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1
La lezione di oggi
La densità
La pressione
L’equazione di continuità
Il teorema di Bernoulli
Stenosi e aneurismi
2
Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
Stenosi e aneurisma
Pressione del sangue
3
La Densità
La densità è definita come
m
ρ
V
Dimensioni: [ML-3]
Unità di misura SI: kg/m3
Sostanza
Ari
a
Densità
(kg/m3)
1.29
Polistirolo Olio
espanso d’oliva
~30
920
Acqua
di mare
Alluminio
Ferro
Oro
1025
2700
7860
19300
4
La Pressione
La pressione è definita come
F forza
P
A area
Dimensioni: [MLT-2][L-2]=[ML-1T-2]
Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m2
Esempio:
Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza
di 3 N con un dito (sezione = 10-4 m2) e con un ago ipodermico (sezione =
210-7 m2)
3N
4
3
10
Pa
4
2
10 m
3N
7
1.5
10
Pa
7
2
2 10 m
Pdito
Pago
5
Attenzione!
Area grande = Pressione piccola
6
Quale forza devo usare ?
F
F
S
Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la
componente della forza
perpendicolare (normale) alla superficie
7
Il fluido esercita sul corpo...
... una forza uguale
in ogni direzione e
perpendicolare alla superficie
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Pressione atmosferica
E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria
(atmosfera) che sta sopra di noi
Patm =1.013×10 Pa = 101 kPa = 1.01 bar = 1 atm
5
N.B. 1 bar º10 Pa
5
La pressione
atmosferica agisce
in modo uguale
in tutte le direzioni
9
La pressione
relativa
Patmosferica
Pinterna
Pressione interna: pressione
assoluta
Pressione relativa:
differenza tra
pressione interna e
pressione atmosferica
Prel P - Patm
10
Esercizio
Qual è la pressione assoluta all’interno di un
pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm
pass patm prel 1 atm 2 atm 3 atm 3 1.01105 Pa
La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge
sulla colonnina) è la pressione relativa
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Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
Stenosi e aneurisma
Pressione del sangue
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Oggi lavoreremo con:
• Fluido perfetto
(incomprimibile, non viscoso)
• Condotto rigido
• Moto stazionario (vedi)
Conservazione
dell’energia
meccanica
• Flusso laminare (vedi)
Portata di un condotto
Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo
A
S
Dx = v·Dt
V S Δx S v Δt
S v
Q
Δt
Δt
Δt
Unità di misura (S.I.):
m3/s
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Equazione di continuità
In regime di moto stazionario, la
portata è la stessa in ogni sezione
del condotto
S1
v1
S2
v2
Q S v costante
La sezione aumenta,
la velocità diminuisce
Esempi
o
Q = 100 cm3 s–1
La sezione diminuisce,
la velocità aumenta
SA = 5 cm2
vA = 20 cm s–1
SB = 1.25 cm2
vB = 80 cm s–1
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Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di
Bernoulli
Stenosi e aneurisma
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Il teorema di Bernoulli
Liquido perfetto
(incomprimibile, non viscoso)
Condotto rigido
Moto stazionario
Flusso laminare
Ci sono soltanto
la forza
gravitazionale e le
forze di pressione
Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale
L F1 Dx1 - F2 Dx 2 p1 A1 Dx1 - p 2 A 2 Dx 2 p1 V1 - p 2 V2 (p1 - p 2 ) V
N.B. V1 = V2 = V per l’equazione di continuità
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Intermezzo: lavoro e
energia meccanica
Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla
risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale
La risultante delle forze è la somma vettoriale della
risultante delle forze conservative (FC)eventualmente
presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro
compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e
opposto alla variazione di energia potenziale (LC=-DU).
Quindi:
Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione
dell’energia meccanica totale
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Il teorema di Bernoulli
1
2
2
DE mg (y 2 - y1 ) m (v 2 - v1 )
2
variazione
energia potenziale
variazione
energia cinetica
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Dopo qualche passaggio...
L DE
1
(p1 - p 2 ) V = mg (h 2 - h1 ) +
m (v 22 - v12 )
2
Divido entrambi i membri per V
m/V = r
densità
m
1 m 2
(p1 - p 2 ) =
g (h 2 - h1 ) +
(v 2 - v12 )
V
2 V
1
2
2
(p1 - p 2 ) = r g (h 2 - h1 ) +
r (v 2 - v1 )
2
1
1
2
rgh1 + r v1 + p1 = rgh 2 + r v 22 + p2
2
2
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Il teorema di Bernoulli
1
2
rgh r v p costante
2
Energia
potenziale mgh
per unità di
volume
Energia
cinetica ½mv2
per unità di
volume
Lavoro delle forze
di pressione per
unità di volume
Divido entrambi i membri per rg
2
v
p
h
costante
2g rg
altezza
geometrica
altezza
cinetica
altezza
piezometrica
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Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
Stenosi e aneurisma
Pressione del sangue
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Legge di Stevino
(effetto del peso del fluido)
1
1
2
rgh 1 r v1 p1 rgh 2 r v 22 p 2
2
2
y
Il fluido è in quiete
p 2 p1 rg (h1 - h 2 ) p1 rgh
h1
h2
p tot p atm rgh
pressione idrostatica
In un fluido in equilibrio, la pressione interna
dipende solo dalla profondità h
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Il barometro
Patm 0 rgh rgh
h acqua
Patm
1.013 105 Pa
10 m
3
-3
-2
rg (10 kg m ) (9.8ms )
Patm
1.013 105 Pa
h mercurio
0.76m
4
-3
-2
rg (1.3595 10 kg m ) (9.8ms )
Unità di misura della pressione
atmosferica:
1 Torr = 1 mmHg
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Esercizio
Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore
che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?
