Transcript 偏微分方程(PDE)期末報告

偏微分方程(PDE)期末報告
-有限差分法簡單介紹
學生：李宗諺 B97520016 河工3A
指導教授：陳正宗 終身特聘教授
傳導-擴散方程
T
2
 v  T  k  T T  T  x , y , t 
t
v  v  x, y, t   U  x, y, t  i  V  x, y, t  j
K=黏性或熱傳導
假設為常數
T T
T 2  2
x
y
2
2
2
2
2

T

T
2
v T  U 2 V 2
x
y
有限差分近似及其符號表示
一個偏微分方程的有限差分近似由我們所
關心的區間上的網格所構成，採取矩形網
格結構，其間距為常量。
T
 v  T  k  2T
t
2
2

T
T
T
T T
U
V
k 2  2 
t
x
y
y 
 x
在空間交點ij處做離散
Tij
2
2
 U  2 xTij  V  2 yTij  k  x Tij   y Tij 
t
Tij
t

 U  2 xTij  V  2 yTij  k  T   T
2
x ij
2
y ij

由前向歐拉法可得
1
n 1
n
Tij  Tij
 k  x2Tijn   y2Tijn   U ijn 2 xTijn  Vijn 2 yTijn
t
由後向歐拉法可得
2
n 1
n
Tij  Tij
 k  x2Tijn1   y2Tijn1   U ijn1 2 xTijn1  Vijn1 2 yTijn1
t
再將求得的運算元代入
Tijn 1  Tijn
t
1
 1 +  2 即可求解
2
運算元
Tijn  T ix, jy, nt 
一些常用的有限差分運算元：
1
Ti 1 j  Ti 1 j  中心差分
 2 xTij 

2x
1
 xTij  Tij  Ti 1 j  向後差分
x
1

 x Tij  Ti 1 j  Tij  向前差分
x
1
2
 x Tij  2 Ti 1 j  2Tij  Ti 1 j 
x
這些運算元構成許多偏微分導數有限差分近似。
泰勒級數分析
1
 2 xTij 
Ti 1 j  Ti 1 j 

2 x
Tij 泰勒級數展開式代入
T
Tij  x
x
1 2  2T
 x
2
2

x
ij
可得
代入
Tijn 1  Tijn
t
1 3  3T
 x
3
6

x
ij
T
 2 xTij 
x
4
1

T
4
 x
4
24

x
ij
1 2  3T
 x
3
6

x
ij
1
 1 +  2
2

 O x 4
ij


 O x5
ij

對這個演算法的一些注釋

2
2
O

t
,

y
,

x
•局部誤差為

•在無粘性限制時這個方法就不適用了，它
變得不再穩定。
資料來源
•http://zh.wikipedia.org/zh-tw/CrankNicolson_%E6%96%B9%E6%B3%95
維基百科
Crank-Nicolson 方法
•http://www.core.org.cn/NR/rdonlyres/Aeronautics
-and-Astronautics/16-901Computational-Methods-inAerospace-EngineeringSpring2003/60C5F02C-67F0490B-9651-1151A8077C12/0/Section3Article1.pdf
偏微分方程的有限差分方法：介紹
謝謝大家~