Transcript Le matrici e i sistemi lineari - Liceo Statale Rinaldo d`Aquino

Le matrici
e
I Sistemi
lineari
- Definizioni fondamentali delle matrici
- Somma e differenza delle matrici
- Prodotto di una matrice per uno scalare
- Prodotto di matrici
- Proprietà delle operazioni
- Determinanti di matrici quadrate
- Proprietà dei determinanti
- Inversa di una matrice
- Calcolo matrice inversa e T. di Laplace
-Sistemi lineari
- Metodo di calcolo dei sistemi lineari
- Le matrici con il TurboPascal
Definizione di una matrice
Detti m e n due numeri interi positivi e reali, si chiama matrice l’insieme degli
m·n numeri considerati, disposti su m righe orizzontali e su n colonne verticale,
come nello schema che segue:
A11
A12
…
A1n
A21
A22
…
A2n
A31
A32
…
A3n
A41
A42
…
A4n
Am1
Am2
…
Amn
I numeri reali racchiusi nella tabella si
dicono elementi della matrice e sono
rappresentati da una lettera munita di due
indici: il primo indice fornisce la riga a cui
appartiene l’elemento e il secondo la
colonna. Se m=n si ha una matrice
quadrata (di ordine n).
Si chiama matrice riga o vettore riga una matrice di ordine (1,n), cioè formata da una
sola riga; si chiama matrice colonna o vettore colonna una matrice di ordine (m,1),
cioè formata da una sola colonna.
Si definisce matrice nulla o matrice zero una matrice i cui elementi sono tutti uguali a
zero.
Due matrici dello stesso tipo sono uguali e scriveremo A=B, se hanno uguali tutti gli
elementi corrispondenti.
Si chiama matrice opposta di A, e si indica con il simbolo –A, la matrice, dello stesso
tipo di A, i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A.
Data una matrice A di tipo (m,n) si definisce trasposta di A e si indica con AT, la
matrice di tipo (n,m) che si ottiene da A scambiando ordinatamente le righe con le
colonne.
[E’ evidente che (AT)T, cioè la trasposta della trasposta di A, è la stessa matrice A].
Se A è una matrice quadrata di ordine n, si chiama diagonale principale di A l’insieme
degli elementi a11, a22,…., ann che hanno i due indici uguali.
Si chiama diagonale secondaria di A l’insieme degli elementi a1n, a2n(n-1), …, an i cui
indici hanno per somma n+1.
A11
A12
…
A1n
A21
A22
…
A2n
A31
A32
…
A3n
A41
A42
…
A4n
Si dice che una matrice quadrata è diagonale, se sono nulli tutti i suoi elementi tranne
quelli che costituiscono la diagonale principale.
Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se tutti gli elementi al di sotto della
diagonale principale sono nulli.
Si dice che una matrice quadrata è triangolare inferiore, se tutti gli elementi al di sopra
della diagonale principale sono nulli.
Si chiama matrice identica o unità quella matrice diagonale i cui elementi, sulla
diagonale principale, sono tutti uguale a 1.
Somma e differenza delle matrici
Somma delle matrici
Si definisce somma di due matrici A e B dello stesso tipo (ossia aventi lo stesso numero di
righe e lo stesso numero di colonne), e si indica con A+B la matrice, dello stesso tipo di A
e di B, i cui elementi sono la somma dei corrispondenti elementi delle matrici date.
Differenza delle matrici
La differenza di due matrici si può definire come somma della prima matrice con
l’opposto della seconda: A-B= A+(-B)
Esempio: A= 2 3 -1
B= 3 1 0
0 -5 4
2 3 -1
A+B= 2+3 3+1 -1+0 = 5 4 -1
0+2 -5+3 4-1
A-B= 2-3 3-1 -1-0
0-2 -5-3 4-(-1)
2 -2 3
= -1 2 -1
-2 -8 5
Prodotto di una matrice per uno scalare
Si chiama prodotto della matrice A per uno scalare n (cioè per il numero reale n) la
matrice che si ottiene da A moltiplicando tutti i suoi elementi per n.
Esempio:
A= 3 -6
0 9
2A= 2 3 -6 = 6 -12
0
9
0 18
Prodotto scalare di una matrice riga per una matrice colonna
Definiamo prodotto scalare di A per B la matrice P di tipo (1,1) che ha per elemento il
numero che si ottiene sommando i prodotti del tipo a1j e bj1 con j=1,2,…s, cioè:
A= [a11, a12…a1s]
e
B= b11
b21
.
.
bs1
P= A•B= [a11 b11 + a12 b21 + … + a1s bs1] = [ a1j bj1].
Esempio: A= [1 2 4] e B= 3
5
2
Si ottiene
P= A•B= [1 2 4] 3 =[1•3+2•5+4•2]=[21].
