Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
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Transcript Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Coordenadas Cilíndricas e
Esféricas
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
z
P r , , z
z
r
x
r , ,0
y
Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenadas retangulares, usamos as equações
y r s en
x r cos
zz
enquanto que para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos
as equações
r x y
2
2
2
y
tg
x
zz
Exemplo 1:
2
(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas 2,
,1.
3
e determine suas coordenadas retangulares.
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com
coordenadas retangulares 3, 3, 7 .
Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas z r.
Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas
2
2
2
cilíndricas para o elipsóide 4 x 4 y z 1.
Sistema de Coordenadas Esféricas
onde
z
OP
P , ,
é o mesmo ângulo
que em coordenadas
cilíndricas.
O
é o ângulo entre o
y
eixo positivo z e o
x
vetor OP .
Note que:
0
0
Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
z
z
O
Q
y
x
P , ,
P x, y , z
r
x
y
P ' x, y,0
Do triângulo retângulo OPP ', temos
Do triângulo retângulo OPP ', temos
i
cos
ii sen
z
r
z cos
r sen
Do triângulo retângulo QOP ,' obtemos
x
iii cos
r
y
iv sen
r
x r cos
y rsen
Para
converter
de
coordenadas
esféricas
para
ii em iii para
encontrar a coordenada x e substituímos ii em iv para
coordenadas retangulares, substituímos
encontrar a coordenada y , daí
x sen cos
y sensen
z cos
também, a distância entre dois nos mostrta que
OP x 2 y 2 z 2
2
2
usamos este resultado para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas.
Exemplo 4: O ponto 2, , é dado em coordenadas
4 3
esféricas. Plote o ponto e determine suas
coordenadas retangulares.
Exemplo 5: O ponto 0, 2 3, 2 é dado em coordenadas
retangulares. Determine as coordenadas
esféricas desse ponto.
Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas
2
2
2
esféricas para o hiperbolóide x y z 1.
Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas
retangulares da superfície cuja equação
esférica é sen sen .