Transcript teori graf

TEORI GRAF
Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika
diinterpretasikan secara tepat. Misalkan: bentuk struktur
organisasi, diagram alir, peta
Digunakan unt. Merepresintasikan objek-objek diskret dan hub.
Antara objek-objek tsb, dalam bentuk garis berarah ataupun tidak
berarah
Secara visual objek dinyatakan dg bulatan atau titik dan
hubungan antara objek dinyatakan dg garis.
Contoh
Sebuah bagan struktur organisasi atau Sebuah peta jaringan jalan
raya yg menghubungkan kota-kota dimana kota dinyatakan
bulatan dan jalan dinyatakan garis
1. DASAR-DASAR TEORI GRAF
• Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yg berhingga, yaitu himp
titik-titik yg tdk kosong (V(G))dan himp garis-garis (E(G)), titiktitik tsb dinamakan titik ujung dan garis-garis tsb dinamakan
Loop. Dua garis yg berbeda menghubungkan titik yg sama
disebut garis paralel sedangkan titik yang tdk mempunyai garis
penghubung disebut titik terasing, jika semua garisnya berarah
disebut graf berarah (Directed Graph) atau Digraph. Jika
semua garisnya tidak berarah maka disebut Graf Tak berarah
(Undirected Graph) atau disebut Graf saja.
• Contoh:
• Ada tujuh kota (A,B,…,G) yg beberapa kota dapat dihubungkan
langsung dengan jalan darat sbb: A dengan B dan D; B dengan
D; C dengan B; dan E dengan F. Buatlah graf yang
menunjukkan transportasi dari 7 kota tersebut.
lanjutan
Dg adanya peta tsb kita dpt mengetahui:
apakah ada jalan antara dua buah kota?
Jika ada jalan antara dua buah kota bertetangga maka kita dpt
menentukan rute perjalanan tersingkat dan msh ada pertanyaanpertanyaan yang lain
Sejarah Graf
Jembatan Koningsberg adl masalah pertama kali yg
menggunakan model graf dimana terdpt sungai yg mengitari
pulau Koningsberg lalu menjadi 2 buah anak sungai dan disana
ada 7 jembatan. Masalahnya apakah mungkin melalui ketujuh
buah jembatan itu 1 kali lalu ke kembali ketempat asal ?jawab:
coba-coba, model/Euler
Jawaban yg dikemukakan Euler tdk mungkin melalui 7 jembatan itu
masing2 satu kali kembali ke tmpat asal jika derajat setiap simpul tdk
seluruhnya genap.
Definisi Graf : Pasangan himpunan (V,E)
dimana: V={v1, v2, ….,vn} adl kumpulan simpul-simpul
E={e1, e2,…..,en} adl kumpulan sisi-sisi.Contoh
Tentukan himpunan simpul dan sisi graf di atas
2. MACAM-MACAM GRAF
Jenis graf tergantung sudut pandang pengelompokannya
yaitu:
1.Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ada dua jenis
yaitu graf sederhana yaitu graf yang tdk mempunyai
Loop atau garis paralel dan graf tidak sederhana yaitu
graf yang mempunyai Loop( dipecah lagi graf ganda dan
graf semu yaitu yg mengandung sisi gelang).
2.Berdasarkan jumlah simpul ada 2 jenis Yaitu graf
berhingga dan graf tak berhingga.
3. Berdasarkan arah pada sisi ada 2 jenis yaitu graf tak ber
arah dan graf berarah(urutan pasangan simpul berarti.
Contoh –contoh terapan graf yaitu pada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rangkaian listrik
Isomer senyawa kimia karbon
Transaksi konkuren pd basis data terpusat
Pengujian program
Teori otomata
Turnamen Round-Robin
ISTILAH dalam GRAF
Beberapa istilah dlm graf sbb:
1.
Ketetanggaan
Kedua simpul disebut bertetangga bila keduanya berhubungan
langsung. Kalau ditulis secara formal yaitu: Vj dan Vk dikatakan
bertetangga jika setiap eЄE sedemikian hingga e=(vj,, vk). Contoh
lanjutan
2. Bersisian
untuk sembarang sisi e=(vj,, vk). Dikatakan e bersisian dg
simpul vj atau simpul vk.
3. Simpul terpencil
simpul yg tdk mempunyai sisi yg bersisian dgnya atau
simpul yg tdk bertetangga dg simpul lain.
4. Graf kosong
Graf yang tdk mempunyai sisi tetapi simpul harus ada
5. Derajat suatu simpul, d(v)
Derajat simpul adl jml sisi yg bersisihan dg simpul tsb.
Contoh.
Derajat pd suatu graf= jumlah derajat simpul-simpul
yang dinotasikan ∑d(v)= 2|E| , dan ∑d in(v)= ∑d ot(v)= |E|
Soal
Diketahui graf dg 5 buah simpul dapatkah menggambarkan
graf tsb jika masing-masing simpulnya mempunyai
derajat adalah (a) 2,3,1,1,2 (b) 2,3,3,4,4
Teorema: Untuk sembarang Graf banyak simpul yg
berderajat ganjil selalu genap
6. Lintasan
Lintasan dr simpul vp ,ke v q dlm graf graf adl rangkaian
simpul diawali dr simpul vp , dan diakhiri simpul v q
sedemikian hingg didapat sisi-sisi disetiap dua simpul
dlm lintasan tsb. Tatapi jika graf tdk sederhana
rangkaian simpul dan sisi berselang seling.
- Panjang lintasan= jumlah sisi
- Macam lintasan:
# Lin. Sederhana adl semua sisi yg dilalui sekali
# Lin. Elementer adl semua simpul yg dilalui sekali
kecuali simpul pertama dan terakhir.
