Transcript Document

Taylor展開
3次元処理工学
Taylor展開
1
1
f ( x)  f (0)  f (0) x  f (0) x  f (0) x  ...
2
3!
2
例
3
f ( x)  e
f ( x)  f ( x)  f ( x)  ...  e
f (0)  f (0)  f (0)  ...  1
x
x
1
1
1
e  1  x  x  x  x  ...
2!
3!
4!
x
2
3
4
sin x と cos x
e  cos x  i sin x
ix
1
1
1
1
 1  ix  ix   ix   ix   ix   ...
2!
3!
4!
5!
1
1
1
1
 1  ix  x  i x  x  i x  ...
2!
3!
4!
5!
2
2
3
3
4
4
5
5
1
1
cos x  1  x  x  ...
2
4!
1
1
sin x  x  x  x  ...
3!
5!
2
4
3
5
ex のTaylor 展開を確認
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
f(x) = exp(x)
f1(x) = 1 + x
f2(x) = f1(x) + x**2/2
f3(x) = f2(x) + x**3/6
f4(x) = f3(x) + x**4/24
set xrange [-3:3]
set yrange [-2:12]
set zeroaxis
plot f(x)
plot f(x),f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)
別の例
1
 1  x  x  x  x  ...
1 x
1
 1  x  x  x  x  ...
1 x
1
1
1
log(1  x)  x  x  x  x  ...
2
3
4
1
 1  x  x  x  x  ...
1 x
2
3
4
2
3
4
2
2
2
3
4
6
4
8
さらに別の例
x
 x  x  x  x  ...
1 x
2
3
4
sin x
1
1
 1  x  x  ...
x
3!
5!
2
4
a(a  1)
1  x   1  ax 
x  ...
2
a
2
収束半径
x を複素数 z に拡張すると、Taylor級数が
|z| < R で絶対収束 （半径 R の円の内側）
|z| > R で発散
（半径 R の円の外側）
となる R がある。これを収束半径と呼ぶ。
R = 0 や R = ∞ の場合もある。
収束円の内側で、
項別微分・項別積分が可能
z0
R
x
原点に最も近い特異点を z0
とすれば、
R = | z0 |
項別微分
1
 1  x  x  x  x  ...
1 x
2
3
4
両辺を微分して
1
 1  2 x  3x  4 x  ...
1  x 
2
2
3
項別積分
1
 1  x  x  x  x  ...
1 x
2
3
4
両辺を積分し、
x=0 での値が等しくなるように積分定数を決める
1
1
1
log(1  x)  x  x  x  x  ...
2
3
4
2
3
4
特異点
e
z
特異点は z=∞ だけ  R=∞
1
1 z
特異点は z = -1  R = 1
1
1 z
特異点は z = ±i  R = 1
2
1
x
1
x
収束半径をグラフで確認
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
gnuplot>
f(x) = 1/(1+x)
f1(x) = 1 - x
f2(x) = f1(x) + x**2
f3(x) = f2(x) - x**3
f4(x) = f3(x) + x**4
set xrange [-3:3]
set yrange [-2:12]
set zeroaxis
plot f(x)
plot f(x),f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)