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Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Resistencia de Materiales Tema 4 Estados de Esfuerzos y Deformaciones ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido Índice de contenido • Sección 1 - Estado general de esfuerzos • Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos • Sección 3 - Esfuerzos Principales • Sección 4 - Estado plano de deformación • Sección 5 - Transformación de deformaciones planas • Sección 6 - Deformaciones principales • Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana • Sección 8 - Círculo de Mohr ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido Índice de contenido • Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación • Sección 10 – Rosetas de Deformación • Sección 11 – Resumen de Ecuaciones • Sección 12 - Ejercicios ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos Estado general de esfuerzos En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor. Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes. En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté equilibrado. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Transformación de esfuerzos planos Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (sq) y uno cortante (txy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo q indica la dirección normal al plano de corte. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen sx, sy y txy sobre el elemento: Px s x dy t xy dy tan q Py s y dy tan q t xy dy ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el valor del esfuerzo sq: Fq Px cosq Py sin q s q dy 0 cos q Luego, al desarrollar la expresión nos queda: s q s x cos 2 q s y sin 2 q 2 t xy sin q cosq Si utilizamos la identidades trigonométricas: cos 2 q 1 cos 2q 1 cos 2q 2 ; sin q ; 2 sin q cosq sen2q 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Podemos plantear finalmente: s x s y s x s y cos 2q t xy sin 2q s q 2 2 Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a la dirección x. Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos queda: s x s y s x s y cos( 2q 180) t xy sin( 2q 180) s q ' 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Recordando que trigonométrica mente se cumple que: cos( ) cos( 180) 0 sin( ) sin( 180) 0 Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple: s x s y s q s q ' ctte Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano q. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py sobre la dirección q ’ (perpendicular a q ), tenemos: dy Fq ' Px sin q Py cosq t qq ' cosq 0 Desarrollando la expresión nos queda: t qq ' (s x s y ) cosq senq t xy sin 2 q t xy cos 2 q Recordando las identidades trigonométricas: cos 2 q 1 cos 2q 1 cos 2q 2 sin q ; ; 2 sin q cosq sen2q 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Podemos plantear finalmente: t qq ' s x s y sin 2q t xy cos 2q 2 Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación q respecto a la dirección x. Si planteamos la misma expresión para un ángulo q’=q+90º, nos queda: t q 'q s x s y sin( 2q 180) t xy cos( 2q 180) 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Recordando que trigonométrica mente se cumple que: cos( ) cos( 180) 0 sin( ) sin( 180) 0 Si sumamos los esfuerzos cortantes para q y q ‘ veremos que se cumple: t qq ' t q 'q 0 ; t qq ' t q 'q Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revés. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Esfuerzos Principales En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la seguridad del miembro cargado. La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos máximos: d ds q d s x s y d s x s y t xy sin 2q cos 2q dq dq 2 dq 2 dq De lo que resulta: ds q s x s y 2 sin 2q t xy 2 cos 2q dq 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda: tan 2q p 2 t xy s x s y Donde qp es la orientación del plano principal. Recordando que la función tanq se repite cada 180º, la función tan2q se repetiría cada 90º, por lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos visualizarla también de la forma: sin 2q p cos 2q p 2 t xy s x s y Donde el término -2txy representaría el cateto opuesto de un triángulo rectángulo con ángulo interno 2qp, y el término sx-sy representaría el cateto adyacente. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y hallar las expresiones para sin2q y cos2q. De la figura puede definirse la hipotenusa de triángulo: s x s y t xy 2 H 2 2 Finalmente, se puede plantear para qp1: sin 2q p1 t xy H ; cos 2q p1 s x s y 2 H Para qp2 las expresiones serían las mismas, pero con signo contrario. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Al introducir estas expresiones en la ecuación de sq, obtenemos: s 1, 2 s x s y s s s s t xy 2 x y x y t xy H H 2 2 Finalmente queda: s 1, 2 s x s y 2 s x s y t xy 2 2 2 Donde sp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Si sustituimos sin(2qp1,2) y cos(2qp1,2) en la expresión referente a tqq’, obtenemos: t qp qp 1 2 s x s y s s t 2 x y xy t xy 0 H 2 H Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales También podemos obtener expresiones para determinar los esfuerzos cortantes máximos en el elemento. Si derivamos la expresión del esfuerzo cortante que depende del ángulo q: dt qq ' (s x s y ) 2 cos 2q t xy (2 sen 2q ) 0 dq 2 Finalmente queda: sin 2q p s x s y tan 2q p cos 2q p 2 t xy De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales, existen dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las expresiones para sin2qp y para cos2qp. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Se cumple que: s x s y H 2 2 t xy 2 Por lo tanto: cos 2q t xy H sin 2q s x s y 2 H Al sustituir esta expresión en la expresión de tqq’, nos queda: s x s y t xy 2 2 2 t max ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Si sustituimos sin(2q) y cos(2q) en la expresión referente a sq, obtenemos: sq sq ' s x s y 2 s prom Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio (sprom). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 4 - Estado plano de deformaciones Estado plano de deformaciones Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias (e). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular g). Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres deformaciones, como se muestra en la figura. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Transformación de deformaciones planas Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección q, como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos que resulten muy pequeños: x e x dx g xy dx tan q 2 g xy y e y dx tan q dx 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de las deformaciones x y y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: eq x' dx' x cos q y sin q dx cos q Al desarrollar esta expresión, nos queda: e q e x cos q 2 g xy 2 sin cos q e y sin q 2 g xy 2 sin q cos q ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: 1 cos 2q 1 cos 2q 2 ; sin q ; cos q 2 2 2 2 sin q cosq sen2q Obtenemos finalmente: eq ex ey 2 ex ey 2 cos 2q g xy 2 sin 2q De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para esta expresión también se cumple que: e x e y eq eq ' ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Ahora, proyectaremos las deformaciones x y y sobre una dirección perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: g qq ' y' dx' x cos(q 90) y sin( q 90) dx cos q Al desarrollar esta expresión, nos queda: g qq ' e x cos q sin q g xy 2 sin q e y sin q cos q 2 g xy 2 cos 2 q ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: 1 cos 2q 1 cos 2q 2 cos q sin q ; ; 2 2 2 sin q cosq sen2q 2 Obtenemos finalmente: g qq ' ex ey 2 sin 2q g xy 2 cos 2q De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para esta expresión también se cumple que: g qq ' g q 'q Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Deformaciones