p tot p atm rgh 1.01105 Pa (103 kg m-3 ) (9.8m s -2 ) (5 m)
1.50 105 Pa 1.5 atm
Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione
aggiuntiva di 0.5 atm
passoluta = 1.5 atm
prelativa = 0.5 atm
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Il principio di
Archimede
Forza verso il basso
F1 P1 A P1 L2
Forza verso l’alto
F2 P2 A P2 L2
P2 P1 rgL
F2 (P1 rgL) L2 P1L2 rgL3 F1 rgL3
F2 - F1 FArchimede rgV
Attenzione !!!
• la densità è quella del fluido!
• il corpo deve essere totalmente
immerso
La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!
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Quest’ uovo è fresco…
FA
CM(VH20) ≡ CM(uovo)
W
FA
…e questo no
CM(VH20) ≠ CM(uovo)
W
26
Legge di Torricelli
1
y
S
h2 è uguale a 0 per
costruzione (origine
dell’asse y)
h
v
2
1
1
2
rgh 1 r v1 p1 rgh 2 r v 22 p 2
2
2
La superficie
libera dell’acqua è
immobile
1
rgh 1 r v 22
2
La pressione esterna
è uguale per i 2
punti (patmosferica)
semplifico r
1 2
gh 1 v 2
2
Identica alla velocità di
un grave che cade da
un’altezza h
v 2 2gh1
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Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
Stenosi e aneurisma
Pressione del sangue
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Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La stenosi
S1
h1 = h2
S2
v1
v2
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
S2 < S1
v2 > v1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1
1
1
2
2
p1 ρ v1 p 2 ρ v 2
2
2
v2 > v1
= h2):
p2 < p1
la stenosi tende a peggiorare
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L’aneurisma
S2
S1
v1
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
v2
S2 > S1
v2 < v1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
1
1
2
p1 ρ v1 p 2 ρ v 22
2
2
v2 < v1
p2 > p1
L’aneurisma tende a peggiorare
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Densità, pressione
La portata di un condotto
Il teorema di Bernoulli
Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
Stenosi e aneurisma
Pressione del sangue
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Effetti della pressione idrostatica
Misuro la pressione in 3 grandi arterie
y
(testa, cuore, piedi)
Faccio l’approssimazione che la sezione
delle 3 arterie sia ~ uguale
htesta
hcuore
rgh
1
r v 2 p costante
2
v cuore v testa v piedi
hpiedi = 0
p piedi - p cuore rgh cuore
p testa p cuore rgh cuore - rgh testa
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Effetti della pressione idrostatica
y
p piedi - pcuore (103 kg m3 ) (9.8m s -2 ) (1.3m)
htesta
hcuore
1.3104 Pa 101mm Hg
p testa - pcuore (103 kg m3 ) (9.8m s -2 ) ( 1.3m - 1.7 m)
- 4. 2 10
3
Pa - 31 mm Hg
33
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La fleboclisi
y
h
p cannula p atmosferica ρ g h
36
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La fleboclisi
h 0.25 m
Pcannula 1.013105 Pa (1.000103 kgm3 ) (9.810m s-2 ) (0.2500m)
1.037105 Pa
Pcannula Patmosferica (1.037-1.013)105 2.400103 Pa 18.05Torr
Il flacone deve essere posto ad una altezza h
sufficiente
per avere Pcannula – Patmosferica > Pvena
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Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
Comprimo l’arteria per ottenere p > psistolica
La circolazione è momentaneamente bloccata
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Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
Diminuisco lentamente la pressione
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Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
ps = pressione sistolica
pd = pressione diastolica
p > ps
silenzio
ps > p > pd rumore pulsato
p < pd
rumore
continuo
Nota. Quando ps > p > pd
:
• il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la
pressione del
sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia
• il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando
ho
p < pd
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Riassumendo
Per i liquidi ideali la conservazione dell’energia
meccanica porta al teorema di Bernoulli....
..... molto utile per risolvere i problemi più disparati
Prossima lezione:
i liquidi reali
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