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Mathematical
Modeling
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第三章
微分方程方法建模
3.1 微分方程建模
3.2 草地水量模型
3.3 传染病模型
3.4 食饵-捕食者模型
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of Mathematics
Mathematics HUST
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Mathematical
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Mathematical Modeling
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2008
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程
 分析所研究对象特征的变化规律
 预报所研究对象特征的未来性态
 研究控制所研究对象特征的手段
微分方程建模方法
 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数
 根据建模目的和问题分析作出简化假设
 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
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3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重
3.1.2 常微分方程建模基本准则
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3.1.1 人的体重
问题
研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038
（焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/
公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，
而1公斤脂肪含热量41868焦。
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3.1.1 人的体重
问题分析
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体重w
函数w(t) , 连续可微
时间t
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
微元法
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“导数”
3.1.1 人的体重
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进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述
体重的变化＝输入－输出
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
＝5429(焦/天)
输出＝进行健身训练时的消耗
运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
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3.1.1 人的体重
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模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
w(t  t )  w(t )
体重的变化/天＝
(公斤/天)
t
＝ w / t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/ 天＝
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焦/ 天
41868焦/ 公斤
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3.1.1 人的体重
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模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w
5429（焦 / 天） 69w（焦 / 天）
(公斤 / 天）
t
41868焦 / 公斤
两边的物理单位量纲一致，令
t  0
dw 1300  16 w

dt
10000
lim
w(0)  w0
t  0
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3.1.1 人的体重
模型求解
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dw(t )
dt

1300  16w(t ) 10000
分离变量法
d(16w(t ))
16dt

1300  16w(t )
10000
1300  16 w(t )
 16
ln

t
1300  16 w(0) 10000
0到t
1300 16w(t )  1300 16w(0) exp(16t /10000)
积分
1300 16w(t )  (1300 16w0 ) exp(16t / 10000)
1300 1300  16w0
w(t ) 
(
) exp(16t /10000)
16
16
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3.1.1 人的体重
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模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公斤)
16
即t
 ,
w平稳
1300

(公斤)  81.25(公斤)
16
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3.1.2 常微分方程建模基本准则
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常微分方程建模应符合下面基本准则：
翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速
率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
率”(在
放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：
1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
对某些实际问题直接列出微分方程；
2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足
的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下
面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率
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3.1.2 常微分方程建模基本准则
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常微分方程建模应符合下面基本准则：
 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正
确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，
建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x 表达式
t  0 即得到
dx
的表达式
dt
单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关
的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给
定的条件和微分方程一起给出。
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3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪
的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停
之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空
气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，
但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，
能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
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3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约
持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减
少，最终自然变干，恢复比赛。
由此可将研究对象视为草地积单位面积的
水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨
后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
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3.2 草地水量模型
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模型假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停
后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑
空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
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3.2 草地水量模型
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问题分析
开始时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
下雨时
持续c小时
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变
流出量(渗透、蒸发过程)
由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
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3.2 草地水量模型
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模型建立
A （平方米）: 草地的面积
a 单位时间内单位水量的渗透量
b 单位时间内单位水量的蒸发量
t, t  t  时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t ) A

rAt  aQ(t ) At ,
0t c
流入量－流出量 ＝ aQ(t ) At  bQ(t ) At , t  c
t  0

dQ(t )
r  aQ(t ) ,
0t c

aQ(t )  bQ(t ) , t  c
dt
Q(0)  0
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(2)
3.2 草地水量模型
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模型求解
注
若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)；
参数a, b可以通过参数辨识方法得到。
数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草
地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时
r  h / c  105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数
值代入(2)式整理方程，得
dQ  105  103 Q(t ) ,
0  t  1800
  3
4

10
Q
(
t
)

5

10
Q(t ) ,
t  1800
dt 
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3.2 草地水量模型
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模型求解
d
Q

0  t  1800 时 
 105  103 Q(t )
 dt

Q(0)  0
Q(t )  0.01(1  e
0.001t
)
Q(1800)  0.00835
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0  t  1800
3.2 草地水量模型
模型求解
t  1800 时
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 dQ
3
4


