Transcript G - Erwin Sitompul

Kuliah 9
6. GRAF
Matematika Diskrit
Dr.-Ing. Erwin Sitompul
http://zitompul.wordpress.com
Pekerjaan Rumah (PR7)
Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan
Mahasiswa IT, Extension Program, PU, akan dipilih dari 50
orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk
memilih ketua dan bendahara, apabila:
(a) Tidak ada pembatasan khusus.
(b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua.
(c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau
tidak sama sekali.
(d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama.
• Posisi ketua himpunan berbeda dengan
posisi bendahara himpunan.
• Urutan penentuan posisi dalam hal ini
diperhatikan.
• Permasalahan pada PR ini berhubungan
dengan permutasi.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/2
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(a) Tidak ada pembatasan khusus.
P(50, 2)  50  49  2450 cara
(b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua.
P(49,1)  P(49, 2)  49  2352  2401 cara
Amir tidak terpilih sebagai ketua
dan tidak mau bertugas, akibatnya
dari 49 anggota lain akan dipilih
ketua dan bendahara
Amir terpilih sebagai
ketua, dengan 49 pilihan
untuk mengisi posisi
bendahara
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/3
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau
tidak sama sekali.
P(2, 2)  P(48, 2)  2  2256  2258 cara
Keinginan Budi dan Cora tidak
tercapai, dari 48 orang akan dipilih
2 orang untuk mengisi posisi yang
tersedia
Budi dan Cora terpilih
untuk bertugas bersamasama, terdapat 2 cara
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/4
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama.
P(48,1)  P(48,1)  P(48,1)  P(48,1)  P(48, 2)  2248 cara
Dudi dan Encep sama-sama
tidak terpilih, baik sebagai
ketua maupun bendahara
Encep sebagai
bendahara, Dudi tidak
sebagai ketua
Dudi sebagai
bendahara, Encep
tidak sebagai ketua
Dudi sebagai ketua,
Encep tidak sebagai
bendahara
Encep sebagai ketua,
Dudi tidak sebagai
bendahara
P(50, 2)  2  2448 cara
Keseluruhan cara
yang mungkin
Erwin Sitompul
Kejadian dimana Dudi dan Encep
bekerja bersama-sama
Matematika Diskrit
9/5
Definisi Graf
 Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek
diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut.
 Gambar di bawah ini adalah sebuah graf yang menyatakan
peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota
di Provinsi Jawa Tengah.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/6
Jembatan Königsberg (1736)
 Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan
kembali lagi ke tempat semula?
 Sebuah graf dapat merepresentasikan rangkaian jembatan
Königsberg:
 Simpul (vertex)  menyatakan daratan
 Busur (arc) atau sisi (edge)  menyatakan jembatan
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/7
Representasi Graf
Graf G = (V,E)
dimana:
V = Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)
= { v1,v2,...,vn }
E = Himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang
simpul
= { e1,e2,...,en }
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/8
Representasi Graf
 G1 adalah graf dengan
V = { 1,2,3,4 }
E = { (1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}
G1
Graf sederhana
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
9/9
Representasi Graf
 G2 adalah graf dengan
V = { 1,2,3,4 }
E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)}
= { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
G2
Graf ganda
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/10
Representasi Graf
 G3 adalah graf dengan
V = { 1,2,3,4 }
E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3) }
= { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8 }
G3
Graf semu
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/11
Klasifikasi Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda
(double edge) pada suatu graf, maka graf diklasifikasikan
atas 2 jenis:
1. Graf sederhana (simple graph), yaitu graf yang tidak
mempunyai gelang maupun sisi ganda.
2. Graf tak-sederhana (unsimple graph), yaitu graf
mempunyai sisi ganda atau gelang.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/12
Klasifikasi Graf
Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara
umum graf diklasifikasikan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graph), yaitu graf yang
sisinya tidak mempunyai orientasi arah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph), yaitu graf
yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/13
Contoh Terapan Graf
 Analisa Program
t:=0;
read(x);
while x <> 1945 do
begin
if x < 0 then
writeln(‘Tahun tidak boleh negatif.’);
else
t:=t+1;
read(x);
end;
writeln(‘Tertebak sesudah’,t,’kali coba.’);
1
2
3
4
5
6
7
8
:
:
:
:
:
:
:
:
t:=0
read(x)
x <> 1945
x < 0
writeln(‘Tahun...’)
t:=t+1
read(x)
writeln(‘Tertebak ...)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/14
Contoh Terapan Graf
 Teori Automata pada Mesin Penjaja
(Vending Machine)
D : Dime (10 cent)
Q : Quarter (25 cent)
Harga 1 botol
minuman 45 cent
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/15
Terminologi Graf
1. Ketetanggaan (Adjacency)
 Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya
terhubung langsung.
 Tinjau graf G1:
Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3.
Simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/16
Terminologi Graf
2. Bersisian (Incidency)
 Untuk sembarang sisi e = (vj,vk) dikatakan
e bersisian dengan simpul vj , dan
e bersisian dengan simpul vk .
 Tinjau graf G1:
Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3.
Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4.
Sisi (1,2) tidak bersisian
dengan simpul 4.
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/17
Terminologi Graf
3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
 Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi
yang bersisian dengannya.
 Tinjau graf G4:
Simpul 5 adalah simpul terpencil.
G4
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/18
Terminologi Graf
4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph)
 Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya
merupakan himpunan kosong.
 Tinjau graf G5:
merupakan graf kosong.
G5
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/19
Terminologi Graf
5. Derajat Simpul (Degree of Vertex)
 Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian
dengan simpul tersebut.
