Розанов Н.Н DopGlavMatFiz3
Download
Report
Transcript Розанов Н.Н DopGlavMatFiz3
Дополнительные главы
математической физики-3
Линейные уравнения
математической физики
Николай Николаевич Розанов
НИУ ИТМО, 2012
Линейные уравнения
математической физики
Уравнения или системы уравнений в частных
производных. Как минимум, два аргумента.
Искомая функция u(x,y)
u
P( x, y ),
x
u
Q ( x, y )
y
P(x,y) и Q(x,y) – заданные функции.
2
u
Можно ли задавать их произвольно?
2u
P Q
(*)
xy yx
y x
Решение системы – в виде контурного (криволинейного) интеграла
( x, y )
u ( x, y )
( x0 , y0)
[ P( x, y )dx Q( x, y )dy ]
При условии (*) интеграл
не зависит от пути
интегрирования
(полностью определяется
начальной и конечной
точками)
Линейные уравнения с частными
производными второго порядка (примеры)
u
2
a nu 0
2
t
2
u
a 2 nu 0
t
nu 0
n u k u 0
2
- волновое уравнение (гиперболическое)
- уравнение теплопроводности (параболическое)
- уравнение Лапласа (эллиптическое)
- уравнение Гельмгольца
2
2
2
2
2
2
2
n 2 , 1 2 , 2 2 2 , 3 2 2 2
x
x y
x y z
m1 xm
n
Двумерный оператор Лапласа
в полярных координатах-1
2u 2u
2u 2 2
x y
x cos ,
y sin
Замена переменных в дифференциальных выражениях
u u x u y u
u
cos sin ,
x y x
y
u u x u y
u
u
sin
cos
x y
x
y
u
u sin u
u
u cos u
cos
,
sin
x
y
Двумерный оператор Лапласа
в полярных координатах-2
u u
u sin u
cos
cos
2
x
x x
2
sin
u sin u
cos
,
2
u u
...
2
y
y y
2u 1 u 1 2u
2u 2
2
2
Трехмерный оператор Лапласа
В цилиндрических координатах
x cos ,
y sin , z z
1 u 1 2u 2u
3u
2
2
2
z
В сферических координатах
x r sin cos ,
y r sin sin , z r cos
2u 2 u
1
2u 1 2u 1
u
3u 2
2 2
2
2 ctg
2
2
r
r r r sin
r
r
Волновое уравнение (одномерное)
u
2 u
a
0
2
2
t
x
2
Начальные условия
Замена переменных
2
u t 0
u
( x ),
( x)
t t 0
x at, x at
u u u u u
,...
x x x
2
2
2u
u
u
2
2
a
4a
2
2
t
x
2u
0
Решение Даламбера
u 1 ( x at ) 2 ( x at )
Связь с начальными значениями
x at
1
1
u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
( ) d
2
2a x at
Частный случай: Ψ = 0, начальное возмущение (при t = 0) ϕ
сосредоточено на интервале от α1 до α2
Характеристики
0
t
0
x at x0 at0 ,
0
x at x0 at0 .
Домашнее задание
Проанализировать частный случай: ϕ = 0, начальное
возмущение (при t = 0) Ψ сосредоточено на интервале
от α1 до α2
Импульс на границе раздела двух сред
2
a1
2u
u
2
a
0, a a( x)
2
2
t
x
a2
x0
x0
u
Непрерывность на границе раздела х = 0 функции u и ее производной
x
Общее решение при x < 0:
u( x, t ) f ( x a1t ) g ( x a1t )
Смысл f и g: профили импульсов падающего (задан) и отраженного (ищется) излучения
Решение при x > 0 (?)
u( x, t ) h( x a2t )
f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ),
f (a1t ) g (a1t ) h(a2t )
(только импульс преломленного
излучения, h – искомая функция)
Штрих означает производную
по аргументу функции.
Импульс на
границе -2
f (a1t ) g (a1t ) h(a2t ),
f (a1t ) g (a1t ) h(a2t )
Дифференцируем 1-е уравнение по t
a1 f (a1t ) a1 g (a1t ) a2 h(a2t ),
f (a1t ) g (a1t ) h(a2t )
Интегрируем по t
dt h(a2t )
2
h(a2t )
f (a1t )
a2
1
a1
1
1
d (a2t ) h (a2t ) h(a2t ) const
a2
a2
2
h(a2t )
f (a1t )
a1
1
a2
const = ?