Principales La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las deformaciones máximas: d g xy de q d ex ey d ex ey cos 2q sin 2q dq dq 2 dq 2 dq 2 De lo que resulta: g xy de q e x e y 2 sin 2q 2 cos 2q dq 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda: tan 2q p g xy ex ey Donde qp es la orientación del plano principal. Observemos que la solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones: sx ex sy ey ; ; t xy g xy 2 Entonces, podemos establecer la expresión para deformaciones principales: e1, 2 ex ey 2 ex ey 2 2 g xy 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones tangenciales máximas sería: g max ex ey 2 2 2 g xy 2 2 De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los planos donde ocurre la deformación unitaria normal máxima, la deformación unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformación unitaria tangencial es máxima, la deformación unitaria normal es eprom. e prom ex ey 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana Relación entre Esfuerzo y Deformación plana Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la dirección perpendicular a la que ocurre el mismo. Si por el contrario, el esfuerzo normal es de compresión, el elemento se acortará en la dirección del mismo y se estirará en la dirección perpendicular. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el módulo de Poisson (n). En caso de que el esfuerzo se produzca en la dirección x, la deformación que sufriría el elemento en la dirección perpendicular (ey/sx) se puede determinar mediante la relación: e y n e x n sx sx E El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x: e x n e y n sy sy sx E ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana Entonces, la deformación unitario normal resultante en una dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior. Podemos entonces plantear una expresión para la deformación resultante en la dirección x, dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones x e y: ex ex e x sx sy Al desarrollar esto, nos queda: 1 e x (s x n s y ) E Análogamente, podemos establecer una expresión para ey: 1 e y (s y n s x ) E ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana Las expresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. También podemos expresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección x, tendríamos: E sx (e x n e y ) 2 (1 n ) Y para el esfuerzo normal en la dirección y: E sx (e y n e x ) 2 (1 n ) Note que el esfuerzo normal también depende de deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular. las ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Círculo de Mohr Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen: s x s y s x s y cos 2q t xy sin 2q s q 2 2 t qq ' s x s y sin 2q t xy cos 2q 2 Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda: 2 s x s y s x s y 2 2 s t t q qq ' xy 2 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 2 Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma: s x s y t xy 2 R 2 2 2 De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma: s s prom t qq ' R 2 2 q 2 Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Método para graficar el círculo de Mohr A continuación describiremos un procedimiento para graficar el círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos. Su tomarán la siguiente convenciones: - Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada. - Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa. - Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj. - Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las ordenadas. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Los pasos a seguir son: 1. Graficar los puntos (sx,txy) y (sy,tyx), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos x e y respectivamente. Note que en este caso, txy hace girar al elemento en sentido antihorario y tyx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convención establecida. También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (sx y sy) son de tracción. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr 2. Trazar una línea que una los puntos (sx,txy) y (sy,tyx) y definir la dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de las abscisas en el valor sprom. 3. Con centro en el punto (sprom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (sx,txy) y (sy,tyx). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los parámetros sx, sy y txy, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa: - El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento diferencial. - Los esfuerzos principales (s1 y s2). - Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales (qp1 y qp2). - El esfuerzo cortante máximos (tmax) - Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante máximo. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección q, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2q respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos sq y tqq’ en el plano en cuestión. Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido antihorario. Note que para el caso mostrado, el esfuerzo sq es de tracción (+) y el esfuerzo cortante tqq’ trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (s). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal. Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo. Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2q=180º, es decir, q=90º. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas. Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x. Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos existe siempre un ángulo 2q=90º, es decir, q=45º. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen: g xy ex ey ex ey cos 2q e q sin 2q 2 2 2 g xy ex ey sin 2q cos 2q 2 2 2 g qq ' Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones: sx ex ; sy ey ; t xy g xy 2 ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera: g qq ' 2 eq e prom 2 R 2 2 Donde: ex ey R 2 2 2 g xy 2 2 Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas se referirá a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Recipientes de pared delgada Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación: r 10 t Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del mismo. Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (sT), y el otro tiene dirección longitudinal (sL). En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales (sT). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: P r 2 s L 2 t r Donde P es la presión interna del recipiente. Finalmente puede plantearse: r sL P 2t ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: P r L sT t L Finalmente : sT P r t ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse: P r 2 s T 2 t r Entonces, puede plantearse: sT P r 2t ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Barras sometidas a esfuerzos combinados … ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 10 - Rosetas de deformación Rosetas de deformación En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones: eq e x cos 2 q a e y sin 2 q a g xy sin q a cosq a a eq e x cos 2 qb e y sin 2 qb g xy sin qb cosqb b eq e x cos 2 qc e y sin 2 qc g xy sin qc cosqc c ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector: V dV q( x) Lim x dx x 0 M dM V Lim x dx x 0 V: Fuerza Cortante en una sección transversal M: Momento Flector en una sección transversal x: Distancia desde un extremo de la viga ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal debido a momento flector: My s I s: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal M: Momento flector sobre la sección transversal y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal I: Momento de inercia de la sección transversal ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica