Transcript HAVO-VWO D deel 1 H3

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 3
Een experiment twee of meer keer uitvoeren
De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment
2 of meer keren uitvoert.
De productregel
Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de
gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :
P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2)
3.1
Experimenten herhalen totdat succes optreedt
In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de
vaas met 3 rode en 5 witte knikkers.
Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt.
3.1
Trekken met en zonder terugleggen
3.2
voorbeeld
In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.
a)
p p  1 p( p  1) p 2  p



P(rr) =
50 49
50  49
2450
De tweede rode knikker pak je uit
een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers,
waarvan er p – 1 rood zijn.
b)
P(rode en witte) = 2 · P(rw) =
Er zijn 50 – p witte knikkers
p 50  p 2 p(50  p) p(50  p) 50 p  p 2
2 



50 49
2450
1225
1225
3.2
Kleine steekproef uit grote populatie
Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je
trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.
3.2
Toevalsvariabelen
Bij het kansexperiment uit opgave 32 wordt aselect (= willekeurig)
een leerling uit de klas gekozen.
X = de leeftijd van de leerling.
Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele.
complementregel  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0)
somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)
3.3
Kansverdelingen
De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde
van X de bijbehorende kans is vermeld.
kanshistogram
De som van de kansen in een
kansverdeling is altijd 1.
Uniform verdeelde toevalsvariabele 
kansverdeling waarin alle kansen gelijk
zijn.
3.3
Onafhankelijke toevalsvariabelen
De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt :
P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x)
3.3
De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X
1.
2.
3.
Stel de verwachtingswaarde van X op.
Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.
Tel de uitkomsten op.
De som is E(X).
Dus E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn).
3.3
Succes en mislukking
De complement-gebeurtenis
van succes.
Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je
alleen op de gebeurtenissen succes en mislukking let.
De kans op succes wordt aangegeven met p.
De kans op mislukkig is dan 1 - p.
3.4
Het binomiale kansexperiment
Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit
n gelijke Bernoulli-experimenten.
Hierbij hoort de toevalsvariabele X = het aantal keer succes.
Bij een binomiaal kansexperiment is :
• n het aantal keer dat het Bernoulli-experiment wordt uitgevoerd
• p de kans op succes per keer
• X het aantal keer succes
De kans op k keer succes is gelijk aan
P(X = k) =
n
k
· pk · (1 – p)n – k.
3.4
De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)
3.4
3.4
Werkschema: binomiale kansen berekenen
1.
2.
3.
Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X
Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met
binompdf of binomcdf.
Bereken de gevraagde kans met de GR.
P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)
P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5)
= P(X = 6) + P(X = 7)
3.4
Berekenen van n
3.4
De standaardafwijking
Deviatie d = x – x
( de afwijking van het gemiddelde )
Standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2
Het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx
of
(Casio) 1VAR  xσn
3.5
De standaardafwijking
3.5
De somregel voor de verwachtingswaarde
Voor de toevalsvariabelen X en Y geldt :
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
3.5
De somregel voor de standaardafwijking
Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt
de somregel voor de standaardafwijking
σx+ y = √ σ2x + σ2y
VAR(X) = σ2x (de variantie van X)
σ2x+ y = σ2x + σ2y
dus
VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)
3.5
De standaardafwijking van een binomiale toevalsvariabele
Bij de binomiale toevalsvariabele X met parameters n en p is
- de verwachtingswaarde E(X) = np
- de standaardafwijking σX = √np(1 – p)
3.5