 2 番目の管の通過確率は高くなる。

Multi pass effect

K

1

K

1 1 

K

1

K

2 1 

K

2

K

2

K

1

K

2

K

1

K

2 ( 1 

K

1 )( 1 

K

2 )

K

1

K

2 ( 1 

K

1 )

n

( 1 

K

2 )

n

1

K

 1

K

1  1

K

2  1

VSJ_3_26 真空配管の「通過確率」 （クラウジング係数） 入射 通過 反射 Q V 通過確率

p

1 A 1 A 2 開口面積

p

2

Q V

 1 4

v A

1

K

12

p

1  1 4

v A

2

K

21

p

2 

C

(

p

1 

p

2 )

VSJ_3_27

p

1 

p

2

Q V

 0 となる筈であるから， 1 4

v A

1

K

12  1 4

v A

2

K

21 

C M A

1 

A

2 の場合には，

K

12 

K

21 

K C M

 2 

a

3

v

3

L

 

a

2

v

4 8

a

3

L



C

0 8

a

3

L



C

0

K

VSJ_3_28 通過確率の近似式

VSJ_3_29 広い圧力範囲で成り立つコンダクタンスの表式 （クヌーセンの経験式）

C TF



C M J

(

p D

)

Knudsen minimum

CO 2

a

 0 .

0033 cm,

L

/

a

 613 .

2 A : He ,

L

/

a

 0 .

319 B : Xe ,

L

/

a

 11 .

84 C : He ,

L

/

a

 11 .

84 D : CO 2 ,

L

/

a

 613 .

2

管内圧力分布

粘性流

Q

  π

a

4

p

8 η d

p

d

x

 

U

d d

x

 

p

2 2   境界条件：

p

2 2  

Q U p

( 0 ) 

x



p

1 ,

U

1

p

(

L

) 

p

2

U

1 

p

1 2 2

U

  

p

1 2 2

QL



p

2 2 2  

p

2 2   1

L

 

p

1 2 2 

p

2 2 2  

x



p

1 2 2

p

(

x

) 

p

1 2 

p

2 2

L x



p

1 2 分子流、中間流