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Méthodes spectrales de simulation d’écoulements
- Éléments de théorie de l’approximation fonctionnelle.
- Approximations Fourier et Polynômiales Legendre et Chebyshev.
- Les méthodes spectrales Chebyshev.
- Définition et utilisation des opérateurs intégro-différentiels.
- Résolution de problèmes de Helmholtz.
- Résolution du problème de Navier-Stokes.
Références :
Canuto, Hussaini, Quarteroni et Zang, Spectral Methods in fluid dynamics ,
Springer series in Computational Physics (1988).
J. Boyde, Chebyshev and Fourier Spectral Methods, Dover Publishers,
(PDF mis en ligne gratuitement par l’auteur) (2001).
M. Deville, P. Fisher, E. Mundt, High-Order Methods for Incompressible
Fluid Flow, Cambridge monographs on applied and computational
mathematics, Cambridge University Press (2002).
C.Canuto, M.Hussaini, A.Quarteroni and T.Zang, Spectral Methods. Evolution to Complex
Geometries and Applications to Fluid Dynamics, Springer Verlag (2007).
C.Canuto, M.Hussaini, A.Quarteroni and T.Zang, Spectral Methods. Fundamentals in
Single Domains, Springer Verlag (2006).
G. Labrosse, Méthodes Spectrales, méthodes locales, méthodes globales,
problèmes de Helmholtz et de Stokes, Problème de Navier-Stokes, Editions
Ellipses (2011).
W. Guo, G. Labrosse, R. Narayanan, The application of the Chebyshev-Spectral Method
in Transport Phenomena, Lecture notes in Applied and Computational Mechanics,
Springer (2012).
Éléments de théorie de l’approximation fonctionnelle.
Définition du produit scalaire :
Dans l’espace des fonctions de carré pondéré sommable sur I, on
définit le produit scalaire de deux fonctions f et g par :
1
 f , g    f ( x) g ( x)w( x)dx.
1
Donc f
 f , f  .
1/ 2
2
Muni de ce produit scalaire, PN a une structure d’espace vectoriel.
Mesure d’une approximation :
f fonctioncontinuesur I  [ 1,1]
PN espace des polynômes(ordinaires ou trigonométriques) sur I de degré maximalN
1
w une fonctionpoids continuenon négativesur I telleque  w(x)dx existeet est positive.
-1
q de PN une approximation de f sur I
L’approximation (écart entre l’approximation q et la fonction f) est mesurée par
la norme Lp :
1/ p


p
f  q p    f ( x )  q( x ) w( x )dx 
 1

1
, p  1,2,...,
La norme infinie peut s’écrire
f  q   maxxI f ( x)  q( x)
C’est la nome la plus sévère et équivaut à la convergence uniforme.
1
1

f  q 1    f ( x )  q( x ) w( x )dx   maxxI f ( x )  q( x )  w( x )dx.
1
 1

1/ p


p

f  q p    f ( x )  q( x ) w( x )dx 
 1

1
 maxxI
1/ p



f ( x )  q( x )   w( x )dx  .
 1

1
La convergence en norme infinie implique donc la convergence de toutes
les autres normes.
Théorèmes relatifs aux approximations polynômiales.
Théorème de Weierstrass (1885) :
 f continuesur I et  ε  0,  N(ε ) et un polynômeq  PN /
f  q   .
Théorème d’existence et d’unicité :
Pour f une fonctioncontinuesur I et N un entierpositif,! fN  PN /
f  fN

 f  q  , q  PN
Remarques :
-un polynôme optimal pour une norme n’a aucune raison de l’être pour une autre.
- en norme infinie, le polynôme optimal définit l’approximation Chebyshev et
l’erreur commise peut donc être écrite :
E ( 0) ( f , N )  f  f N( 0)