(
10

5

10
)Q(t )

 dt

Q(1800)  0.00835
Q(t )  0.124e
0.0015t
t  1800
（3）式能预测雨停后草
地中水是如何随时间变化
减少的
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3.2 草地水量模型
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模型求解
本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得
Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于
零，所以这样的t1是不存在的。
但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％
就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q
(1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1
满足(3)式，得
0.0835 10%  0.124e
0.0015t1
t1  3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水
量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
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3.3 传染病模型
模型1 (简单模型)
模型2 (SI模型)
模型3（SIS模型）
模型4（SIR模型）
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3.3 传染病模型
问题
 描述传染病的传播过程
 分析受感染人数的变化规律
 预报传染病高潮到来的时刻
 预防传染病蔓延的手段
 按照传播过程的一般规律，
用机理分析方法建立模型
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模型1(简单模型)
已感染人数 (病人) i(t)
假设
 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
建模
i(t  t )  i(t )  i(t )t
di
 i
dt
i (0)  i0
若有效接触的是病人，
则不能使病人数增加
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i(t )  i0 e
t
t i  ?
必须区分已感染者(病
人)和未感染者(健康人)
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模型2(SI模型)
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t ), s(t )
2）每个病人每天有效接触人数
为, 且使接触的健康人致病
建模
SI 模型
~日
接触率
N[i(t  t )  i(t )]  [s(t )]Ni (t )t
di
 si
dt
s(t )  i(t )  1
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 di
 i (1  i )

 dt

i (0)  i0
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 di
 i (1  i )

 dt

i (0)  i0
i (t ) 
模型2
i
1
1/2
i0
0
tm
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
 (日接触率)  tm
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Logistic 模型
1
1
  t
1    1e
 i0

1

t m   ln   1
 i0

t    i 1 ?
1
病人可以治愈！
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模型3（SIS模型）
传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染
增加假设
建模
3）病人每天治愈的比例为
SIS 模型
 ~日治愈率
N[i(t  t )  i(t )]  Ns(t )i(t )t  Ni(t )t
 di
 i (1  i )  i

 dt

i (0)  i0
 /
 ~ 日接触率
1/ ~感染期
 ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
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模型3
di/dt
di
 i (1  i )  i
dt
i
 >1
i0
   /  di  i[i  (1  1 )]
dt

 >1
i
 1
i0
di/dt < 0
1-1/
0
1-1/
1 i
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i0
0
1

,  1
1 
i ( )  


 1
0,
t
0
接触数 =1 ~ 阈值
  1  i (t ) 
t
 1
 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的
i0 小
健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
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模型4 (SIR模型)
假设
传染病有免疫性——病人治愈
SIR模型
后即移出感染系统，称移出者
1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率,
接触数  =  / 
建模
s(t )  i(t )  r (t )  1
需建立
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
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SIR模型
模型4
N[i(t  t )  i(t )]  Ns(t )i(t )t  Ni(t )t
N[s(t  t )  s(t )]  Ns(t )i(t )t
 di
 dt  si  i

 ds
 si

 dt
i (0)  i0 , s (0)  s0


i0  s0  1 (通常r (0)  r0很小）
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无法求出 i(t ), s(t )
的解析解
在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
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模型4
 di
 dt  si  i

 ds
  si
 dt
i (0)  i0 , s (0)  s0


消去dt
 /
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SIR模型
1
 di
 ds  s  1

i s  s  i0

0
相轨线
s
i ( s )  ( s0  i0 )  s  ln
 s0
i
相轨线 i (s) 的定义域
D  {( s, i ) s  0, i  0, s  i  1}
1
1
在D内作相轨线 i (s)
的图形，进行分析
D
0
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s
1
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模型4
相轨线 i (s) 及其分析
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SIR模型
 di
i
di
1