Формулы Френеля
Случаи a1 a2 ,
a1 a2 , a1 a2
a2 a1
g (a1t ) h(a2t ) f (a1t )
f (a1t )
a2 a1
Двумерное волновое уравнение
Цилиндрические волны
2
2
2u
u
u
2
a 2 2 0
2
t
x y
u
2
a
2u 0
2
t
2
u
u t 0 ( x, y ),
( x, y )
t t 0
1
( , ) d d
u ( x, y , t )
2
2
2
2
2 a C a t ( x ) ( y )
1
( , ) d d
.
2
2
2
2
2 a t C a t ( x ) ( y )
at
at
Cat - круг с центром в точке M(x,y) и радиусом at
Трехмерное волновое уравнение
u
2
a 3u 0
2
t
2
u t 0
2
2
2
2u
u
u
u
2
a 2 2 2 0
2
t
z
x y
u
( x, y, z ),
( x, y , z )
t t 0
Формула Пуассона
t
u ( x, y , z , t )
4
2
0
t
0 ( , , ) d t 4
2
0
0 ( , , ) d
x at sin cos , y at sin sin ,
z at cos , d sin d d .
Сравнение одномерного, двумерного и трехмерного случаев
Уравнение теплопроводности (диффузии)
u
a 2 nu 0
t
u t 0 f ( x, y, z) (n 3)
Одномерное уравнение теплопроводности
u
2 u
a
0
2
t
x
2
u t 0 f ( x)
В общем случае параметр а может быть не только вещественным,
но и комплексным (дифракция в квазиоптическом приближении).
Волновое уравнение: Уравнение Гельмгольца E( x, z, t ) E ( x, z)eit
(знак Re опускается)
2E 2E 1 2E
2 2 2 0
2
x
z
c t
2E 2E
2
k
E 0
2
2
x
z
k
c
Параксиальное приближение
(приближение медленно
меняющихся амплитуд)
E E
2
k
E 0
2
2
x
z
2
E( x, z) E( x, z)eikz
2E 2E
E
2
2
2
ik
k
E
k
E0
2
2
x
z
z
E 2 E
2ik
2 0
z x
2
Уравнение теплопроводности –
общие свойства
u
u
2 0
t
x
Линейность и принцип суперпозиции
a2
2
2
u1
u
u
u2
2
2
1
2
a
0
a
0
2
2
t
x
t
x
Одномерное уравнение теплопроводности
u c1u1 c2u2
Симметрия. Если есть решение
u u1 ( x, t ),
то решением будет и u2 u1 ( x, t ).
2
Обращение времени?
Плосковолновые решения
u t 0 u0eikx
Решение
u
2u
2 0
t
x
a2
k – вещественная пространственная частота
u( x, t ) u0eikxe t
Дисперсионное уравнение k 2
Если a 0 , то γ < 0 – экспоненциальное убывание
при t и возрастание при t
Быстрее всего меняются мелкие неоднородности.
2
Если же - чисто мнимое (квазиоптическое уравнение), то
проблемы необратимости нет – симметрия к изменению знака
времени при одновременном комплексном сопряжении ур-ния.
Моменты (локализованные структуры)
u
2u
2 0
t
x
Момент нулевого порядка - «масса»
u( x, t ) dx M
0
const
Доказательство ?
d
u
u
u
u( x, t ) dx dx 2 dx
0
dt
t
x
x
2
Момент первого порядка
xu( x, t ) dx M
1
const
Доказательство (используя интегрирование по частям)?
Моменты высших порядков уже не сохраняются. Например,
M 2 (t ) x 2u( x, t ) dx M 2 (t0 ) 2 M 0 (t t0 )
Автомодельное решение
u
2u
2 0
t
x
Решение с сохранением формы при меняющихся со временем масштабах
Размерность [] = ?
