Интегрирование одномерного уравнения движения точки
Download
Report
Transcript Интегрирование одномерного уравнения движения точки
ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 2:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть материальная точка движется вдоль оси x. Тогда во время движения y=z=0.
my Fy
Fy 0
mz Fz
Fz 0
необходимые условия
движения по прямой
Эти условия не достаточны! (см. пример)
Для того, чтобы материальная точка двигалась по прямой необходимо и достаточно,
чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости
движения точки.
Д-во достаточности: Ось x направим по начальной скорости, а начало координат
совместим с начальным положением точки.
Fy Fz 0
y0
z0
y C1 , y C1t C3
z C2 , z C2t C4
y(0) 0, y(0) 0
z (0) 0, z(0) 0
C1 C3 0
C2 C4 0
2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ:
РЕШЕНИЯ В КВАДРАТУРАХ
В силу нелинейности дифференциального уравнения,
определение его решения в общем случае возможно только
численно (приближенно).
Однако существуют частные случаи, в которых нахождение
решения уравнения при выполнении начальных условий
сводится к квадратурам – взятию интегралов.
Выделим три таких случая:
F F (t );
F F ( x);
F F ( x)
3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(t)
mx F (t )
dx 1
F (t )
dt m
x
x
1
F (t )dt C1
m
1
F (t )dt dt C1t C2
m
4. ПРИМЕР: ГАРМОНИЧЕСКИ
ИЗМЕНЯЮЩАЯСЯ СИЛА
mx F (t )
x(0) x(0) 0
F (t ) P sin t
P
x(t )
sin t C1t C2
m 2
F (t ) P cos t
P
x(t )
cos t C1t C2
m 2
12
P
m
P
x(t )
t sin t
m 2
F=P sin( t)
10
C2
8
2
m x/P
C2 0, C1
F=Pcos( t)
6
x(t )
4
2
0
0
P
, C1 0
2
m
2
4
t
6
8
10
P
1 cos t
m 2
5. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(x)
mx F ( x) x
mxx F ( x) x
m d x
mxx
2 dt
2
F ( x) x
x
2
d
dt
F ( x)dx
2
F ( x)dx C1
m
dx
2
F ( x)dx C1
dt
m
dt
t
dx
2
F ( x)dx C1
m
C2
dx
2
F ( x)dx C1
m
t x; C1, C2
x t; C1, C2
6. ПРИМЕР : ПАДЕНИЕ ЗЕМЛИ НА
СОЛНЦЕ
x
x
fM
x2
x(0) x0
x(0) 0
1 d
fM
d 1
2
x
x
f
M
2 dt
x2
dt x
1 1
1 dx
fM
2 dt
x x0
2
1 1
dx
2f M
dt
x x0
2 f Mt
x0
x
dx
x 1 x01
x
x
x
2 f M t x03/ 2
1 arcsin
x0
x0 2
x0
1
0.8
0.6
x
x
x
1 arcsin
x0
x0
x0 2
x03
t
t0 2 мес.
fin
t0
42 дня
2
2f M
x/x0
t
t0
0.4
0.2
0
0
x0 1.5 1011 м
м3
11
f 6.6 10
кг с 2
M 2 1030 кг
0.5
1
t/t0
1.5
2
7. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(dx/dt)
СПОСОБ 1
mx F ( x)
mv F (v)
vx
x (t , C1 ) dt C2
x (t , C1 )
dv
dt
F (v ) m
t ( x, C1 )
dv
t
C
F (v ) 1 m
СПОСОБ 2
mx F ( x)
t
x
dv dv dx
dv
v
dt dx dt
dx
dx
C2
( x, C1 )
x ( x, C1 )
mvdv
dx
F (v )
x m
vdv
C1
F (v )
8. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Точка массы m падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной
силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки, если сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости ( R k 2 mv 2 , где k — постоянная).