si


i

 dt
1 s

1 1

i( s)  ( s0  i0 )  s  ln

ds

s

 s0
 ds
  si
i s  s  i0
dt


D
P4
i (0)  i0 , s (0)  s0

P2

0
s(t)单调减相轨线的方向
s  1 /  , i  im t  , i  0
1
s
s满足 s0  i0  s  ln
0

s0
P1: s0>1/σ  i(t)先升后降至0
P2: s0<1/σ  i(t)单调降至0
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HUST
P1
im
P3
0
s
S0
1 /  s0
传染病蔓延
传染病不蔓延
1s
1/σ~阈
值
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预防传染病蔓延的手段
模型4
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SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/
• 提高阈值 1/
 ,  
降低 (=/)
 (日接触率)  卫生水平
(日治愈率)  医疗水平
• 降低 s0
s0  i0  r0  1
 的估计
1
s
s0  i0  s  ln
0
 s0
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提高 r0
忽略i0
群体免疫
ln s0  ln s

s0  s
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模型4
被传染人数的估计
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SIR模型
记被传染人数比例 x  s0  s
1
x
s
x  ln(1  )  0
s0  i0  s  ln
0

s0
 s0
i0 0, s0 1
1
1
x<<s0
x
x(1 
 2 )0
s0 2s0
x  2s0 ( s0 
s0 - 1/ = 
 小, s0  1
1

x  2
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i
)
P1
0 s 1 / 
s0
提高阈值1/σ降低被
传染人数比例 x
s
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模型验证
20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死
亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，
即有了 dr/dt 的实际数据，KerMack等人用这组数据把模
型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。
根据前面的SIR模型： s(t )  i(t )  r (t )  1
ds(t )
  Ns(t )i (t ),
dt
ds(t )

  s (t )
dr

N
有：
于是：
N
和
dr (t )
  Ni (t )
dt
这里，   / 
s(t )  s0 e r (t )
dr (t )
  (1  r (t )  s0e  r (t ) )
dt
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(*)
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当 r  1/  时，取（*）式右端的Taylor展开的前三项，在
r0=0初始值下求解，得到：
1 
t

r (t ) 
(s   1)   th(
  )
2  0
s0 
2

其中：
th 
s0  1

 2  (s0  1) 2  2s0i0 2
带回（*）式，即有：
然后确定s0等参数 ，画
出r（t）的图形，实际数
据在图中用圆点表示，
可以看出，理论曲线与
实际数据吻合得相当不
错。
dr (t )
 2

 t
dt
2s0 2 ch 2 (
)
dr
2
dt
800
700
600
500
400
300
200
100
O
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5
10
15
20
25
30
t
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3.4 被捕食者-捕食者模型
• 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠
捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用
鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。
• 模型的历史背景——一次世界大战期间地中
海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕
捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？
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食饵-捕食者模型(Volterra)
食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t)
甲独立生存的增长率 r
x  rx
乙使甲的增长率减小， x (t )  (r  ay) x
减小量与 y成正比
乙独立生存的死亡率 d
 rx  axy (1)
y  dy
甲使乙的死亡率减小，
y (t )  (d  bx) y  dy bxy (2)
减小量与 x成正比
a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力
方程(1),(2) 无解析解
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用数学软件MATLAB求微分方程数值解
t
x(t)
y(t)
0
20.0000
4.0000
0.1000
21.2406
3.9651
0.2000
22.5649
3.9405
0.3000
23.9763
3.9269
…
…
…
5.1000
9.6162
16.7235
5.2000
9.0173
16.2064
…
…
…
9.5000
18.4750
4.0447
9.6000
19.6136
3.9968
9.7000
20.8311
3.9587
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of Mathematics
Mathematics HUST
HUST
x~y 平面上的相轨线
2012
2008
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
2012
2008
食饵-捕食者模型(Volterra)
x (t )  (r  ay) x y (t )  (d  bx) y
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线
x(t), y(t)的周期约为9.6
xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9
用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。
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Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
分析第一象限的相轨线行为
x (t )  (r  ay) x
x(r  ay)
消去dt dx

