Transcript GRANDEZZE INCOMMENSURABILI 1 (2) - "Cuoco
“Dall'impossibilità alla certezza:gli irrazionali” Denis Guedj
Il fondatore della scuola pitagorica:
l
Pitagora
Nacque a Samo nel VI secolo a.C.
l l Fu allievo di Anassimandro e apprese la filosofia viaggiando in Egitto,Babilonia e India .
l Fondò la sua scuola a Crotone nel 530 a.C.
l A Crotone era considerato un “Cristo eloquente” l Cominciò a ricoprire un' importante carica politica
Le lezioni si tenevano spesso nella “casa delle Muse”: un tempio di marmo bianco e...
l ...potevano essere pubbliche: chiunque poteva seguirle poiché di semplice comprensione, oppure..
l ...private: accessibili solo ai membri della scuola che avevano una preparazione più elevata.
Gli anziani valutavano la vita privata e le caratteristiche fisiche di ogni singolo candidato L'iniziazione consisteva in: 3 anni di prova 3-5 anni si era
acusmatici
Serie di prove fisiche Si diveniva
matematici
Acusmatici - allievi al di fuori dalla cerchia degli anziani
-seguivano le lezioni da dietro ad una tenda -avevano l'obbligo del silenzio durante le lezioni
Matematici
-seguivano le lezioni di Pitagora -avevano l'obbligo del segreto sulle dottrine trattate trattavano le discipline più complesse
Alla base del rapporto tra i pitagorici c'era:
-segretezza:erano come una famiglia le cui vicende dovevano rimanere private regolamento rigido: “astieniti dal fare”,”non spezzare il pane”,
”non mangiare fave”,”non sposarti”
I pitagorici sostenevano:
la dottrina della
metempsicos
i:reincarnazione dell'anima -
nell'orfismo
: culto religioso fondato sulla cosmogonia che l'archè fosse il
numero
Nel campo matematico i pitagorici... :
scoprirono che la somma degli angoli interni di una triangolo è pari a due angoli retti formularono l'enunciato del teorema di Pitagora elaborarono la costruzione dei solidi regolari -
scoprirono i numeri irrazionali e l'esistenza delle grandezze Incommensurabili
Le grandezze incommensurabili sono quelle grandezze che non ammettono unità di misura comuni.
A B
l 2 + l 2 = d 2 l d 2l 2 = d 2
D C
l
√2 era sconosciuto.
Al tempo si conoscevano solo i numeri naturali positivi e i numeri razionali
Se l=1 d 2 =1 2 +1 2 = 2 d= √2 d= √2l d= l 2 √2
I pitagorici cercarono di trovare una soluzione per dimostrare che esisteva un' unità comune tra diagonale e lato del quadrato.
Pensarono quindi a questi due come segmenti costituiti da infiniti punti.
Dimostrazione:
Aristotele:”Una dimostrazione di questo tipo, ad esempio, è quella che stabilisce l'incommensurabilità della diagonale [e del lato del quadrato], che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali ai numeri pari”.
a/b =√2
a/b
è una frazione in cui denominatore e numeratore sono o entrambi dispari o uno pari e uno dispari.
a
2
/b
2
= 2 a
2
=2b
2
Se a=2c 4c
2
=2b
2
PARI
2c
2
pari
=b
2
a
e
b
risultano entrambi pari pari PARI
Abbiamo contraddetto la costatazione iniziale
Abbiamo dimostrato che √2 non è un numero razionale
Il lato e la diagonale del quadrato si esprimono con due diverse classi di numeri e arriviamo alla conclusione che sono due grandezze incommensurabili anche se riportiamo il lato sulla diagonale...
Ulteriore dimostrazione dell'incommensurabilità della diagonale e lato del quadrato..
Riportando l su d vediamo che l in d una volta con il resto di r
…
è contenuto
l
Riportando in
r 4
l/10
su
r
vediamo che è contenuto volte con il resto di
s 1,4
Riportando l/100 su s vediamo
1,41
Operando così all'infinito non avremo mai un resto nullo
Le cifre trovate all'infinito non daranno mai una numero periodico, quindi non sarà possibile risalire ad una frazione generatrice ...quindi la diagonale e il lato del quadrato sono grandezze incommensurabili.
Conseguenze della scoperta delle grandezze incommensurabili La diagonale è lunga √2 ed è la distanza dall'origine. Per i pitagorici √2 non esisteva quindi non trovava posto sulla retta numerica dove c'erano solo numeri interi e frazioni.
Ma con questa semplice rappresentazione capirono che nei “buchi” erano collocati dei numeri Ippaso da Metaponto dopo aver divulgato la scoperta fu cacciato dalla scuola e morì poco dopo in un naufragio.
I pitagorici non furono mai felici di questa scoperta perché mise in discussione parte delle loro dottrine.