Transcript クリープひずみ
第7回、平成23年5月18日
ー FEM解析のための連続体力学入門 -
FEMによるクリープ解析
解説者:園田 恵一郎
クリープとリラクセーション
張力(N)
δ0
W
Δδ
ΔN
W
W
時間(t)
時間(t)
(a)
(b)
Creep
(c)
(d)
Relaxation
クリープ・レラクセーションでの応力・ひずみ関係
B
t=0
A クリープ t
C
ce
t
0
D' D
cc ce e
cc
(t , t 0 )
Ec (t 0 )
(t , t 0 )
0 (t , t 0 ) e0
:クリープ係数
0
時間 t
t1
cr cc ce
cc :フローひずみ
ce
:遅れ弾性ひずみ
クリープひずみの重ね合わせ(線形クリープ理論)
0
(t , t 0 )
1 (t , t 0 )
c e cc
0
0
E c (t 0 ) E c (t 0 )
E c (t 0 )
1 (t , t 0 ) c (t ) 1 (t , )
c (t ) 0 (t 0 )
d c
Ec (t 0 )
(t ) Ec (t )
0 0
toからの載荷曲線
τからの載荷曲線
t0
t1
t n-1
tn
材齢 t
t0
τ
ti
材齢t
重ね合わせ原理(Whitneyの法則) σc<0.4fc
コンクリートのクリープおよび乾燥収縮ひずみ
コンクリート標準示方書(2002年版)による.
'
'
'
cc
(t , t ' , t 0 ) / cp
1 exp 0.09(t t ' ) 0.6 cr
'
(t, t ' ) 1 exp 0.09(t t ' ) 0.6 cr
/ Ec (t ' )
'
'
cs
(t, t 0 ) 1 exp 0.108(t t 0 ) 0.56 sh
ここに, t 0 , t ' , t :乾燥開始時,載荷時,解析時の有効材齢
'
'
' :単位応力当たりのクリープひずみ最終値
cr
bc
dc
'
bc
:単位応力当たりの基本クリープひずみ最終値
'
dc
:単位応力当たりの収縮クリープひずみ最終値
Ec (t ' ) :載荷時の弾性係数
'
'
cs
(t , t 0 ) sh
:材齢t0からtまでの乾燥収縮ひずみとその最終値
クリープ特性:クリープによって応力が変化するのか?
q0
q0
コンクリート桁
(t ) 0 (t )
0 (t )
1 (t , t 0 )
E c (t 0 )
Ec (t 0 )
(t )
1 (t , t 0 )
L
L
(a)構造系(t=t1で連続化)
(b)t0<t<t1での曲げモーメント
(c)t1<tでの曲げモーメント増分
t=t0で連続化
t=t1で連続化
連続化無し
(d)t=∞での曲げモーメント
FEMによるクリープ・乾燥収縮解析(1)
クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則
σ CE (e einit )
dσ CE (de deinit )
C E :弾性係数行列
FEMでの剛性方程式:
t
K d t U d t R
t
K B
d t R d t Rload d t Rinit
( m )T t
C E B ( m) dV ( m)
m Vm
初期荷重増分:
d t R init B
( m )T
m Vm
初期応力増分:
dσinit t CE deinit
dσ init dV ( m)
FEMによるコンクリート構造のクリープ・乾燥収縮解析(2)
クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則
E
σ CE (e einit ) dσ C (de deinit )
t t ,2t ,3t ,.......... 微小時間増分に分割
t
クリープ解析では,時刻(t)を
t t
σ (i 1) t σ
t te (i 1)
t E
C E :弾性係数行列
C d (e e init )
i=1,2,3,…..
te
deinit de de
c
de
c
(t , t e ) t
t
Ec
σ
s
c
de, de , de
乾燥収縮ひずみ増分
d t c (t , t e ) t
dt
Ec (t e )
t c
差分法(α法)による反復収束スキーム
t t
:全ひずみ,クリープひずみ,
s
0 1
σik1 t σt CE e t t t ki11t CE t t σik11
3次元状態での初期ひずみの定式化
金属材料での等価応力と等価ひずみ
t
J2
1
J 2 sij sij
2
1
sij ij kk ij
3
I e2
1
I e2 eij eij
2
1
eij ij kk ij
3
t
コンクリートでの等価応力と等価ひずみ
I2
1
I 2 ij ij
2
等価クリープひずみ
I 2
1
I 2 ij ij
2
t c
t
t
(t , t e )
E c (t e )
t
クリープひずみ速度:
d t c (t , t e ) t
dt
Ec (t e )
(t, te ) d (t, te ) / dt
t c
t
t c
t
(t , t e )
とおくと
Ec (t e )
dec (t t CE t σ) dt
コンクリートの乾燥収縮ひずみ:
'
d
s
cs (t , t 0 )
de
D sh dt 0.0605(t t 0 ) 0.44
dt
'
exp 0.108(t t 0 ) 0.56 sh
D sh dt
Dsh 1 1 1 0 0 0T
FEMの定式化(反復収束スキーム)
t
KU (i) t t R t t F (i 1)
t
K BTL t C E B L dV
BL
:ひずみマトリクス
V
t t
t t
F (i 1) BTL t t σ (i 1) dV
R H
初期条件:
V
ST t t S
f dA HT t t f B dV
A
t t (0) t
σ
σ
t t (i ) t t (i 1)
σ
σ
V
σ (i)
σ (i) t C E e (i) t C E B L U (i)
クリープと乾燥収縮
t
(i 1)
KU (i) t t Rt t F (i1) t t Fcs
t t
σ (1 ) t σ t t σ
t t i 1 t
σ k σ t C E
ただし,
e t
ただし,0
1
,の下で
t t i 1 t
k 1 C E t t σ ik11
k 1,2,3,.......
t t i 1 t t i 1
σk
σ k 1
2
t t i 1
σk
2
t t i1
および
ctor
t t i 1
σ
収束条件,ctor=許容誤差
を決定し,
乾燥収縮:
t t
Fcs(i 1)
V
B TL [ t t i 1 t
E t t
C
σ
i 1
d cs' (t t 0 )
D sh ] t
dt