[ x ]2
[ ]
[t ]
u( x, t ) dx M
0
Безразмерная комбинация:
const
x2
s
t
(Четное) автомодельное решение ищем в виде
2
x
u( x, t ) At f
t
Используем сохранение момента нулевого порядка
u( x, t ) dx M
0
const
Автомодельное решение-2
u( x, t ) dx M
0
x2
s
t
const
0
0
u
(
x
,
t
)
dx
2
u
(
x
,
t
)
dx
2
At
1
2
u( x, t ) At
1
2
x2
f
t
x2
ds
f dx At t f s
s
t
0
Подстановка к исходное уравнение
8sf ( s) (2s 4) f ( s) f ( s) 0
d
d
2 s 1 4 1 f ( s ) 0
ds ds
dh
2s
h 0
h?
ds
dx = ?
- ОДУ
d
h 4 1 f ( s )
ds
C1
h
s
Автомодельное решение-3
C1 s 1 s /4
s /4
f ( s)
e ds C2 e
s
4
C
4 f f 1
s
f ( s) e s/4
Четное решение
u( x, t ) At
1/2 x /(4 t )
e
2
u( x, 0) 2 A ( x)
u
Решение уравнения
теплопроводности
u
2 u
a
0
2
t
x
2
u t 0 f ( x)
Существенно используется линейность задачи (принцип суперпозиции) и
постоянство коэффициентов уравнения.
Метод Фурье (разделение переменных). Частное решение ищем в виде
u ( x, t ) T ( t ) X ( x )
T (t ) X ( x) a 2T (t ) X ( x)
T (t )
X ( x )
2
const
a 2T (t ) X ( x )
Решение одномерного уравнения
теплопроводности
T (t ) 2a2T (t ) 0,
2a2t
T (t ) e
u ( x, t )
X ( x) 2 X ( x) 0
, X ( x) A( )cos x B( )sin x
e
2 a 2t
[ A( ) cos x B( )sin x ] d
Это общее решение уравнения теплопроводности, но еще не обеспечено
выполнение начального условия. Должно выполняться
u t 0 f ( x )
[ A( ) cos x B( )sin x] d
Решение одномерного уравнения
теплопроводности-2
По свойствам преобразования Фурье
1
A( )
2
1
f ( ) cos d , B( )
2
С учетом соотношения
e
2 2
f ( )sin d
cos d
e
окончательно получаем решение в виде
u( x, t )
1
2a t
f ( )e
( x )2
4 a 2t
d , t 0
2
2
4
Задача
Начальное распределение температуры
f 0 , | x | l
f ( x)
0, | x | l
С какой скоростью распространяется возмущение температуры?
Задание
Начальное распределение температуры
f ( x ) f 0e
( x / w0 )2
Вычислить распределение температуры при t > 0.
Уравнение теплопроводности
в полярных координатах (1 + 2)
u
a 2 2u 0
t
Метод Фурье (разделение переменных)
u 1 u 1 u
2u 2
2
2
2
u( x, y, t ) T (t ) R( )( )
1
1
T R a RT RT 2 TR
1 T R 1
1
2
R
const
a2 T
R R
2
2
T (t ) e
2 a 2t
2
продолжение
R
1
2 2
2
R const n
R R
2
n 0,1, 2,...
2
n 1 cos(n) 2 sin(n)
2 2
2
R R ( n ) R 0
2
R Zn ( )
- цилиндрические функции n-го порядка
(в том числе функции Бесселя)
2
d 2 Z 1 dZ
n
2
(
2 )Z 0
2
d
d
Линейные обыкновенные дифференциальные
уравнения второго порядка
d 2u
du
p( z )
q( z )u 0
2
dz
dz
(однородное уравнение)
p(z) и q(z) – аналитические в области S функции комплексного
аргумента z за исключением конечного числа полюсов.
