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Introducción a la Sociomática
El Estudio de los Sistemas Adaptables Complejos en el
Entorno Socioeconómico.
Dr. Gonzalo Castañeda
Capítulo 3: Autómatas Celulares
3.0.- Introducción
• Los autómatas celulares (CA) son modelos computacionales
conformados por un gran número de componentes (o células),
cada uno de los cuales se comunican con una fracción
relativamente pequeña de los demás componentes.
• Creados por J. Von Neumann y S. Ulam en los 40’s y 50’s
• Los CA se forman con una retícula en las que cada bloque o
celda es una célula, por lo general se trata de arreglos en 1-D o
en 2-D.
• El estado de c/célula toma valores discretos que cambian a
través del tiempo en función de su propio estado y el de los
objetos (o células) ubicados en una cierta vecindad.
• Aunque las reglas de transición hayan sido impuestas de
arriba-hacia-abajo, al aplicarse a todos los agentes se genera
un proceso descentralizado (de abajo-hacia-arriba)
• El mundo artificial “crece” a partir de condiciones iniciales
especificadas por el analista: configuración de la retícula,
vecindades, estados iniciales, condiciones de frontera
3.1 topología de un CA
• Con frontera: línea en 1-D, cuadrícula en 2-D
• Sin frontera (periódicas): círculo en 1-D (se unen
extremos de la línea), torus en 2-D (se une el N al S y
el E al O)
• En el caso con fronteras las vecindades limítrofes no
son del mismo tamaño que las centrales
• Retícula en 2-D:
• Torus
Vecindades de un CA
• Las vecindades de un CA se definen tomando como
centro cada una de las células de la retícula, y su
tamaño depende del número de células incluidas en
un determinado radio
• Cuando la “visión” de la célula se considera
importante para delimitar el rango de interacción el
radio de la vecindad es definido por el analista
• A) de Von Neumman
B) de Moore
Reglas de transición
• En la mayoría de los CA el conjunto de estados es binario
(blanco o negro, 1 ó 0, vivo o muerto, encendido o apagado)
• En una vecindad Von Neumann existen 25 = 32 posibles
configuraciones
• Como las reglas de transición se construyen con 32
argumentos y se asignan uno de los dos estado, existen 232
variedades de CA
• En una vecindad tipo Moore hay 29 = 512 configuraciones y
2 512 posibles CA
• En un CA de 1-D con 3 miembros, las configuraciones
posibles son 23 y el número de reglas o CA son 28.
• El número de variantes de un CA crece exponencialmente
con el número de estados (D) y con el tamaño de las
vecindades (K) : DDK
3.2.-Autómatas celulares en 1-D
• Matemáticamente una regla de transición
con una vecindad de radio 1 (K =3) se
define:
Di (t  1)  f Di1 (t ), Di (t ), Di1 (t )
• Una regla para este tipo de CA sería
Di-1(t)
Di(t)
Di+1(t)
Di(t+1)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
• Representación gráfica de un CA en 1-D
• Representación Matemática
Di (t  1)  0 si D i (t )  1  i   i
Di (t  1)  0 si D i (t )  0  i   i
de lo contrarioDi (t  1)  1
• Al graficar en renglones sucesivos los
diferentes estados alcanzados por el CA de
1-D se visualiza su evolución a través del
tiempo.
• Ejemplo cuando se inicializa con las dos
células centrales activas
El triángulo de Sierpinski
• Al aplicar la regla 90 a un CA de 1-D se logra
simular el triángulo de Sierpinski (topología es un
círculo, célula encendida = color amarillo)
• La célula se apaga en t+1 para cualquier célula
que está apagada o encendida en t cuando no
existe alguna otra célula encendida en su vecindad
(muerte por aislamiento)
• La célula también se apaga en t+1 para cualquier
célula que está apagada o encendida en t cuando
las otras dos células en su vecindad están
encendidas (muerte por saturación).
• Cuando sólo una célula esta apagada o sólo una
está encendida la célula central se enciende en
t+1 o se deja encendida si ya lo estaba.
Simulación en NETLOGO: Model Library → Sample
Models → Computer Science → Cellular Automata
→ CA 1D Simple Examples → CA 1D Rule 90
3.3.- El Juego de la Vida
• Creado en los 60’ por John Comway: analizar la
capacidad de auto-reproducción; entendida como la
creación de programas (información a procesar) a
partir de programas con estructuras de información –
datos e instrucciones- similares
• (i) una célula viva muere cuando se encuentra
aislada, es decir, cuando está rodeada por menos de
dos vecinos;
• (ii) una célula viva muere cuando existe
sobrepoblación, es decir, cuando tiene más de tres
vecinos;
• (iii) una célula nace cuando está vacía (sin
existencia) y tiene tres vecinos con vida;
• (iv) en todos los demás casos (exactamente dos
vecinos) la célula no modifica su estado.
• Matemáticamente:
Si
• Aislamiento:
• Stasis:
Si

