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敘述統計
引言
統計分析的目的在於利用母體內所有元素的數據，
看看是否有什麼訊息可以讓我們用來了解母體的
結構。
之前我們已經學會如何以表或圖的形式來表現母
體的分配，接下來我們也要藉助用單一數字來描
述與彙總資料囉！
彙總資料的統計量
描述資料的中心或中央的統計量：
算術平均數、中位數、分位數、眾數
測量母體中各個體的差異程度的統計量：
全距、變異數、標準差、變異係數
表達資料分佈形狀的統計量：
偏態、峰態
算術平均數
定義：
所有資料的總和除以資料個數所得的商
n
x1  x2    xn
x

n
x
i 1
n
i
說明：
由於考慮到資料中的每一項，所以易受
極端值影響
中位數
定義：
將資料從小到大排序後，中間項的數值
(當資料是奇數個時)或中間兩項的平均值
(當資料是偶數個時)
說明：
大約會有一半的數據小於(大於)或等於中
位數
分位數
定義：
將資料分成數等分，其分割點即稱為分位數。
四分位數是指將一組資料分為四等分，其分割
點就稱為四分位數，所以有第一四分位數、第
二四分位數(即中位數)、第三四分位數。
說明：
第一四分位數求法相當於求小於資料中位數的
所有數 值之中位數；同樣的，第三四分位數是
求大於資料中位數的所有數值之中位數。
眾數
定義：
一組資料中出現次數最多的數值。
當資料中出現最多次數的數值不只一個時，則
眾數不是唯一的；而當資料中的數值出現次數
都一樣多時，則眾數不存在。
說明：
若資料有對稱性且或越中間的數出現越多，則
眾數會越接近平均數，也會接近中位數。
範例一
收集11位同學在罰球線上投籃10次進籃的
次數，每位同學投中的次數分別為
2 3 4 4 3 6 4 4 5 6 3
分別求其算術平均數、中位數、第一與第
三四分位數和眾數?
解答
2  3 4  4  3 6  4  4  5 6  3
4
11
算術平均數＝
將11位同學投中的次數由小到大排序如下：
2 3 3 3 4 4 4 4 5 6 6
最中間的位置是排序第6 位，所以中位數為4。而
進籃次數最多者為4，出現4次，所以眾數是4。
小於中位數的數值為第1至第5筆資料，為
2 3 3 3 4，所以此部份的中位數為第3筆資料、
數值為3，代表第一四分位數為3。 大於中位數的
數值為第7至第11筆資料，為4 4 5 6 6 ， 所
以此部份的中位數為第9筆資料、數值為5，代表
第 三四分位數為5。
全距
定義：
一組資料中最大值與最小值的差距。
說明：
當全距越大，表示資料的分 散狀況越大，
反之則越小。
續範例一
試求投中次數的全距。
解答：
投中次數最多是6次，最少是2次
所以全距＝6-2=4 (次)
變異數
定義：
量測所有資料到平均數的平均距離。
設一母體資料 x1 , x2 , ..., xN ，且  為此母體的平均
N
數，則母體變異數
( x   )2
 
2

i 1
i
N
設一樣本資料 x1 , x2 , ..., xn，且
n
數，則樣本變異數
s2 
x 為此樣本的平均
2
(
x

x
)
 i
i 1
n 1
說明：
一般很自然會被想到用來量測資料分散程度之指
標值為平均絕對離差。 但絕對值在代數運算上較
麻煩，因此將絕對值改以平方來替代。注意變異
數會因資料中少數幾筆特別大或特別小的值，使
變異數變得特別大。
標準差
定義：
變異數開平方即所謂標準差。
N
母體標準差：
( x   )2
 
樣本標準差：

i 1
i
N
n
s
2
(
x

x
)
 i
i 1
n 1
說明：
由於變異數的單位是資料單位的平方，它必需開
方後才能恢復原來的單位，因此常以變異數開平
方來表示資料的分散程度， 即所謂的標準差。
注意
由於統計通常母體很大，很難由普查得到全體資
料，而大部分統計工作都是抽樣資料，所以一般
若未說明資料是母體的資料時，所有變異數、標
準差計算皆以樣本變異數、樣本標準差作為討論
的對象。
範例二
雅虎籃球隊有10名隊員，身高如下表：
編號
1
身高
182
（公分）
2
3
4
5
6
185 186 186 196 183
7
175
8
9
188 183
求此球隊隊員身高的變異數和標準差。
10
186
解答：
雅虎籃球隊隊員平均身高為

182  185  186  186  196    186
 185
10
母體變異數為
(182  185)2  (185  185)2    (186  185)2 250
 

 25
10
10
2
母體標準差為   25  5
續範例二
若由雅虎籃球隊抽出5名隊員，如下表：
編號
2
4
5
8
9
身高
185 186 196 188 183
（公分）
求此5名隊員身高的樣本變異數和樣本標準
差。
解答：
5名隊員平均身高為
x
185  186  196  188  183
 187.6
5
樣本變異數為
(185  187.6)2  (186  187.6)2    (183  187.6)2 101.2
s 

 25.3
4
4
2
樣本標準差為 s  25.3  5.0299
變異係數
定義：
一組資料的變異係數是指將此組資料的標準差
除以平均數所 得的商化為百分比所得之值，即
變異係數為
s
C.V .   100%
x
說明：
變異係數是一種相對差異量數，用以比較單位
不同或單位相 同但資料差異甚大的資料分散情
形。
範例三
調查5位學生之身高及體重如下，試比較其
分散程度。
身高：172、168、164、170、176 (公分)
體重：62、57、58、64、64 (公斤)
解答：
因為身高與體重的單位不同，欲比較二者的分散程度，
可利用變異係數來比較。分別計算身高與體重各自的平
均數與標準差，得
平均身高 為170公分、標準差為4.47公斤
平均體重為61公斤、 標準差為3.31公斤
接著計算身高的變異係數為4.47/170*100% = 2.63%
體重的變異係數為3.31/61*100% = 5.4%。
比較二者，由於體重的 變異係數較大，所以體重的分散
程度較大。
偏態
定義：
量測一組資料對稱與否的指標。
3( x  Me )
SK 
s
其中 x 表平均數， Me表中位數，而
標準差。
s表
比較一下(1/2)
對稱圖形的平均 數＝中位數＝眾數，
因此偏態係數SK = 0。
比較一下(2/2)
右偏(正偏)圖形，表示有少數幾
筆資料很大，其平均 數>中位數
>眾數，因此偏態係數SK > 0。
左偏(負偏)圖形，表示有少數幾
筆資料很大，故平均 數<中位數
<眾數，所以偏態係數SK < 0。
峰態
定義：
量測資料分佈形狀峰度有多高的指標。
n
K
4
(
x

x
)
 i
i 1
ns
4
3
其中 s 表標準差， n表樣本數。
說明：
峰態係數K > 0稱為高峻峰
峰態係數K＝0稱為常態峰
峰態係數K < 0稱為低闊峰
範例四
收集11位同學罰球投籃10次，投中次數分別為
3 2 3 7 4 3 6 4 3 3 6
試求其偏態係數和峰態係數？
解答：偏態係數為1.86，圖形為右偏。
峰態係數為-1.198，圖形為低闊峰。
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