Точки области S обыкновенные (в них p(z) и q(z) – аналитические)
и особые (полюса)
1z
d 2v
u ( z ) v( z ) exp p( ) d 2 J ( z )v 0
dz
2
1 dp 1 2
J ( z ) q( z )
p ( z)
2 dz 4
Асимптотика на бесконечности
d 2u
du
p( z )
q( z )u 0
2
dz
dz
z 1/ z1
Характер решения диф. уравнения при больших |z|
отвечает таковому при малых | z1 |
Задача: выполнить в (*) замену переменной z z1
d dz1 d
1 d
2 d
2
z1
dz dz dz1
z dz1
dz1
d2
d d
2 d
2 d
z1
z1
2
dz
dz dz
dz1
dz1
2
1
d
u 3 2 1 du
4
z1 2 2 z1 z1 p
q u 0
dz1
z1 dz1
z1
Общее (фундаментальное) решение
Для уравнения второго порядка – два линейно независимых решения
u1 ( z), u2 ( z)
Общее решение
u( z) C1u1 ( z) C2u2 ( z), C1,2 const
Условие линейной независимости:
(второе решение не сводится к первому,
домноженному на const)
Определитель Вронского
Формула Лиувилля
dW
?
dz
W 0
u1 u2
W
u1 u2
z
W ( z ) W ( z0 ) exp p( z )dz
z0
Доказать формулу Лиувилля
Определение 2-го решения по
известному 1-му
z
u1 ( z ) u2 ( z )
W ( z)
u1u2 u1u2 W0 exp p ( z )dz
u1( z ) u2 ( z )
z0
z
du2 du1
u1
u2 W0 exp p( z )dz
dz dz
z0
z
dy du1
u1
y exp p( z )dz
dz dz
z0
y u2 / W0
...
y A( z ) B( z ), u1 ( AB AB) u1 AB exp( pdz )
u1 A u1 A 0
A u1
z
z
1
dz1
2
u1 B exp( pdz ) B 2
exp( p ( z2 )dz2 )
u1 ( z1 )
z
z
1
dz1
y ( z ) u1 ( z ) 2
exp( p( z2 )dz2 )
u1 ( z1 )
Решение в виде степенных рядов
d 2u
du
p( z )
q( z )u 0
2
dz
dz
(окрестность обыкновенной точки)
p( z ) pn z , q( z ) qn z n
- аналитические в точке z = 0 функции
c радиусом сходимости R
n
n 0
n 0
Ищем решение в виде u ( z )
n(n 1)an z
n2
n2
pn z
n 0
n
n
a
z
n
n 0
nan z
n 1
(*)
n 1
qn z
n 0
n
n
a
z
n 0
(?)
n 0
z 0 2 1a2 p0 a1 q0 a0 0 a2 ... (?)
z1 3 2a3 2 p0 a2 p1a1 q1a0 0 a3 ...
z 2 4 3a4 3 p0 a3 2 p1a2 p2 a1 q0 a2 q1a1 q2 a0 0
...
z n (n 2)(n 1)an 2 Q(a0 , a1 ,..., an 1 ) 0 an 2 ...
В круге радиуса R
ряд (*) сходится
Q – однородный
полином 1-й степени
от своих аргументов
Правильные/неправильные точки
дифференциального уравнения
Точка z = c называется правильной, если в ней аналитичны функции
( z c) p( z), ( z c)2 q( z)
2
d
u
du
2
( z c)
( z c) P( z c)
Q ( z c)u 0,
2
dz
dz
P ( z c) p0 p1 ( z c ) p2 ( z c ) 2 ...
Q ( z c) q0 q1 ( z c) q2 ( z c) 2 ...
Ряды сходятся в круге с центром в точке с и с таким радиусом,
что внутри круга имеется только одна особая точка уравнения
Формальное решение
(в окрестности правильной точки)
u ( z ) ( z c) 1 an ( z c) n
n 1
-ищем решение в таком виде, искомые и
an
( z c) ( 1) an ( n)( n 1)( z c) n
n 1
( z c) P( z c) an ( n)( z c) n
n 1
( z c) Q( z c) 1 an ( z c) n 0
n 1
Обозначение :
F ( ) 2 ( p0 1) q0
Определяющее уравнение : F ( ) 0
Уравнения для определения an :
F ( 1)a1 p1 q1 0,
F ( 2)a2 a1[( 1) p1 q1 ] p1 q1 0,
...
n 1
F ( n)an an m [( n m) pm qm ] pn qn 0]
m 1
Показатели дифференциального
уравнения
Показатели диф. уравнения в точке с : 1 , 2
F ( ) 2 ( p0 1) q0 0 квадратное уравнение.
Если F ( ) 0 при n 1, 2,3,..., то коэффициенты an
находятся однозначно
( разность показателей 1 2 0, 1, 2,...)