D k (t )  2

D k (t )  2
k  i , i  k
k  i , i  k
• Reproducción:
Si
•
•
•
•
Si
entonces D i (t  1)  D i (t)

D k (t )  3
entonces D i (t  1)  1

D k (t )  3
entonces D i (t  1)  0
k  i , i  k
• Sobrepoblación
entonces D i (t  1)  0
k  i , i  k
Objetos que se pueden crear son muy variados:
(i) estáticos (boat, block):
(ii) periódicos (blinker, toad):
(iii) móviles (Glider, Lightweight spaceship)
Tumbler: ejemplo de objeto periódico
• La configuración inicial se auto-reproduce
cada 12 periodos
• la celda (f4) se mantiene en negro por efecto de
stasis,
• la celda (c3) pasa de negra a blanca por el efecto
de la sobrepoblación;
• la celda (e2) pasa de negro a blanca por efecto
del aislamiento;
• la celda (f1) se vuelve negra por efecto de la
reproducción.
Simulación en NETLOGO: Model Library → Sample Models
→ Computer Science → Cellular Automata → Life
• Se siembran aleatoriamente 35% de células vivas (color rojo)
• Por lo general cuando avanza la “vida” se llega a una situación
estacionaria
• Pero esta puede crecer ininterrumpidamente (Gosper Glider
Gun)
• Otras opciones disponibles en internet:
• http://www.bitstorm.org/gameoflife/
* El juego de la vida y la
computación universal
• Tiene la capacidad de realizar cualquier tipo de
computación.
• Distintas configuraciones de un CA = códigos de
instrucciones y datos de un programa.
• Regla de transición = sistema operativo que indica
la forma de ejecutar el programa
• Distintos objetos o estructuras de información (i.e.,
glider, glider guns) se pueden asociar a operadores
lógicos (and, or, not)
• Todas las combinaciones de operaciones lógicas
se pueden construir en el juego de la vida.
3.4.- El Juego de las Mayorías
• Se trata de un CA de 2-D en donde las opiniones de
un individuo se modifican en función del sentir
mayoritario (presión social).
• Aplicaciones: formación de opiniones y actitudes,
propagación de gustos, modas o normas sociales,
intención de voto de los individuos.
• El estado suele ser binario ( cerveza o vino, Chelsea o
Barcelona, güeras o trigueñas, pelo largo o corto)
Si

k  i , i  k
Si

k  i , i  k
D k (t )  4
D k (t )  4
En el caso contrario
entonces D i (t  1)  1
entonces
D i (t  1)  0
Di (t  1)  Di (t )
En NetLogo : Model Library → Sample Models →
Social Science → Voting.*
• El sembrado inicial es aleatorio (azul y verde), conforme avanza la corrida
se forman clusters en donde la opinión marginal adopta la posición
mayoritaria (en la frontera se ubica el voto dividido)
• Otras reglas: (i) en caso de empate hay cambio de color, (ii) el voto de la
célula central se le da al perdedor cuando hay una relación 5 a 3; (iii)
agentes heterógenos con diferentes criterios para cambiar la decisión del
voto
• ¿Es posible que las opiniones cambien de manera permanente?, ¿De qué
depende el tamaño de los clusters?
• Cuando se toma un color aleatorio en caso de empate es posible generar
una posición homogénea en todo el espacio (Gilbert y Troitzch).
• http://cress.soc.surrey.ac.uk/s4ss/code/NetLogo/majority.html
3.5.- Reglas probabilísticas
• Sembrado inicial aleatorio pero el modelo es
considerado determinístico.
• Modelo estocástico requiere de reglas
probabilísticas (se aplican en unos casos y en
otros no) o introducir contingencias no previstas
que afecten el entorno y las acciones
• Regla determinística:
Si k  ,k i D k (t )  1 entoncesD i (t  1)  1
i
• Regla estocástica:
Si

