Transcript derivate
LE DERIVATE
APPROCCIO
INTUITIVO
.
La
derivata di una funzione è,
insieme all'integrale, uno dei
cardini dell'analisi matematica e
del calcolo infinitesimale
RAPPORTO INCREMENTALE
Sia y = f(x) una funzione reale definita in un intorno di
x0.
Si consideri un incremento Δx= h (positivo o negativo)
di x0.
La funzione passerà allora dal valore f(x0) a quello di
f(x0+h), subendo così un incremento Δy = f(x0+h) - f(x0).
Si definisce rapporto incrementale della funzione f(x) il
rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento
corrispondente della variabile indipendente, cioè:
RAPPORTO INCREMENTALE
y f ( Xo h) f ( Xo ) f ( Xo h) f ( Xo )
x
Xo h Xo
h
B
f(xo+h)
f(xo)
A
xo
xo+h
Se, quando si fa a tendere a 0 l’incremento
h, il suddetto rapporto assume un particolare
valore limite, tale limite prende il nome di
derivata di f in Xo.
lim
h0
f ( Xo h) f ( Xo )
h
=
f ’(Xo)
Un modo semplice di capire cos'è la derivata
è guardare al suo significato geometrico:
geometricamente la derivata di una funzione
f in un punto x0 è la misura della pendenza
(il coefficiente angolare, cioè la tangente
dell'angolo fra la retta tangente e l'asse
orizzontale) della retta tangente alla curva
rappresentata dal grafico della funzione nel
punto (x0,f(x0)).
RETTA TANGENTE
Fissiamo un punto P su una
curva , poi un altro punto
P' diverso da P e tracciamo la
corda PP‘; ora basta far
scivolare P' sulla curva verso
P e quando P' sara'
coincidente con P avremo la
retta tangente alla curva in P
(sono state tracciate delle semirette
invece che rette per rendere piu'
semplice la figura)
Definizione: si definisce tangente ad una
curva in un punto P la posizione limite della
retta secante, congiungente P con un altro
punto P’ della curva, al tendere del secondo
punto sul primo .
Ora se riprendiamo la definizione di derivata,
vediamo che, quando h tende a zero, il secondo punto
sulla curva si sposta verso il primo punto fino a
coincidere
Inoltre il rapporto incrementale e' uguale al
coefficiente angolare della retta che congiunge i due
punti sulla curva.
Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente
angolare della retta tangente alla curva devono
coincidere cioe':
Definizione: la derivata di una funzione in un
punto e' uguale al coefficiente angolare della
retta tangente alla funzione in quel punto
SIGNIFICATO FISICO
Se f è la funzione che dà lo spazio in
funzione del tempo, derivando si ottiene
la velocità.
Derivando la velocità rispetto al tempo si
ottiene l’accelerazione.
INFATTI ,
Se to è l’istante iniziale e to+h è l’istante
finale
VELOCITA’ MEDIA = Rapporto incrementale
S S (to h) S (to)
t
h
VELOCITA’ ISTANTANEA:
lim
t
0
S
t
IN PRATICA I SEGUENTI PROBLEMI
DATA UNA CURVA DI EQUAZIONE Y=F(X),
COME SI PUO’ DETERMINARE
L’EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE
IN UN SUO PUNTO?
SE SI CONOSCE LA LEGGE ORARIA DI
UN PUNTO MATERIALE, COME SI PUO’
CALCOLARE LA SUA VELOCITA’
ISTANTANEA?
SARANNO RISOLTI QUANDO
SAPREMO RISPONDERE A QUESTA
DOMANDA:
COME SI PUO’ DETERMINARE LA
DERIVATA DI UNA FUNZIONE ?
Dalla definizione di derivata si ricava
immediatamente che la derivata di una
funzione il cui grafico è una retta è il
coefficiente angolare della retta.
DERIVATA DI f(x) = ax2+bx+c
In figura
La parabola di
equazione
y = 2x2-3x
E la retta
tangente
nell’origine
y=-3x
SI PARTE DAL RAPPORTO
INCREMENTALE
a( xo h) 2 b( xo h) c axo2 bxo c
h
axo2 2ahxo ah2 bxo bh c axo2 bxo c
h
2ahxo ah bh
h
2
SEMPLIFICANDO h
MA QUANDO h
TENDE A 0
IL VALORE
PRECEDENTE TENDE
A
2axo ah b
2axo b
PERTANTO
IL COEFFICIENTE
ANGOLARE DELLA
RETTA TANGENTE
AD UNA PARABOLA
DI EQUAZIONE
Y = ax2 +bx + c
In un punto di ascissa
xo
E’ UGUALE A
2axo b
SE UN PUNTO CHE SI MUOVE DI MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO ,
CON LEGGE ORARIA
1 2
S Vo t at
2
LA SUA VELOCITA’ ISTANTANEA E’
V =Vo+at
ESERCITAZIONE COL FOGLIO
ELETTRONICO
Con il foglio elettronico è possibile
determinare in modo approssimato i valori
della derivata di una funzione, come rapporti
incrementali corrispondenti a incrementi
<<h>> abbastanza piccoli
Fissato un valore di h, dopo aver tabulato i
valori della funzione, si calcolano i vari
rapporti incrementali con un algoritmo
iterativo
Per esempio , i valori di Δy2/ Δx si calcolano inserendo nella
cella H5 la formula =(C6-C5)/$F$4, che poi deve essere copiata
nelle celle successive
APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA
x
1
2,0000
3,0000
4,0000
5,0000
6,0000
7,0000
8,0000
9,0000
10,0000
11,0000
12,0000
13,0000
FUNZIONI
y1=2x
y2=2x^2
2
2
4
8
6
18
8
32
10
50
12
72
14
98
16
128
18
162
20
200
22
242
24
288
26
338
Punto iniziale
x
Rapporti incrementali
1
1,0000 y1/x
y2/x
2
6
2
10
2
14
2
18
2
22
2
26
2
30
2
34
2
38
2
42
2
46
2
50
Rapporto incrementale
della derivata
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Grafico della funzione y = 2x2 e della
sua derivata
La derivata ha un
andamento rettilineo
y2=2x^2
30
25
20
15
y2=2x^2
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
16
14
12
10
8
Serie1
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
GRAFICO di Y=sen(x) e della sua
derivata
Come si può osservare
la derivata ha
l’andamento di una
cosinusoide
Confronta relazione tra
spazio e velocità nel
moto armonico
S= Rsen(ωt+φ)
V= ωRcos(ωt+φ)
1,5
1
0,5
0
Serie1
1
3
5
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
-0,5
-1
-1,5
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
Serie1
7
9
11
13
15
17
19