Фундаментальная
система решений
1
n
u1 ( z ) ( z c) 1 an ( z c) ,
n 1
2
n
u2 ( z ) ( z c) 1 an ( z c)
n 1
Задача
Найти показатели в точке 0 и первые члены рядов для решений уравнения
d 2 u 1 4m 2 1
u 0, m целому числу
2
2
dz 4 z
4
Дома: найти все коэффициенты и радиусы сходимости рядов
Если разность показателей – целое число
(или 0)
Пусть
- показатель с большей вещественной частью, 1 2 s, s 0 или 1 или 2 или...
Тогда второе решение в виде ряда может потерять смысл или совпасть с первым.
В этом случае второе решение можно найти по известному первому (см. выше).
Ответ:
s 0 : u2 ( z ) C1u1 ( z ) C2 [u1 ( z ) ln( z c) ( z c) 2 hn ( z c) n ]
n 1
1
n
s 1, 2,...: u2 ( z ) ( z c) hn ( z c)
s n1
2
Уравнение Бесселя
z 2 y zy ( z 2 p2 ) y 0
Особая точка: z = 0
Определяющее уравнение:
2 p2 0 1 p, 2 p, 1 2 2 p
Первое решение
y1 z
p
z p 1 : [( p 1) 2 p 2 ]a1 0
n p
a
z
a
z
n n
n
n 0
n 0
z p 2 : [( p 2) 2 p 2 ]a2 a0 0
...
z p n : [( p n)2 p 2 ]an an 2 0
z2
z4
z6
y1 z 1
...
2
3
2 2( p 1) 2 4 2 ( p 1)( p 2) 2 4 6 2 ( p 1)( p 2)( p 3)
p
Второе решение
y2 z
p
p p
z2
z4
z6
1 2 2( p 1) 2 4 22 ( p 1)( p 2) 2 4 6 23 ( p 1)( p 2)( p 3) ...
Линейная независимость при
p 0,1, 2,...
Например, при p = 0 …
Функции Бесселя с целым индексом
1
p n, J n ( z ) n y1 ( z )
2 n!
Частные случаи:
(1) m z
J 0 ( z)
2
(
m
!)
2
m 0
(1)
z
J n ( z)
m0 m!(n m)! 2
m
n2m
J n ( z) (1)n J n ( z) - линейно зависимы
2m
2
Радиус сходимости ?
4
1 z
1 z
1 z
1
...
2
2
2
(1!) 2 (2!) 2 (3!) 2
Второе решение уравнения Бесселя
K n ( z ) CJ n ( z ) ln z z n cm z m
Kn (0)
m 0
Общее решение уравнения Бесселя при p = n:
y( z) C1J n ( z) C2 Kn ( z)
J n (0) n,0
6
n,0
1 (n 0)
0 (n 0)
- символ Кронекера
Степенной ряд для произвольных
индексов
z
J ( z)
2
(1)
z
m
!
(
m
1)
2
m0
m
2m
Г – гамма-функция (обобщение факториала)
( z 1) z( z )
(n) (n 1)!
1
( )
2
1
(n ) n (2n 1)!!
2
2
Рекуррентные формулы для функций Бесселя
z
J ( z)
2
Из степенного ряда
J ( z ) 1
z
2
(1)
z
m0 m!( m 1) 2
(1)
z
m
!
(
m
1)
2
m 0
m
d J ( z ) 1
(1)
z
dz z
2 m1 (m 1)!( m 1) 2
J 1 ( z )
1 d J ( z )
1 ; ...
z dz z
z
1 d
z J ( z ) z 1 J 1 ( z )
z dz
m
m
2m
2m
2 m 1
J 1 ( z )
z
Рекуррентные формулы
J ( z )
d
dz J ( z ) J 1 ( z ) z
d J ( z ) J ( z ) J ( z )
1
dz
z
2 J ( z )
J 1 ( z ) J 1 ( z )
z
J ( z) J ( z) 2 d J ( z)
1
1
dz
В частности
J 0 ( z) J1 ( z)
Формулы справедливы для любых цилиндрических функций
Функции Бесселя с полуцелым индексом
2n 1
p
2
Полученные ранее решения линейно независимы:
2
4
6
z
z
z
y1 z p 1
...
