Transcript 4-7有效质量

§4-7 电子的有效质量
近自由电子模型―――把原子实和（n-1）
电子的共同作用概括为周期势场的作用；
用量子力学微扰论求解定态问题。
若材料处在外场中该如何处理？
用类似牛顿力学来讨论非定态问题。
Bloch电子费米气模型―――把晶格场
的影响计入m的变化→视为半经典粒
子。
一．电子的速度
自由电子波函数是平面波
 
 k , r ＝V
 12
C
e ik r
(5-99)
它的动量本征值为
P＝k
（5-100）
因而它的速度为

p 
 k＝ ＝ k
m m
(5-101)
考虑到自由电子的能量为
2

2
E k ＝
k
2m
可将自由电子的速度写成

1
 k ＝  k E (k )

(5-102)
(5-103)
（5-103）式是一个十分重要的公式。虽然它只针
对自由电子作了证明，但实际上只要加上能带
指数n对固体中的布洛赫电子也是成立的。
即

1
 n k ＝  k En ( k )

(5-104)
该式说明，布洛赫电子的运动速度和能量
梯度成正比，方向与等能面法线方向相同。
（▽K 表示在K空间运算：
自变量为 Kx、Ky、Kz）
二．电子的准动量
当有外场时，布洛赫电子受到外力的作用。
dt时间内电子从外力场获得的能量为（仅考
虑在一个能带中的运动，暂略去能带指数n）
dE＝F外·υdt
(5-105)
单位时间内得到的能量为

dE
1
＝F外  ＝F外   k E k
dt

(5-106)
从数学上复合函数求导
dE E dk x E dk y E dk z d k
＝


＝   k E k 
dt k x dt k y dt k z dt
dt
(5-107)
把k和F外分解成与▽kE（k）平行的分量（下标用∥
表示）及垂直的分量（下标用⊥表示）：
F外＝F外 //  F外


k ＝k
(5-108)

//
＋k 
(5-109)
比较（5-106）和（5-107）两式，

dE
1
＝F外  ＝F外   k E k
dt

dE E dk x E dk y E dk z d k
＝


＝   k E k 
dt k x dt k y dt k z dt dt
可得：

 k // ＝F外 //
(5-110)
事实上也可以证明

 k  ＝F外
也成立。因而有

 k ＝F外
(5-111)
（5-111）式和经典力学的牛顿定律：

P＝F
相当，因而
k
有动量的量纲。
（5-112）
但由于布洛赫波不是动量的本征
态，没有确定的动量，故称
 k 为布洛赫电子的准动量.
三．晶体中电子的有效质量张量
标量
矢量
B
A＝

 Ae
i i
称为零阶张量
i＝1,2,3 称为一阶张量
i
A ＝ Aij ei e j
i、j
i, j＝1、2、3 称为二阶张量
例如在各向异性的电介质中
D 


 E
Dx不仅与Ex有关，还与Ey、Ez有关，有九个元素。
由（5-104）式，可求得Bloch电子的加速度

1 d
1 d
V＝
K E(K ) 
 K E K x (t ), K y (t ), K z (t )
 dt
 dt
由梯度的定义，Kx方向的加速度
1 d  E 
＝


dt
 dt  K x 
dVK x
E
而
为t的复合函数[Kx(t),Ky(t),Kz(t) ]
K x
d VK x
dt
K y
1  E K x
E
 E K z
 ( 2
＋
＋
)
 K x t
K x K y t
K x K z t
2
2
2
类似可得
2

K
1  E K x  E
 E K z
y
＝ (
＋ 2
＋
)
dt
 K y K x t
K y K z t
K y t
dV K y
2
2
K y
1  E K x
 E
 E K z
＝ (
＋
＋ 2
)
dt
 K z K x t
K z K y t
K z t
dVK z
2
2
2
写成矩阵形式：
由式（5-111)

 k ＝F外
表示为
与牛顿定律

1
V ＝ m  F外
(5-114）

1
V ＝m F
形式上相似，而且不出现不易测量的FL，
把FL的困难并入 
1
（ m ）

1 可由能带结构求出，
（ m ）
称为倒有效质量张量.
1
( m )
1

 m
― 称为有效质量张量
因为 E（K）及其导数连续, 所以混合偏导与次序无关
2
 E
 E

K i K j
K j K i
2
(i≠j i, j＝1、2、3)独立元素只剩六个
所以以上为对称张量。
问题：
 1
mij
1 2E
＝ 2
 K i K j
是否

mij ＝
 E
？
Ki K j
2
2
若选择合适的坐标系，可使倒有效质量张量
对角化，则有效质量张量也对角化了，在这
种情况下

mxx
＝ 2
2E
K x2
m yy＝ 2
2E
K y2

zz
m ＝
2
2E
2
K z
即 形式上与
牛顿方程类似
dVkx
1
＝  F外kx
dt
mxx
dVx
1
＝ Fx
dt
m
dVky
dVy
dVkz
1
＝  F外kz
dt
m zz
dVz
1
＝ Fz
dt
m
1
＝  F外ky
dt
mYY
1
＝ Fy
dt
m
讨论：
1. Bloch电子在外场力作用下，运
动规律形式上遵守牛顿定律，只是
把m用有效质量

m 代替；
2．有效质量

m
为张量，
一般情况下

xx
m

yy
m

zz
m
此时，Bloch电子的加速度与外场力方向
可以不一致。例如：

设F外kx＝F外ky＝F外kz，但各 mii



不等,则 V kx 、V ky 、V kz 不等。
在k空间，当等能面为球面时（介质各向同性）
 E
 E
 E
＝
＝
2
2
2
K x
K y
K z
2

xx
2

yy

zz
2

m ＝m ＝m ＝m
有效质量成为标量
例如：自由电子
2
2
 2 
2
2
2
E＝ k  (k x  k y  k z ) —等能面为球面
2m
2m
2
E

2



mxx＝
＝ m ＝m ＝m
2
yy
zz
K x
3．一维情况

m ＝
 E
K 2
2
2
为标量，但标量并不等于是常量，
m*也与能带结构有关。
在能带上部（极大值处）
2
d E
0
2
dK
由
所以m*< 0
dv
1
＝  F外
dt
m
得Bloch电子的加速度与外力方向相反
。
类似，在能带下部（极小值处），m*>0
Bloch电子的加速度与外力同向。
注意：
能带底并不一定均在第一B.Z的中间部分。
4. 仍以一维情况为例。
设m:电子的惯性质量
FL:电子所受到的晶格场力；
F外:电子所受到晶体以外产生的场所施加的力。
dv/dt＝1/m·F＝1/m（F外＋FL）
与dv/dt＝1/m*F外比较，可得

m ＝m
F外
F外＋FL

m ＝m
F外
F外＋FL
即 m*与m的区别来源于FL，
m* 除了反映电子的惯性之外，还概括
了晶格场力FL对电子的作用。