v g k 2v 2
g e2 k gt 1
g ek gt e k gt
dx
dt
2 k gt
k e
k ek gt e k gt
1
1
x 2 ln e k gt e k gt C2
k
1
x(0) 0 C2 2 ln 2
k
1
1
e t / t0 e t / t0
x
x
,
t
ln
0
0
2
k
k g
x0
2
g
ln 2
Приближенное
t
t
x
t
0
решение
k
k2
2
x/x0
mx mg mk 2 x2
g kv
1
dv
ln
t C1
dt
2 2
2k g
g kv
g k v
k gt
k gt
v(0) 0
d
e
e
1
dt 2
k
ek gt e k gt
Exact
Approximation
1
0
-1
0
1
2
t/t0
3
9. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ
x(0) x(0) 0
x g k 2 x2
Исходная задача
x м t c
Единицы измерения
x cм t ч
x миля t сут
g м c 2 k 2 м-1
g см ч 2 k 2 см-1
g миля сут 2 k 2 миля -1
Численное значение констант g и k зависит от единиц измерения. Нельзя ли
выбрать «родные» для задачи единицы, так, чтобы она стала максимально простой?
d x0 x x0 d x
dx
dt d t0 t t0 d t
t t t0
x x x0
d 2 x x0 d 2 x
2
2
dt
t0 d t 2
2
2
d x
x0 d x
d x t
2 x d x
2
g
k
g
k
x
0
t02 d t 2
t d t
d t 2 x0
d
t
t02
1
Черточки над x и t для
g 1, k 2 x0 1 x0 k 2 , t0
x 1 x2
x0
k g
простоты записи опущены
Исходная
задача
2
2
0
2
0
2
2
0
10. ПРЕИМУЩЕСТВА
БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Проще решать. Не нужно таскать константы,
труднее ошибиться
Задачу нужно решить лишь один раз, а не для
каждого набора параметров. Все остальное
делается простым растяжением координат x и t
Свойства изучаемого процесса проще
анализировать если решение есть функция одной
переменной
x k 2 F k gt
лучше чем
x F t, k 2 , g
11. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Та же задача, но R k 2mv , где k — постоянная.
mx mg mk 2 x x(0) x(0) 0
Можно было бы решать как и предыдущую. Но рассматриваемое уравнение имеет
огромное достоинство: оно принадлежит классу линейных диф. уравнений с
постоянными коэффициентами. Метод их решения чрезвычайно прост и общ.
Рассмотрим вначале однородное диф. уравнение второго порядка с постоянными к-ми
x ax bx 0
Для построения его общего решения достаточно найти два частных решения.
Если x1 (t )и x2 (t )-такие решения, то в силу линейности C1 x1 C2 x1 -общее решение.
Частные решения легко предъявляются.
x et x ax bx e t 2 a b 0 1,2 -корни квадратного ур-ния
Общее решение однородного уравнения
x C1e1t C2e2t
Для построения общего решения неоднородного уравнения x ax bx f (t )
достаточно найти какое либо его частное решение x0 (t ) . В силу линейности
t
t
общим решением будет x x0 (t ) C1e 1 C2e 2 . Общий алгоритм построения x0 (t )
будет дан в курсе ДУ. Но во многих случаях x0 (t ) просто угадывается
12. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
mx mg mk 2 x x(0) x(0) 0
1) Переходим к безразмерным переменным
t t t0
x0 d 2 x
2 x0 d x
2
g
k
x x x0
t0 d t 2
t0 d t
x x 1
d 2 x t02
2 d x
g
k
t0
d t 2 x0
dt
t0 k 2
x0 gk 4
По-прежнему черточки над x и t для простоты записи опущены
2) Угадывем частное решение
x0 (t ) t
3) Решаем характеристическое уравнение
2 0 1 0, 1 1
x(t ) x0 (t ) C1e1t C1e2t t C1 C2et
4) Выписываем общее решение
5) Находим произвольные константы из начальных условий
x F (t ) t 1 et
6) Выписываем окончательный результат
x
g
F ( k 2t )
4
k