2
3
2
2(
p
1)
2
4
2
(
p
1)(
p
2)
2
4
6
2
(
p
1)(
p
2)(
p
3)
y2 z
p
1
p
2
z2
z4
z6
1
...
2 2( p 1) 2 4 22 ( p 1)( p 2) 2 4 6 23 ( p 1)( p 2)( p 3)
z2
z4
z6
y1 z 1
...
2 3 2 4 35 2 4 6 35 7
sin z
1
z3 z5 z7
z
...
3! 5! 7!
z
z
1/2
2
2
J1/2 ( z )
y1
sin z
z
J 1/2 ( z )
2
y2
2
cos z
z
продолжение
Привлекаем рекуррентные соотношения …
J
J
1
n
2
n
( z)
1
2
(1) (2 z )
( z)
n
n
1
2
d n sin z
(dz 2 ) n z
(1) n (2 z )
n
1
2
d n cos z
(dz 2 ) n z
- элементарные функции
Пары решений уравнения Бесселя
z y zy ( z p ) y 0
2
2
2
z
J p ( z)
2
(1)
z
m
!
(
p
m
1)
2
m 0
p
m
{J p , J p } функции Бесселя ( p целому числу )
N p ( z)
J p ( z ) cos p J p ( z )
sin p
функции Неймана
{J p , N p }
H p(1) ( z ) J p ( z ) iN p ( z ), H p(2) ( z ) J p ( z ) iN p ( z )
функции Ханкеля
{H p(1) , H p(2) }
2m
При малых аргументах
zp
zn
J p ( z) p
, J n ( z) n
2 ( p 1)
2 n!
2n (n 1)!
2 z
Nn ( z)
, N 0 ( z ) ln , ln 0.5772
n
z
2
При больших аргументах
J p ( z)
2
2
cos z p , N p ( z )
sin z p ,
z
2
4
z
2
4
H p(1,2) ( z )
2
exp i z p
z
2
4
2
1
p
z 2 y zy ( z 2 p 2 ) y 0 y y (1 2 ) y 0
z
z
z y y 0 y A cos( z )
Функции Бесселя с целым индексом
• Бесконечное число нулей (вещественных, неотрицательных и простых ,
за исключением x = 0 при n > 0)
• Чередование максимумов и нулей функций J n ( x) и J n1 ( x) . У этих функций
нет общих нулей. Наименьший положительный корень J n ( x) ближе к 0, чем у J n 1 ( x)
Ортогональность функций Бесселя
Пусть
1, 2
- корни уравнения
J ( ) J ( ) 0, 0, 0, 1
Тогда
1
2
2
xJ
(
x
)
J
(
x
)
dx
0
(
1
2)
1 2
0
2
2
1
1
2
2
0 xJ (1 x)dx 2 [ J (1 )] 2 1 12 J (1 )
1
Доказательство
d dJ ( 1 x) 2 2
x
1 x J ( 1 x) 0,
dx
dx
x
J ( 2 x)
d dJ ( 2 x) 2 2
x
2 x J ( 2 x) 0.
dx
dx
x
J ( 1 x)
Интегрируем по интервалу (0,1)
1
dJ ( 2 x)
dJ ( 1 x)
d
0 dx x J (1x) dx J (2 x) dx dx
1
( 22 12 ) xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx,
0
x 1 J ( 2 x) J ( 1 x) 2 J ( 1 x) J ( 2 x) 0
1
1
( 22 12 ) xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx.
0
Окончание
Из асимптотики при x 0 на нижнем пределе 0
1
1
0 xJ (1x) J (2 x) dx 22 12 1J (2 ) J (1 ) 2 J (1 ) J (2 ) (*)
По исходным условиям
J (1 ) 1 J (1 ) 0, J (2 ) 2 J (2 ) 0
Det 0 1 J (2 ) J ( 1 ) 2 J ( 1 ) J ( 2 ) 0
1
2
2
xJ
(
x
)
J
(
x
)
dx
0
(
1
2)
1 2
0
Предел в (*)
2 1
1
2
xJ
(1 x) dx lim2 1
0
1
J ( 2 ) J ( 1 ) 2 J ( 1 ) J ( 2 )
2
2 1
2 1
1
1
2
J ( 1 )
J ( 1 )[ J ( 1 ) 1 J( 1 )] ( ур ние Бесселя)
2
21
1
1 2 2
2
J ( 1 ) 1 2 J ( 1 ).
