Transcript Le equazioni di secondo grado presso i Babilonesi

Le equazioni di secondo grado
in una classe II liceo scientifico
Uno sguardo alla storia delle equazioni di
secondo grado
• Le equazioni di secondo grado presso i Babilonesi
interpretazione
(prima
metà presso
del XX isecolo)
•LaLerecente
equazioni
di secondo
grado
Grecidi
O. Neugebauer di
tavolette
caratteri
cuneiformi
ci permette
di affermare
Tra il VIdieterracotta
il IV sec. scritte
a.C. i in
greci
utilizzarono
le equazioni
di secondo
grado
già
versoper
il risolvere
2000
a.C.problemi
i babilonesi
erano inin grado
risolveresegmenti
equazionie
•che
Le
equazioni
di secondo
grado
nell’opera
didiAl-Khuwarizmi
soprattutto
geometrici,
cui comparivano
particolari
di secondo
e terzo Negli
gradoElementi
ed avevano
conoscenza
di procedimenti
aree di quadrati
e rettangoli.
di Euclide,
il Libro
II conteneva
che
chiamiamo
algebrici.
Dal
mondo
arabo che
primo
trattatodimostrazione
di algebra; trageometrica
la fine del VIII
un oggi
certo
numero
di proviene
teoremi ilcon
relativa
che
Infatti
gli antichi
stimolati
probabilmente
da problemi parabolica,
legati
alle
edefinivano
l'inizio
delaltrettante
IX babilonesi,
sec. ilrelazioni
matematico
e astronomo
Al-Khuwarizmi
scrisse
algebriche
(es. applicazioni
aree,
sentirono
l’esigenza
dimodo
formulare
risolvere equazioni
secondo grado;
un'opera
in cui
presenta
quasi e"didattico"
i metodi didirisoluzione
delle
ellittica
ed
ellittica
delleinaree).
da
allora,
esse
hannoinfatto
loro
comparsa
tutti gli non
ambiti
dellaprogressi,
scienza,
equazioni,
specialmente
di la
secondo
grado;matematiche
ilinmatematico
persiano
sviluppò
Dopo
alcuni
secoli
cui
le
conoscenze
fecero
dallo
delle
orbite
pianeti,
leggi
caduta
corpi.
una
chiara
teoria
delle
se
sembradei
il procedimento
nellastudio
seconda
metà
deldei
IIIequazioni,
sec. d.C.alle
faanche
la
sua di
comparsa
il che
più
grande
algebrista
Igenerale
babilonesi
grado
di eseguire
numerosi
passaggi
algebrici,
per erano
la soluzione
di quelle
grado
siaindauna
considerare
di
greco,
Diofanto
di inAlessandria;
la disuasecondo
opera
consiste
raccolta in
particolare
la indiana;
somma con
einlaparticolare,
moltiplicazione
membro
a membro
di
termini
derivazione
formula
risolutiva
viene
attribuita
problemi risolvibili
equazioni
dilaprimo
e secondo
grado.
Diofanto
fue il
ila
riconoscimento
di alcunidelle
prodotti
notevoli (adsimboliche
esempio ilnelle
quadrato
di un
Bhaskara.
primo ad introdurre
abbreviazioni
espressioni
binomio).
Essi
lettere
per esprimere
le incognite,
parole l’idea
come
algebriche;
neinon
suoiusavano
libri della
Arithmetica
compare
in manieramacentrale
2).
lunghezza
(per indicare
x) e area
(per indicare
la xda
di "algoritmo",
cioè di la
metodo
formale
svincolato
ogni interpretazione.
Uno sguardo alla storia delle equazioni di
secondo grado
• Le risoluzioni geometriche di Cartesio
Nel 1637 Cartesio pubblicò la “Geometrie” con la quale fece conoscere ai
contemporanei i principi di un metodo che solo un secolo più tardi verrà
chiamato “geometria analitica”.
Originariamente il metodo di Cartesio era molto diverso da come lo
intendiamo noi oggi: egli non lavorava con coordinate ortogonali, ma con
quelle oblique; non usava quindi formule per la distanza, non tracciava curve
a partire dalle loro equazioni, tant’è vero che non capì mai pienamente il
significato delle coordinate negative: sapeva che esistevano, ma lavorava
solo con quelle positive.
La risoluzione dell’equazione ax2+bx+c=0 quando a,b,c sono reali può
presentarsi in forma geometrica in più modi, ponendo per semplicità a=1 e
ammettendo che b e c siano misure di segmenti. Le costruzioni possono
essere eseguite con la riga e il compasso.
P
O
Q
a/2
A
b
B
Per risolvere l’equazione della forma:
x2=ax+b2
egli considerava un segmento AB di lunghezza b e costruiva il cerchio ad esso
tangente in A e di raggio a/2; tracciata la retta BO per il centro di tale cerchio, il
segmento PB rappresentava la soluzione cercata.