 min qPN max xI f ( x )  q( x )
- en norme 2, le polynôme optimal définit l’approximation Legendre.
Pour toute fonction f continue sur I, la suite des erreurs minimales
d’approximations polynômiales de degré N croissant vérifie :
E ( 0) ( f ,0)  E ( 0) ( f ,1)  E ( 0) ( f ,2)  ...  E ( 0) ( f , N )
et limN  E ( 0) ( f , N )  0
La suite de polynômesoptimaux f N0 convergeuniformément versla solution f .
Propriété d’équi-oscillation :
L' erreur locale e( 0 )(x)  f(x)  f N( 0 )(x) de l' approximation optimaleprend
alternativementles valeurs E ( 0 )(f,N) sur au moinsN  2 pointsde I .
e( 0 )(xi )  e( 0 )(xi 1 )   E ( 0 )(f,N), xi  I , ordonnés,i  1,...,N  2.
La réciproque est vraie :
Si pour f continuesur I il existeq  PN / max f  q  δ et s' il existeau moins
N  2 pointsxi sur lesquels f(xi )  q(xi ) vaut  δ,alors:
q  f N( 0 ) et E ( 0 )(f,N)  δ .
Polynômes de Chebyshev et erreur minimale d’approximation :
Il est défini sur I  [1,1] par Tn(x)  cosn.  avec x  cos ,
soit Tn(x)  cos(n.arccos(x)).
Polynômes
T5 et T10
Tn

 1, et Tn ( x j )  1 en x j  cos( j / n), j  0,..,n
Ils obéissent à une relation de récurrence : T0 ( x )  1 T1 ( x)  x T2 ( x)  2 x 2  1
Tn1 ( x)  2 xTn ( x)  Tn1 ( x)
Le coefficient de plus haut degré de Tn vaut donc 2n-1.
Cherchonsà écrirela meilleureapproximation f N( 0 )(x) PN de la fonctionf(x)  x N 1.
Le polynôme q(x)  x N 1 
TN 1(x)
appartient à PN .
N
2
TN 1(x)
1
prend
alt
ernativ
ement
la
valeur

en N  2 points
N
N
2
2
et satisfait donc la propriétéd' équioscillation.
L' erreur x n 1  q(x) 
Doncq(x)est la meilleureapproximation de x N 1 dans PN .
Meilleure approximation d’un polynôme p(x) de degré N+1 par un polynôme
q de degré N
On décomposep sur la base des polynômesde Chebyshev:
N 1
N
i 0
i 0
p(x)   pˆ iTi(x), vérifionsque q(x)   pˆ iTi(x).
L' erreur vaut e(x)  p( x )  q( x )  pˆ N TN 1 ( x ).
L' approximation q est de degré N ,
l' erreur vérifie la propriétéd' équi - oscillation en prenantla valeur maximale
pˆ N , N  2 fois sur le domaine.
q est donc la meilleureapproximation de p dans P N
La meilleure approximation d’un polynôme par un polynôme de degré inférieur
est la troncature de sa décomposition Chebyshev.
Polynômes de Lagrange et théorème de l’unicité :
Un support d’interpolation est un ensemble de valeurs fp d’une fonction f définies
aux points particuliers x=xp.
Sur un support à n+1 points, il existe un seul polynôme de degré N passant par tous les
points du support: le polynôme de Lagrange.
N
Il s' écrit PN ( x)   a j x j et les coefficients sont déterminéspar :
j 0
Calcul: - résolution du système linéaire suivant:
P( x0 )  f 0
 1 x0

P ( x1 )  f1
1 x1


... ...
...

P( xN )  f N
 1 xN
- formule de Lagrange:
x 02
x12
...
xN2
... x 0N   a0   f 0 
   
... x1N   a1   f1 

... ...   ...   ... 
  
N 
... xN  a N   f N 
N
N
i 0
k 0
k i
PN ( x )   fi li ( x ), avec li ( x )  
En effet : li ( x j )   ij
x  xk
xi  xk
13
L’écriture polynomiale d’un polynôme de degré N est unique à partir de la
connaissance de ses valeurs en N+1 points distincts.
Si la fonction à interpoler est un polynôme de degré N, l’erreur d’approximation
est nulle mathématiquement, a priori très faible numériquement.
Théorème de l’erreur à l’approximation polynômiale
Soit le supportx p ,f p  f(xp ,p  0,...,N d' interpolation d' une fonctionf quelconque.
On définit par pN le polynômed' interpolation de Lagrangecorrespondant.
Soit  (x) une valeur de x compriseentreles pointsx p ,
l' erreur d' interpolation s' écrit :
 N
 1 d N 1 f
eN ( x )  f ( x )  pN ( x )    x  x j 
N 1