 Notasi: d(v).
 Tinjau graf G1:
d(1) = d(4) = 2.
d(2) = d(3) = 3.
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/20
Terminologi Graf
Tinjau graf G4:
d(5) = 0  simpul terpencil
d(4) = 1  simpul gantung (pendant vertex)
Tinjau graf G6:
d(1) = 3  bersisian dengan sisi ganda
d(3) = 4  bersisian dengan sisi gelang (loop)
G4
Erwin Sitompul
G6
Matematika Diskrit 9/21
Terminologi Graf
 Pada graf berarah:
din(v) = derajat-masuk (in-degree)
= jumlah busur yang masuk ke simpul
dout(v) = derajat-keluar (out-degree)
= jumlah busur yang keluar dari simpul v
d(v) = din(v) + dout(v)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/22
Terminologi Graf
Tinjau graf G7:
din(1) = 2
din(2) = 2
din(3) = 2
din(4) = 1
dout(1) = 1
dout(2) = 3
dout(3) = 1
dout(4) = 2
G7
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/23
Terminologi Graf
Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma)
 Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.
 Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka
 d (v)  2 E
vV
 Tinjau graf G1:
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) =
=2+3+3+2
= 2  jumlah sisi
=25
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/24
Terminologi Graf
 Tinjau graf G4:
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)
=2+2+3+1+0
= 2  jumlah sisi
=24
 Tinjau graf G6:
d(1) + d(2) + d(3)
=3+3+4
= 2  jumlah sisi
=25
G4
Erwin Sitompul
G6
Matematika Diskrit 9/25
Terminologi Graf
Contoh:
Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul.
Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masingmasing simpulnya adalah:
(a) 2, 3, 1, 1, 2 ?
(b) 2, 3, 3, 4, 4 ?
Solusi:
(a) Tidak dapat,
karena 2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9
adalah ganjil.
(b) Dapat,
karena 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16
adalah genap.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/26
Terminologi Graf
6. Lintasan (Path)
 Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul
tujuan vn di dalam graf G ialah urutan berselang-seling
antara simpul dan sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ...,
vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2),
..., en = (vn–1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.
 Panjang lintasan ditentukan oleh jumlah sisi dalam
lintasan tersebut.
 Tinjau graf G1:
Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan
dengan urutan sisi (1,2), (2,4),
dan (4,3).
Panjang lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3.
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/27
Terminologi Graf
7. Sirkuit (Circuit)
 Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang
sama disebut sirkuit.
 Tinjau graf G1:
Lintasan 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit 1, 2, 3, 1 adalah 3.
G1
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/28
Terminologi Graf
8. Keterhubungan (Connectivity)
 Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika
terdapat lintasan dari v1 ke v2.
 Suatu graf G disebut graf terhubung (connected graph)
jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V
terdapat lintasan dari vi ke vj.
 Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung
(disconnected graph).
 Contoh graf tak-terhubung:
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/29
Terminologi Graf
 Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf takberarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh
dengan menghilangkan semua arah/kepala panah).
 Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut simpul
terhubung kuat (strongly connected vertex) jika terdapat
lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v
ke u.
 Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi graf tak-berarahnya
terhubung, maka u dan v dikatakan simpul terhubung
lemah (weakly connected vertex).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/30
Terminologi Graf
 Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly
connected graph) apabila sembarang pasangan simpul u
dan v di G terhubung kuat.
 Bila tidak, G disebut graf terhubung lemah.
Graf terhubung lemah
Erwin Sitompul
Graf terhubung kuat
Matematika Diskrit 9/31
Terminologi Graf
9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf
 Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf,
maka G1 = (V1,E1) merupakan subgraf (subgraph) dari G
jika V1  V dan E1  E.
 Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf
G2 = (V2,E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah
himpunan simpul-simpul dengan mana anggota-anggota E2
bersisian.
G8
Erwin Sitompul
Sebuah subgraf
dari G8
Komplemen subgraf
Matematika Diskrit 9/32
Terminologi Graf
10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph)
 Subgraf G1 = (V1,E1) dari G = (V,E) dikatakan subgraf
rentang jika V1 = V, yaitu bila G1 mengandung semua
simpul dari G.
G9
Erwin Sitompul
Subgraf rentang
dari G9
Bukan subgraf
rentang dari G9
Matematika Diskrit 9/33
Terminologi Graf
11. Himpunan Potong (Cut Set)
 Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung G adalah
himpunan sisi yang bila dibuang dari G akan menyebabkan
G tidak terhubung.
 Pada graf di bawah, { (1,2),(1,5),(3,5),(3,4) } adalah cut-set.
G10
Erwin Sitompul
G10 tanpa cut set,
menjadi graf tak terhubung
Matematika Diskrit 9/34
Terminologi Graf
 Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah
lebih dari satu.
 Misalnya, himpunan { (1,2),(2,5)}, { (1,3),(1,5),(1,2)} dan
{ (2,6) } adalah juga cut-set dari G10.
 { (1,2),(2,5),(4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya,
{ (1,2),(2,5) } adalah cut-set.
G10
Erwin Sitompul
G10 tanpa cut set,
menjadi graf tak terhubung
Matematika Diskrit 9/35
Terminologi Graf
12. Graf Berbobot (Weighted Graph)
 Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi
bilangan pembobot.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/36
Pekerjaan Rumah (PR8)
Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar
dibawah ini.
(a) Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C.
(b) Tuliskan semua sirkuit yang ada.
(c) Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada.
(d) Gambarkan subgraf G1 = { B,C,X,Y }.
(e) Gambarkan komplemen dari subgraf G1.
Graf G
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 9/37