Infatti per il teorema delle secanti:
b2=BQ*PB
(*)
e ponendo:
PB=x,
dal disegno si ha: BQ = x-a
e il segmento BQ è la soluzione positiva dell’equazione data (da (*) b2=(x-a)x):
quindi un metodo geometrico.
La novità del lavoro di Cartesio consisteva nel fatto che egli passava dall’algebra
alla geometria e viceversa, a seconda della convenienza. Lo scopo del suo metodo
era quindi duplice: da una parte liberare la geometria dal ricorso a figure, dall’altra
dare un significato geometrico alle operazioni dell’algebra.
Organizzazione dei Contenuti
• Fase 1 : Introduzione (tempo previsto : 6 ore)
•[1.1] Verifica dei prerequisiti (prova oggettiva; strumenti: fotocopie)
•[1.2] Commento e correzione dei questionari (lezione frontale partecipata;
strumenti: lavagna, lavagna luminosa)
•[1.3] “Stimolo” (lezione a-didattica; strumenti: cartoncino, forbici, riga,
fotocopie, lavagna)
Cioè:
La classe verrà divisa in gruppi eterogenei per grado di competenze, in modo da
garantire anche agli studenti più in difficoltà di partecipare al lavoro, stimolati
dai più bravi.
Innanzitutto svilupperò le prime attività proposte dalla Groenwald, facendo
disegnare su uno schema preimpostato varie grandezze lineari, quadratiche,
cubiche espresse sia in un linguaggio numerico, sia in linguaggio simbolico.
Organizzazione dei Contenuti
• Fase 1 : Introduzione (tempo previsto : 6 ore)
Successivamente, usando cartoncino, forbici e riga comincerò con una
•LaFase
2 : Classificazione
risoluzione
(tempoequazioni,
previstofattorizzandole
: 6 ore)
successiva
attività consiste nelerisolvere
delle semplici
costruzione meccanica la costruzione cognitiva del “quadrato perfetto”.
•[2.2]
Formula
risolutiva,
discriminante
edel
analisi
soluzioni
in relazione
ad di
e•[2.1]
usando
la rappresentazione
geometrica
quadrato;
si osserveranno
vari tipi
Classificazione
(lezione
frontale partecipata
;delle
strumenti:
lavagna)
esso
frontale
; strumenti:
lavagna)delle
equazioni,
senza
darpartecipata
nessun
alle equazioni
considerate.
esempio si
Verrà(lezione
dedicata
almeno
un’ora nome
alla
classificazione
equazioniAd
di secondo
Dopo
classe
avrà preso
dimestichezza
nellastudenti
risoluzione
vari tipi
di equazioni
osserveranno
equazioni
deletipo:
gradoche
in lapure,
spurie
monomie; gli
in dei
realtà
le hanno
già
2
2
incomplete,
importante
mostrare
allo studente
la
necessità
generalizzare
•manipolate
x +4x+4=0diviene
che
(x+2)
=0dicon
due
soluzioni
uguali
x=-2. una
e quindi
sicorrisponde
tratterà
di a:un’analisi
confronto
delditipo
di soluzioni
risoluzione
che serva
qualunque
tipoindicuiequazione
diottenere
secondo
si userà
• x2+4x=0
(delpertipo
siincerca
di
ilgrado;
quadrato,
che
forniscono
questi
tipiax2di+bx=0)
equazioni;
particolare,
l’equazione
pura,il
2=4
metodo
completamento
al
quadrato
per
ottenereopposte,
la a:
formula
risolutiva
quando del
è risolvibile,
dueche
soluzioni
quella
spuriaperhale
cioè:ha sempre
x2+4x+4=4
corrisponde
(x+2)
equazioni
di secondo
grado
complete
e la definizione
discriminante.
Durante
sempre una
soluzione
nulla,
poi2-4=0
quelle
equazioni
di
secondo grado,
anchela
cioè
(x+2)
da cui:del
(x+2+2)(x+2-2)=0
dimostrazione
ragazzi
verranno
invitati
discutere
ex a= fare
sul rapporto
complete, in icui
è possibile
riconoscere
la fattorizzazione
di
in cui
vi è laa soluzione
- 4 econgetture
x =di0 un trinomio
tra
e discriminante.
2-1=0grado
secondo
e conseguente
usotermine
della legge
di annullamento
del da
prodotto.
• 3xsoluzioni
(coefficiente del
di secondo
grado diverso
1)
Una
voltanotare
introdotta
la formula una
risolutiva,
verrannostorica
svolti del
alcuni
esercizi,
per
Occorre
che
costruzione
( x 3sapere,
 1)( x 3  1non
)  0 ho
cheseguendo
si fattorizza nel seguente
modo:
permettere
ai ragazzi di la
prendere confidenza
con le equazioni
sostituzionididei
coefficienti
relativi
ancora "consegnato"
secondo
grado.
per cuiformula
ha due risolutiva
soluzione delle
opposte.
ai parametri a,b,c che compaiono nella formula risolutiva :
La strategia per risolvere un’equazione di secondo grado è trasformarla
 b  b 2  4ac
nell’equazione equivalente:(x+p)2=q, con p,q in R e q>=0,xfacendo
notare che con
1, 2 
2a
q<0 non si avrebbe risolvibilità.