y (t )  (d  bx) y
dy y (d  bx)
 d  bx
r  ay
dx 
dy
x
y
 d ln x  bx  r ln y  ay  c1
d
(x e
取指数
bx
r
)( y e
 ay
)c
c 由初始条件确定
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2012
2008
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
( x d ebx )( y r e ay )  c
f (x)
相轨线
2012
2008
f(x)
fm
g ( y)
f ( x) g ( y )  c
在相平面上讨论相轨线的图形
f (0)  f ()  0, f ( x0 )  f m , x0  d / b
0
y0
y
gm
0
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x
g(y)
g (0)  g ()  0, g ( y0 )  gm , y0  r / a
c  f m g m 时无相轨线
x0
以下设 c  f m g m
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
2012
2008
相轨线 f ( x) g ( y )  c
f(x)
y
g(y)
fm
y2
gm
q
p
0
x 1 x0
x2
x
0
Q4
Q4
y0 Q1
P
Q2
y1
Q3
Q3
y 0 x1 x x0 x x2 x
y1 y0 y2
c  fm gm
x  x0 , y  y0
c  fm gm
设c  pgm 令y  y0
g ( y )  g m f ( x)  p  f m
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
考察x [ x1 , x2 ]
相轨线退化为P点
f ( x) g ( y)  pgm f ( x)  p
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
x是[ x1 , x2 ]内任意点
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g ( y)  q  g m
Q3(x,y1), Q4(x,y2)
相轨线是封闭曲线族
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点附近情形
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)
相轨线是封闭曲线
求x(t), y(t) 在一周期的平均值
1
x
T
T
2012
2008
x, y y (t )  (d  bx) y
T
1 1 y
0 x(t )dt  T 0 b ( y  d )dt
1 ln y (T )  ln y (0) dT
 (

)
T
b
b
x(t)  (r  ay)x
轨线
P( x0 , y0 ) : x0  d / b, y0  r / a
中心
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1 y
x(t )  (  d )
b y
x  d /b
y r/a
x  x0 , y  y0
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
模型解释
x(t)  (r  ay)x
y(t)  (d  bx) y
初值 P0 ( x0 , y0 )
相轨线的方向
T1 : x(t )  y(t ) 
T2 : x(t )  y(t ) 
T3 : x(t )  y(t ) 
T4 : x(t )  y(t ) 
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25
T2
x  0
y  0
20
15
x  0，y  0
P
10
x  0 x  0，y  0
y  0 P0
5
•
T4
0
P(d / b, r / a )
T3
30
2012
2008
0
20
40
60
80
T1
100
120
x(t) 的“相位”领先
y(t)
120
100
80
x(t)
60
40
y(t)
20
0
0
T1 2 T2 4 T3
6
8
T410
12
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
模型解释
2012
2008
P(d / b, r / a )
30
25
捕食者 y  r
数量
a
20
15
P
r/a10
r ~食饵增长率
5
a ~捕食者掠取食饵能力
0
0
d/b 40
20
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
d
食饵
x
数量
b
d ~捕食者死亡率
b ~食饵供养捕食者能力
食饵数量与d成正比, 与b成反比
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60
80
100
120
Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
模型
解释
一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，
但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？
自然环境
捕捞
P( x , y ) x  d / b, y  r / a
rr-1, dd+1
x1  x, y1  y P  P1
战时
捕捞
2012
2008
rr-2, dd+2 , 2 < 1
x2  x1 , y2  y1 P1  P2
y
P( x, y)
•
•
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 )
•
x
食饵(鱼)减少，
捕食者(鲨鱼)增加
P  P1 还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，
使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。
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Mathematical
Modeling
Mathematical Modeling
2012
2008
食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,
而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点
Volterra模型
改写
x(t )  (r  ay) x
y (t )  (d  bx) y


x2 
x1 
x1 (t )  r1 x1 1   1  x2 (t )  r2 x2   1   2 
N2 
N1 


加Logistic项
 x1

x2 
x1 x2 
x1 (t )  r1 x1 1    1  x2 (t )  r2 x2   1   2  
N2 
N1 N 2 
 N1

可以证明，在给定条件下，此模型一定有稳定平衡点。
具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。
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