2
2 1
Разложение функций в ряд
f ( z ) Am J n (km z ), J n (km R) 0
m 1
Из условий ортогональности
R
2
2
J
(
k
z
)
J
(
k
z
)
z
dz
0
(
1
2)
n 1 n 2
0
R
f ( z) J
0
R
R
n
(km z ) z dz Am J (km z ) z dz
2
n
0
R
Am f ( z ) J n (km z ) z dz / J n2 (km z ) z dz
0
0
R
1 2 2
0 J (km z) z dz 2 R J n1 (km R)
2
n
(см. предыдущий слайд).
Можно доказать, что система базисных функций является полной.
Двумерное волновое уравнение
(полярные координаты)
2 u
Разделение переменных U ( x, y, t ) T (t ) R( )( )
2u a
0
(метод Фурье)
t 2
2
T (t ) cos(t ) sin(t )
k /a
- волновое число
n 0,1, 2,...
1 cos(n ) 2 sin(n )
R Zn (k ) C1J n (k ) C2 Kn (k )
Задача для внутренней области круга радиуса R:
Случай нулевого граничного условия:
J n (kR) 0
C2 0
U ( R, , t ) 0
- бесконечное число положительных корней
Частные решения:
km( n) : k1( n) , k2( n) , k3( n) ,...
(1)
(2)
U mn ( , , t ) [ mn
cos(mnt ) mn
sin(mnt )]cos( n ) J n ( km( n ) )
(1)
(2)
[ mn
cos(mnt ) mn
sin(mnt )]sin( n ) J n ( km( n ) ),
n 0,1, 2,... m 1, 2,...
продолжение
Общее решение уравнения,
удовлетворяющее граничным условиям:
(1)
(2)
U ( , , t ) [ mn
cos(mnt ) mn
sin(mnt )]cos(n ) J n (km( n ) )
n 0 m 1
(1)
(2)
[ mn
cos(mnt ) mn
sin(mnt )]sin(n ) J n (km( n ) )
U
U t 0 f1 ( , ),
f2 ( , )
t t 0
U
(1)
(2)
mn [ mn
sin(mnt ) mn
cos(mnt )]cos(n ) J n (km( n ) )
t n 0 m1
Начальные условия
(1)
(2)
[ mn
sin(mnt ) mn
cos(mnt )]sin(n ) J n (km( n ) )
(1)
(1)
f1 ( , ) [ mn
cos(n ) mn
sin(n )]J n (km( n ) ),
n 0 m 1
(2)
(2)
f 2 ( , ) mn [ mn
cos(n ) mn
sin(n )]J n (km( n ) )
n 0 m 1
Продолжение. Разложение по
F0(1) (1)
f1 ( , )
[Fn cos(n ) Gn(1) sin(n )],
2
n 1
Ряды Фурье
F0(2) (2)
f2 ( , )
[Fn cos(n ) Gn(2) sin(n )]
2
n 1
1
(1,2)
Fn ( ) f1,2 ( , ) cos(n )d ,
( )
(1,2)
n
G
1
f
1,2
( , )sin(n )d
n 0,1, 2,...