5
2
Prodotto di matrici
Siano A una matrice di tipo (m,s) e B una matrice di tipo (s,n). Le due matrici siano
dunque tali che il numero delle colonne della prima sia uguale al numero delle righe
della seconda.
Si definisce prodotto (righe per colonne) della matrice A di tipo (m,s) per la matrice B
di tipo (s,n) la matrice P di tipo (m,n) il cui generico elemento Pik si ottiene
moltiplicando scalarmente la i-esima riga di A per la k-esima colonna di B, cioè:
P= A•B= [Pik]=[ aij bjk]
Esempio: calcoliamo il prodotto delle matrici
A= 2 1
3 0
1 2
B= 1 2 1 3
4 3 0 1
P11= [2 1] 1 = 2•1+1•4= 6
4
*L’elemento P11 sarà il prodotto scalare della prima
Riga di A per la prima colonna di B.
P=A•B= 6 7 2 7
3 6 3 9
9 8 1 5
Proprietà delle operazioni
-Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di
matrici: n(A+B)=nA+nB
-Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di
scalari: (n+s)A=nA+sA
-Proprietà associativa del prodotto di una matrice per uno scalare: (ns)A=n(sA)
-Prodotto per 1 e per -1: 1•A=A; (-1)•a=-A
-Proprietà commutativa della somma: A+B= B+A
-Proprietà associativa della somma e del prodotto:
A+(B+C)=(A+B)+C ; A•(B•C)=(A•B) •C
-Proprietà distributive (destra e sinistra) del prodotto rispetto alla somma:
A•(B+C)=A•B+A•C ;
ATTENZIONE!!
-il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa;
-non vale la legge di annullamento del prodotto ossia, il prodotto di due matrici può essere
una matrice nulla senza che nessuno dei fattori lo sia.
Determinanti di matrici quadrate
Ad una matrice quadrata può essere associato un valore numerico, detto determinante:
il determinante di una matrice A=[i,j], si indica detA.
Nel caso particolare di matrice quadrata di ordine 1, cioè A=[a11]
detA= a11
Nel caso delle matrici di ordine 2, il determinante si definisce nel seguente modo:
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 - a12 a21
Esempi:
A= 2 3
5 8
B= senß cosß
-cosß senß
detA= 2•8- 3•5= 1
detB=sen2ß + cos2ß = 1
Minore complementare
Si dice minore complementare di un elemento di una matrice di ordine n il determinante
che si ottiene sopprimendo dalla matrice data la riga e la colonna alle quali l’elemento
appartiene.
Il minore complementare di una matrice di ordine n risulta quindi di ordine n-1.
Complemento algebrico
Si dice complemento algebrico di un elemento aik di una matrice A di ordine n il minore
complementare di aik preceduto dal segno + o dal segno -, a seconda, rispettivamente, che
(i+k) sia pari o dispari.
Esempio:
Se A=
1 2 -3
5 0 1
3 -1 2
Il complemento algebrico di a11 risulta A11 = + 0
-1
Il complemento algebrico di a21 risulta A21 = - 2
-1
1
2
-3
2
Determinanti del 3° ordine
Il determinante di una matrice del 3° ordine è la somma dei prodotti degli elementi di una
riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Naturalmente il valore
numerico ottenuto è indipendente dalla riga o dalla colonna scelta.
Esempio
2 -1 3
A= 0 1 2
3 -1 4
Il determinante risulta, sviluppando la 3° colonna,
detA = +3 0 1
3 -1
-2
2 -1
3 -1
+4 2 -1
= 3(-3)-2(-2+3)+4(2) = -3
0 1
Sviluppando la 2° colonna si ha:
detA = +2 1 2
-1 4
-0 -1 3
-1 4
+3 -1 3
1 2
= 2(4+2)+3(-2-3) = -3
Regola di Sarrus
La regola di Sarrus è valida solo per le matrici quadrata di ordine 3°; a destra della matrice
data si riscrivono, di seguito e nell’ordine, la prima e la seconda colonna; si calcola il
prodotto degli elementi della diagonale principale della matrice e quello degli elementi
delle due diagonali parallele; lo stesso si fa con la diagonale secondaria e le sue parallele
ma prendendo, questa volta, i prodotti con il segno cambiato: la somma algebrica dei 6
prodotti ottenuti fornisce il determinante.