k  i , k  i
en el caso contrario D i (t  1)  0
D k (t )  1 y númeroaleatorio[0,1]  entoncesD i (t  1)  1
en el caso contrario D i (t  1)  0
CA estocástico en 1-D
NETLOGO: Model Library → Sample Models → Computer Science →
Cellular Automata → CA Stochastic.*
• Con reglas determinísticas el 100% ó 0% de las
veces se aplica “on” en las 8 configuraciones
posibles
• Con reglas estocásticas se elige un porcentaje entre
estos números (puede ser diferente para
c/configuración)
• El indicador de entropía (probabilidad de que se
repitan secuencias) (orden = 0, caos = 1 todas las
secuencias tienen la misma probabilidad de
aparecer)
• En la simulación se aprecia que el tipo de regla sí
importa.
• Regla estocástica (default)
• Regla determinística (100% siempre ‘on’ en
primera columna y 0% en segunda columna)
Modelo del chisme o rumor
Model Library → Sample Models → Social
Sciences → Rumor Mill.*
• Una vez que un individuo conoce un chisme (idea, innovación
actitud) lo divulga en su vecindad a través del contacto
cotidiano
• La persona que conoce el chisme escoge un vecino al azar
para pasárselo (el chisme nunca se olvida)
• En la pantalla el tono de color verde indica cuantas veces se ha
oído el mismo chisme.
• ¿Por qué la transmisión se da en todas direcciones pero de
manera irregular?
3.6 Vecindades extendidas
• En ocasiones conviene representar a individuos con
‘visiones’ diferencidas
• Comportamientos heterogéneos: (i) por actitudes
(grado de parroquianismo → connotación social); (ii)
por disponibilidad de recursos (conseguir
información distante→ costos de transacción)
• En los modelos de formación de opiniones el grado
de influencia varía en función del distanciamiento
(físico o social)
• Modelo de ‘impacto social’ de Latané (opresores y
partidarios): (a) efecto de la reciprocidad; (b) ‘fuerza’
de la persuación
2
N
iko 
 Sj