# Lin. Terbuka adl simpul awal dan akhir berbeda
# Lin. Tertutup adl simpul awal dan akhir sama. Contoh!
7. Sirkuit/siklus adl Lin. Elementer dg simpul awal
dan akhir sama
# Panjang sirkuit adl jumlah sisi pd sirkuit tsb
#Macam-macar sirkuit:
-Sirkuit sederhana adl sisi yg dilalui hanya sekali.
-Sirkuit elementer adl simpul yang dilalui hanya sekali
Contoh lihat gambar graf berikut
1
tentukan macam sirkuit beri
kut (a) 1,2,3,1
2
3
(b) 1,2,4,3,2,1
Jawab:a)s. sederhanan &
4
sir. Elementer
b) bukan sir.sederhana & bukan sir. elementer
8. Graf Berbobot : graf yg setiap sisinya diberi harga
Misal: bobot sisinya tentang jarak, biaya, waktu antar 2
kota, waktu tempuh pesan antar simpul komunikasi (dlm
jaringan komputer) dsb.
contoh
a
10
e
15
12
8
11
d
b
9
c
14
Aplikasi Graf
Graf digunakan sbg alat unt mereprensikan /memodelkan persoalan
Jadi jika kita menyelesaikan persoalan dg graf maka
grafnya hrs dibuat dulu.
beberapa aplikasi graf yg berkaitan dg lintasan/sirkuit yaitu
persoalan Lintasa terpendek, persoalan pedagang
keliling, dan persoalan tukang pos cina.
1. Lintasan terpendek.
Persoalan ini ada kaitannya dg optimasi dan graf yg
digunakan adl graf berbobot (setiap sisinya diberi nilai
atau bobot).
Contoh.
# Apa bila terdapat lebih darisatu lintasan antar 2 kota
# apa bila terdpt lebih dari satu jalur komunikasi antar kom
Dalam kuliah ini jenis lintasan terpendeknya dipilih dari
simpul tertentu kesemua simpul yg lain
Algoritma Dijkstra (mencari lintasan terpendek dari simpul
tertentuke semua simpul yg lain)
Misal: ada n buah simpul
dg matrik ketetanggan M = [ m ij ] dimana m ij= bobot
sisi (i,j) pd graf tak berarah m ij = mji, , mii=0 , dan m ij = θ
Larik S = [si ] dimana si=1 temasuk lintasan terpendek
si=0 tdk masuk lin. Terpendek
larik/tabel D=[di] dimana di=panjang lin dr awal s ke simp. i
#Langkah 0 (inisialisasi)
Inisialisasi si=0 dan di=mai ,unt. i=1,2,…..n
# langkah 1:- isikan sa=1(krn simpul a adl simpul asal)
- isikan da=∞(tdk ada lint. dari a ke a )
Langkah 2,3,…(n-1)
- cari j sedemikian hingga sj=0 dan dj={ d1,……dn}
- isi sj dgn 1
- perbarui dj, unt. i=1,2,3,….n dgn ketentuan sbb
dj(baru)=min{dj (lama)+mji}
Contoh.
Tentukan lint. Terpendekdari simpul awal a=1 ke semua
simpul lainnya bila diket. Graf berikut
lanjutan
Contoh
5
1500
4
3
800
2
250
1200
1000
6
300
1000
900
1400
1
1700
1000
8
84555555
8
7
900000000
540000007
Halaman
muka
Lintasan dan sirkuit Euler
Lintasan Euler adl lin. yg sisi-sisi pd graf dilalui satu kali
Sirkuit Euler (lin Euler tertutup)/graf Euler adl lin. Yg sisi pd
graf dilalui satu kali dan kembali ke simpul awal.
Contoh
Teorema:
Graf tdk berarah memiliki lin. Euler jhj terhubung dan
memiliki dua buah simpul derajat ganjil atau tdk ada
simpul yg derajat ganjil.
Teorema
Graf tdk berarah memiliki graf Euler jhj terhubung dan
semua simpulnya derajat genap.
Teorema
Graf berarah memiliki lin. Euler jhj terhubung dan setiap
simpul derajat masuk dan derajat keluarnya sama,
kecuali dua simpul, yg pertama memiliki derajat keluar
satu lebih besar derajat masuk, dan ke dua memiliki
derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar untuk
SirkuitEuler/graf Euler jhj setiap simpul derajat masuk dan
keluar sama.
Contoh hal.228 (Gb. 6.42)
Contoh hal.230 (Gb 6.43)
Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Hamilton adl lintasan yg simpul-simpul pd graf
dilalui satu kali.
Lin. Hamilton tertutup/sirkuit hamilton (graf Hamilton) adl
sirkuit yg simpul-simpul pd graf dilalui satu kali simpul
awal yg sekaligus simpul akhir dilalui dua kali.
Teorema
Supaya graf sederhana dg n≥3 buah simpul adl graf
Hamilton biladerajat tiap simpul paling sedikit n/2 yaitu
d(v)≥n/2 unt tiap simpul v.
Teorema : setiap graf lengkap adl graf Hamilton
Teorema
dalam graf lengkap dg n≥3 dan n ganjil buah simpul, terdpt
(n-1)/2 buah sirkuit Hamilton yg saling lepas (tdk ada sisi
yg beririsan), jika n genap dan n≥4, maka terdpt (n-2)/2
buah sirkuit Hamilton yg saling lepas.
Catatan:
Graf lengkap adl graf sederhana(tdk ada sisi gelang atau
ganda) yg tiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lain.
Contoh hal 233 (Gb 6.45)
Contoh hal 234 ( Gb 6.47)
Contoh hal 235b(Gb 6.48)