N

1
!
dx
j

0


.
 ( x)
ne dépend pas de f(x)
eN s’annule aux N+1 points du support.
Le terme produit ne dépend que du maillage choisi et il pourra être intéressant
de chercher à le minimiser.
Démonstration de la formule
Soit f  Cn1a, b, et a  x0  x1  ...  xn  b les pointsdu supportd' interpolation.
Pour x différentdes pointsde support,on définit K ( x) 
f ( x )  P( x )
( x  x0 )( x  x1 )...(x  xn )
On définitW (t )  f (t )  P(t )  (t  x0 )(t  x1 )...(t  xn ) K ( x)
qui s' annuleen t  x0 , x1,...,xn , x.
W s’annule n+2 fois, W’ s’annule n+1 fois, … Wn+1 s’annule une fois en un point   x0 , xn 
W n1 (t )  f n1 (t )  (n  1)! K ( x)
W n1 ( )  f n1 ( )  (n  1)! K ( x)  0
f n 1 ( )
K ( x) 
n  1!
Erreur d’interpolation :
f ( x)  P( x) 
( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn ) n1
f ( )
n  1 !
16
Propriété:
Soit En l' ensemble des polynômes de degré n de coefficient
de plus haut degré valant 1 :
p  En , max Tn ( x)  max p( x)
1 x 1
1 x 1
Au sens de la norme du maximum, Tn est la
meilleure approximat ion de 0 dans En .
Il est complètement défini pas ses racines, et leur utilisation
comme support d’interpolation permet donc de minimiser
( x  x0 )( x  x1 )...(x  xn ) n1
Tn1 ( x) n1
f ( x )  P( x ) 
f (ξ ) 
f (ξ )
n  1 !
n  1 !
17
Preuve :
Supposons p( x) un polynôme de degré n de coefficien t de plus haut degré égal à 1.
1
Si max p( x)  max Tn ( x)  n 1
1 x 1
1 x 1
2
r  Tn  p est un polynôme de degré n  1 au plus.
r ( x'k )  Tn ( x'k )  p ( x'k
k

 1
)
 p( x'
2
n 1
k
), k  0,1,..., n
r prend des signes alternés sur n+1 points et a donc n zéros. Il est de degré n-1
donc :
r  0 et p  T n
Ce qui contredit l’hypothèse.
18
 N

  x  x j   103 pour différentschoixde pointsx p


 j 0

a. Points uniformément répartis
b. Points obtenus par la projection de points répartis à angle constant sur la partie
supérieure du cercle unité (points -1 et 1 compris) : points de
Gauss-Lobatto-Chebyshev.
c. Points obtenus de la même façon en excluant les bords : points de
Gauss-Chebyshev.
La définition de ces points sera donnée par la suite.
L’approximation polynômiale converge-t’elle avec le degré d’approximation ?
Voyons l’illustration matlab correspondante :
observation du phénomène de Runge.
Meilleure approximation en norme L2
Soit Φn(x),n  0,...,Nune base orthonormé
e de polynômesde degré maximalN
en x  I .
n , m   m,n , m, n  N
Pour toute fonction f, il existe un polynôme unique fN qui définit, dans PN,
la meilleure approximation de f au sens de la norme L2. Il s’écrit :
N
1
n 0
1
~
~
f N ( x )   f N  N ( x ) ; f N   N , f     N ( x ) f ( x ) w( x )dx, n  0,...,N .


~
L' ensembledes coefficients f n ,n  0,..,N s' appellele spectreΦN de f .
Le degré maximalN de l' approximation s' appellela fréquencede coupure.
Pour une base de polynômesorthogonau
x non norméspn ( x), n  0,...,N ,
1
N
~
~
f N ( x )   f N pN ( x ) ; f N 
n 0


p , f  
N
 pN , pN 
N
( x ) f ( x ) w( x )dx
1
1
, n  0,...,N .
2
p
N
 w( x)dx
1
L' erreur e N ( x)  f ( x)  f N ( x), f N  PN de la meilleureapproximation au sens
de la normeL2 se situe dans le sous - espace orthogonalà PN .
Références pour compléter et approfondir ces notions :
E. Cheney, Introduction to Approximation Theory, Mac Graw Hill, New York, 1966
T. Rivlin, Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.