 2
j 1  d kj




Modelo de impacto social
Community Models (SITSIM)
http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/community/Sitsim
• La opiniones iniciales se siembran aleatoriamente, el
observador define el ponderador que todos los agentes
asignan a su propia opinión vis-a-vis el resto ( 0 = fuerza de
los demás es muy reducida)
• El cambio de color ocurre cuando el indicador de influencia
de los opositores es mayor al de los partidarios
• ¿Por qué la opinión minoritaria no desaparece? ¿por qué se
forman islas? ¿ ¿qué sucede cuando se da mucho peso a la
opinión propia?
3.7 Diseminación cultural
• ¿La interacción social conduce a la
homogeneidad cultural?
• CA de Axelrod: estados descritos a través de
vector multivariado y número finito de valores.
• No hay telepatía social, comunicación requiere
similitud cultural (religión, lenguaje, ideología)
• A mayor similitud mayor interacción, a mayor
interacción mayor similitud
• Célula A (2,7,4,4,0), célula B (3,7,5,4,1) 40%
de similitud: variantes 7 y 4 en 2o y 4o lugar.
* El modelo de Axelrod
• CA 10 x 10, vecindades Von Neumann
• Vector culrural sembrado aleatoriamente con 5
elementos culturales y 10 variantes culturales
• Regla de transición: (i) se activa al azar una
célula y se elige aleatoriamente a vecina
• (ii) células interactúan con probabilidad definida
a partir del grado de similitud.
• Interacción: cambia variante de elemento
cultural diferente en célula central
• En vectores (2,7,4,4,0) y (3,7,5,4,1) cambia 2
por 3 si primer elemento es elegido
* Patrón emergente
• Coexisten convergencia cultural local y
polarización cultural global
• Cierto número de corridas con este escenario
en los demás hay homogeneidad
• (a) inicial
(b) 80, iteraciones
* Axelrod en Netlogo
• Modelo de Diseminación cultural disponible
en “Community Models”
• Resultados: afinidad cultural es paulatina y
regiones culturales en devenir histórico
• Secuencia de una corrida:
• Entre más variantes culturales mayor número de
regiones culturales
• Entre más elementos culturales menor número de
regiones culturales
• Intuición: existen mayores posibilidades de
encontrar variantes afines
• ¿Qué pasa si cambia el tamaño del territorio?
• (a) con 15 variantes
(b) con 20 variantes
3.8.- Los autómatas celulares y el
umbral del caos
• ¿Por qué en el juego de la vida se pueden crear
objetos estáticos, periódicos y móviles?
• Langton estableció la conexión entre las transiciones
de fase de la materia y la computación (capacidad
de almacenar información y ejecutar instrucciones)
→ ‘umbral del caos’
• ¿Existe también un umbral del caos en la vida
misma? Transición entre una sociedad industrial y
una post-industrial → cambios tecnológicos,
institucionales y culturales
• S, Wolfram: los autómatas celulares tienen una gran
similitud con fenómenos físicos representados a
través de sistemas de ecuaciones no lineales
Clases de Wolfram en los CA de 1-D
• (i) Clase I :“punto de atracción”, células del autómata
terminan por alcanzar un arreglo homogéneo (todas
vivas o muertas) en uno o dos periodos.
• (ii) Clase II: se converge a un escenario periódico o
estado estacionario en el que los mismos patrones se
repiten cada determinado ciclo.
• (iii) Clase III: situación caótica; a lo largo de la
simulación se producen movimientos erráticos en los
que no es posible identificar patrón alguno.
• (iv) Clase IV: entorno de gran complejidad; se
combinan burbujas que se comportan cíclicamente y
objetos que crecen y al combinarse entre si dan
origen a nuevas estructuras en una dinámica muy
creativa (juego de la vida)
Categorías de CA en 1-D
NetLogo: Library → Sample Models → Computer Science →
Cellular Automata → CA 1D Elementary.
• El programa ofrece la posibilidad de elegir el
porcentaje de células vivas y el número de regla de
transición a aplicar
• A continuación se presenta el caso de una densidad
de vivas del 10%
• Clase I: Homogéneo: después de una fase de
transición eventualmente todos viven o mueren (regla
255)
• Clase II: Periódico: el patrón se repite periódicamente en el
espacio o en el tiempo. (regla 59)
• Clase III: caótico: el patrón crece de manera anárquica con
pequeñas islas de orden (regla 161)
• Clase IV: complejidad: comportamientos locales estables y
objetos que se transforman (regla 73)
Categorías en un modelo de
crecimiento con ecuaciones no-lineales
• El modelo (P(0) = 0, C = 5000: P(t )  lP(t ) C  P(t )
• (a) ‘Punto de atracción (l = 1)
(b) ‘Atractor periódico’ (l = 2)
• (ib’) Ciclos irregulares (l = 2.5)
(iv) ‘trayectoria caótica’ (l = 3)
Lambda de Langton
• Wolfram detectó una categoría adicional a la establecida en
sistemas matemáticos no-lineales: (Clase IV)
• Peró Langton planteó que esa categoría tiene características
especiales
• La lambda (l) define la probabilidad de que cualquier célula
de la reticula está muerte en el periodo siguiente (0 → Clase
I, 0.5 → Clase III); la Clase IV en una región intermedia.
DK  N
• Matemáticamente
l
K
D
• en donde N = total de configuraciones de la regla de
transición que conducen a un estado muerto.
• Analogías: (Sólidos → Transición de Fase → Líquidos)
• (Clases I y II → Clase IV → Clase III);
• (Orden → Complejidad → Caos);
• (se detiene la operación del algoritmo → indecisión → no se
detiene la operación del algoritmo).
* Crítica a Langton
• Difícil capturar a través de un parámetro (l) un fenómeno
multi-dimensional
• Si una regla (110) está en la región de complejidad ¿qué
sucede con las reglas vecinas?
• No hay coincidencia entre Wolfram y Langdon
• 3 reglas vecinas caóticas, 5 restantes estacionarias “umbral
del caos”; en realidad existen diversos bordes o fronteras
• Para un CA con D = 2, k = 3 se tienen 32 reglas
caóticas y 6 complejas para una l de .44 y .46 en
promedio, respectivamente → complejidad en el
umbral del caos
• Inferencia de Langton tiene sentido en el agregado
pero no en los casos individuales
• Cabe notar que para l  3/4, 1/2 se dan cualquiera
de los tres comportamientos (punto fijo, ciclos, caos)
→ no es posible identificar cambios en l con
transiciones.
• Reglas complejas están al lado de comportamientos
caóticos, pero no necesariamente en la frontera del
caos existen comportamientos complejos
• “Umbral del caos”, aunque no validado
científicamente es todavía útil como metáfora