m 1
m 1
(1)
F0(1) 2 m(1),0 J 0 (km(0) ), Fn(1) mn
J n (km( n ) ),
(1)
n
G
J n (k )
m 1
(1)
mn
(n)
m
Аналогично для (2)
Окончание. Разложение по
1
2
2
xJ
(
x
)
J
(
x
)
dx
0
(
1
2)
1 2
Используем ортогональность
функций Бесселя
l
(1)
m ,0
1
2
F J 0 (k ) d
(1)
0
(0)
m
0
l
0
d f1 ( , ) J 0 (km(0) ) d
2
(0)
J
(
k
) d
0
m
0
(1)
mn
l
0
2 J 02 (km(0) ) d
0
l
d f1 ( , ) cos(n ) J n (km( n ) ) d
0
l
J n2 (km( n ) ) d
0
(1)
mn
,
l
l
d f1 ( , ) sin( n ) J n ( km( n ) ) d
0
l
J n2 (km( n ) ) d
0
,
(2)
(2)
mn
, mn
аналогично
Задание
Аналогично решить задачу для двумерного уравнения
теплопроводности в полярных координатах
-функция (Дирака)
Обобщенная функция. Определение (область интегрирования включает точку а)
0 x a
( x a)
x a
( x a)dx 1
( x) ( x), ( x)
1
Свойства
Трехмерная -функция
( x),
Точечный источник
f ( x) ( x a)dx f (a)
(r a) ( x ax ) ( y ay ) ( z az )
Производные от -функции
( x a)
df (a)
f ( x)
dx
,
x
da
f ( x) ( n ) ( x a)dx (1) n f ( n ) (a)
-функция (окончание)
( x) lim 0
1
x
2
2
,
f ( x) ( x a)dx lim f ( x) ( x a, )dx
0
1 sin kx
1
( x) limk
, ( x)
x
2
Родственные
функции
1
ikx
( x)
e
dk
2 0
V.P. – главное
значение
интеграла
ikx
e
dk
1
cos kx dk
0
1
i
1
( x) ( x) V .P.
2
2
x
( x) ( x) ( x)
a2
a1
f ( x) ( x)dx
a2
1
i
f ( x)
f (a)
V .P.
dx
2
2
xa
a1
a2
a
1
i
f ( x)
f ( x)
f (a)
lim 0
dx
dx
2
2
x a
a1 x a
a
a1 a a2 , 0
Метод Фурье на конечном
интервале (1D)
u
2 u
a
2
2
t
x
u ( x 0, t ) 0, u ( x l , t ) 0
2
2
u ( x, t 0) ( x),
u
( x, t 0) 1 ( x)
t
Разделение переменных
u ( x, t ) T (t ) X ( x),
XT a TX ,
2
T X
2
const
k
2
aT
X
2
2 2
X k X 0, T a k T 0
T (t ) A cos(akt ) B sin(akt ),
X ( x) C cos(kx) D sin(kx)
u ( x, t ) [ A cos(akt ) B sin(akt )][C cos(kx) D sin(kx)]
Граничные условия при x = 0, x = l:
C 0, sin(kl ) 0 k kn n / l, n 1, 2,...
n at
n at
n x
un ( x, t ) [ An cos
Bn sin
]sin
l
l
l
n at
n at
n x
u ( x, t ) An cos
Bn sin
sin
l
l
l
n 1
Начальные условия
n at
n at
n x
un ( x, t ) [ An cos
Bn sin
]sin
l
l
l
n x
n a
n x
( x) An sin
, 1 ( x)
Bn cos
l
l
l
n 1
n 1
2
n z
2
n z
An ( z )sin
dz, Bn
1 ( z )sin
dz
l 0
l
n a 0
l
l
l
Использовано выражение для коэффициентов разложения в ряд Фурье
Вынужденные колебания
2
2u
u
2
a
f ( x, t )
2
2
t
x
u ( x 0, t ) 0, u ( x l , t ) 0
u ( x, t 0) ( x),
u
( x, t 0) 1 ( x)
t
u vw
2
2v
2 u
a
f ( x, t )
2
2
t
x
v( x 0, t ) 0, v( x l , t ) 0
v
v( x, t 0) 0,
( x, t 0) 0
t
2w 2 2w
a
0
2
2
t
x
w( x 0, t ) 0, w( x l , t ) 0
w
w( x, t 0) ( x),
( x, t 0) 1 ( x)
t
Разделение переменных
n x
v( x, t ) Tn (t ) sin
l
n 1
n a
n
l
n x
2
f ( x, t ) [Tn (t ) n Tn (t )]sin
l
n 1
f ( x, t )
n 1
n x
f n (t ) sin
,
l
2
n z
f n (t ) f ( z , t ) sin
dz
l 0
l
l
Tn(t ) n2Tn (t ) f n (t ) n 1, 2,... Tn (0) 0, Tn(0) 0
Tn (t )
1
n
t
f
n
( ) sin[n (t )]d
0
n z
Tn (t )
d dz f ( z , ) sin[n (t )]sin
ln 0 0
l
2
t
l
Задачи