Organizzazione dei Contenuti
• Fase 1 : Introduzione (tempo previsto : 6 ore)
• Fase 2 : Classificazione e risoluzione (tempo previsto : 6 ore)
• Fase
: Approfondimenti
(tempo
previstostrumenti:
: 6 ore)lavagna)
•[2.3]3Formula
ridotta (lezione frontale
partecipata;
• Fase
4Somma
: Attività
conclusive
(tempo
previsto:
4 ore)
Verranno
assegnate
aigrafica
ragazzi
alcune
equazioni
di
secondo
grado,
con il
•[3.1]
•[3.2]
Rappresentazione
e prodotto
delle soluzioni
(aula
di informatica;
(lezione
frontale
lezione
partecipata;
frontale
partecipata;
strumenti:
coefficiente
del termine
didiprimo
grado pari,
che, risolte
l’usoletterali,
della
•[3.3]
Scomposizione
in
fattori
dilavoro)
un trinomio
di secondo
grado,senza
equazioni
strumenti:
lavagna)
computer,
schede
•[4.1]
Verifica
sommativa
oggettive;
strumenti:
fotocopie)
calcolatrice,
porteranno
a
calcoli
piuttosto
complessi
in modo
tale
da
far
Utilizzando
Verrà
dimostrata
Derive,
aimostrerò
ragazzi,
aisottoforma
ragazzi
ladi
dirappresentazione
esercizio
alla
lavagna,
geometrica
la relazione
delle
funzioni
tra i
frazionarie,
parametriche
e(prove
risoluzione
problemi
(lezione
frontale
partecipata;
•[4.2]
Correzione
e obiettivo
chiarimenti
(lezione
strumenti:
nascere
ineIlloro
l’esigenza
di
avere
una
formulapartecipata;
cheragazzi
permetta
calcoli
più le
quadratiche.
coefficienti
lemio
soluzioni
di una
è equazione
quello
didifrontale
mostrare
secondo
grado;
ai
in particolare
come
variano
verranno
strumenti:
lavagna
lavagna
luminosa,
lavagna)
semplici.
rappresentazioni
mostrate
loro la
in
somma
funzione
edopo
il prodotto
del
delle
del radici
discriminante.
di suddette
equazioni.operativamente
vorrei che
Verranno
invitati
i ragazzi,
unasegno
esauriente
spiegazione,
aSuccessivamente
scomporre
questo
passaggio
verrà
dimostrata
aglidell’equazione
studenti
la due
formula
Come
studenti
applicazione
scoprissero
si risolveranno
in
maniera
autonoma
problemi
le
in variazioni
cui è richiesto
dovute
di trovare
alla concavità
numeri,
e che
ungliDopo
trinomio
di
secondo
grado
mediante
l’individuazione
associata,
la
2
risolutiva
ridotta.
poi
noti
riassumessero
la loro somma
il tutto
eradici
il loro
in una
anche proposti
pensatapoi
da
esercizi
loro.
in cuirisolte
sarà
determinazione
delle
e prodotto;
lasorta
scrittura
della
scomposizione;
verranno
b dipoi
bverranno
griglia
 interamente
ricostruire
trovare
ac
 un’equazione
Inoltre
necessario,
farò
notare
datefrazionarie
leaisoluzioni,
ragazzie parametriche
come
soluzioni
nella
di un’equazione
fattispecie di
equivalga
secondoa
equazioni
letterali,
dilesecondo
grado.
2 della
 2 nella
risolvere
grado.riproposti
il sistema
funzione
l’equazione
Saranno
quei tra
problemi
già
indicati
sezionecorrispondente
[1.3] che non sie erano
risolti;
xl’equazione

1, 2
dell’asse
Come esercizio
delle ascisse,
per casa
cioè
verrà
comeledata
trovare
aia ragazzi
gli parametriche.
zeri una
di un’equazione
scheda guidata
di secondo
di lavorogrado,
che
successivamente
problemi
inerenti
equazioni
mostrando
permetta
loro
così di
soloricavare
una
parte
la regola
significativa
dipartecipata
Cartesio,
del grafico.
riflettendo
Ritengo
sulle
chevariazioni
far vedere
e sulla
come
•[2.4] Esercitazioni
(lezione
frontale
; strumenti:
lavagna)
trovare
permanenza
gli
zeridei
usando
segni
le delle
tecnologie
soluzioni
sia un’
di
ulteriore
un’equazione
immagine
dipartecipata;
secondo
da darefotocopie,
grado.
sullo
studio
Tale
•[3.4]
Esercitazioni-Verifica
formativa
(lezione
frontale
strumenti:
•[2.5]
Verifica
con
relativa
correzione
(prova
oggettiva;
strumenti:
delle
esercizio
equazioni
verràdipoi
secondo
corretto,
grado.
discusso e formalizzato in classe.
lavagna)
lavagna
luminosa)