Esempio
A=
1 2 -3
2 -1 1
-2 1 4
+
+
+
1
2
-3
1
2
2
-1
1
2
-1
-2
1
4
-2
1
detA = -4-4-6+6-1-16 = -25
Determinanti di ordine n
Il procedimento seguito per definire un determinante del 3° ordine è valido anche per
determinanti di ordine superiore; si può infatti dare la seguente definizione:
Il determinante di una qualsiasi matrice di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli
elementi di una linea qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
Esempio
A = -1 1 2 0
0 3 2 1
0 4 1 2
3 1 5 7
Conviene sviluppare il determinante secondo la prima colonna, che è la linea che contiene il
maggior numero di 0;
detA = -1
3 2 1
-3 1 2 0
4 1 2
3 2 1
1 5 7
4 1 2
Applicando la regola di Sarrus: detA = -1(21+4+20-1-30-56)-3(4+8+0-0-1-12) = 45
Proprietà dei determinanti
1)
Se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è 0;
2)
Il determinante della matrice unità, di qualsiasi ordine, è 1;
3)
Moltiplicando tutti gli elementi di una linea per uno scalare k, il determinante della
matrice viene moltiplicato per k;
4)
Se in una matrice una riga o una colonna è la somma di due matrici riga o matrici
colonna, il suo determinante è la somma dei determinati che si ottengono sostituendo
a quella o colonna rispettivamente le due matrici riga o colonna di cui è somma;
5)
Se una matrice ha due linee uguali o proporzionali, il suo determinante è 0;
6)
Se si scambiano tra loro due righe o due colonne di una matrice il determinante
cambia segno;
7)
Se agli elementi di una linea si sommano gli elementi di un’altra linea ad essa
parallela, tutti moltiplicati per uno stesso numero, il determinante non cambia;
8)
Il determinante del prodotto di due matrici è il prodotto dei loro determinanti;
9)
Se una linea è combinazione lineare di due o più linee ad esse parallele, il
determinante è nullo;
10) Il determinate di una matrice triangolare o diagonale è il prodotto degli elementi della
diagonale principale.
Inversa di una matrice
Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata A di ordine n, e si indica con il simbolo
A-1, una matrice (se esiste), anch’essa quadrata e dello stesso ordine, tale che
A•A-1 = A-1•A = In
L’inversa di una matrice quadrata, se esiste, è unica.
Supponiamo per assurdo, che la matrice A abbia due inverse, cioè che esistono A’ e A’’ tali
che A’  A’’ e che
A•A’ = A’•A = I
A•A’’ = A’’•A = I
Da queste ipotesi e ricordando che la matrice unità è elemento neutro rispetto al prodotto
tra matrici, si ricava che
1)
A’•(A•A’’) = A’•I = A’
2)
(A’•A)•A’’ = I•A’’ = A’’
Ma, per la prima proprietà associativa del prodotto di matrici, si ha:
(A’•A)•A’’
A’•(A•A’’) =
Confrontando perciò la (1) e la (2) otteniamo A’ = A’’ in contraddizione con l’ipotesi A’ 
A’’.
Non tutte le matrici quadrate hanno un’inversa. Se di una matrice quadrata A esiste
un’inversa, A si dice invertibile o non singolare. Se tale inversa non esiste, A si dice non
invertibile o singolare. Le matrici con determinante nullo non sono invertibili.
Possiamo perciò concludere che la condizione necessaria affinché una matrice sia
invertibile è che il suo determinante sia diverso da zero. Inoltre, se una matrice è
invertibile, il determinante della sua inversa è il reciproco del suo determinante.
Esempio
Consideriamo la matrice
A= 1 2 0
2 1 0
6 6 1
Verifichiamo che l’inversa della matrice A è la matrice
- 1/3 2/3 0
2/3 -1/3 0
-2
Infatti
1 2 0
2 1 0
-2
-1/3 2/3 0
•
6 6 1
E anche -1/3 2/3 0
2/3 -1/3 0
-2
-2
1
1 2 0
1
1 0 0
= 0 1 0 = I
0 0 1
1 0 0
2/3 -1/3 0 • 2 1 0 = 0 1 0 = I
-2
-2 1
6 6 1
0 0 1
Calcolando i determinanti delle due matrici si ottiene A = -3; A-1 = -1/3, confermando
così che A-1 = 1/ A .
Teorema di Laplace
La somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici degli
elementi corrispondenti di una linea parallela, è 0:
ai1Aj1+…+ainAjn = 0
a1iAij +…+aniAnj = 0
ij
Per dimostrare la prima uguaglianza osserviamo che l’espressione ai1Aj1 + … +ainAjn
può essere considerata lo sviluppo, secondo la j-esima riga, del determinante di una
matrice in cui la j-esima riga è uguale alla i-esima riga:
a11 … a1n
.
.
.
.
.
.
riga i
ai1 … ain
.
.
.
= ai1Aj1 + … + ainAjn
.
.
.
riga j
ai1 … ain
.
.
.
.
.
.
an1 … ann
Tale determinante è nullo e viene dimostrato l’enunciato.
Calcolo della matrice inversa
Premettendo, secondo il teorema di Laplace che una matrice può essere invertibile solo se il
suo determinante è diverso da 0, ecco i 4 passaggi per calcolare l’inversa di una
matrice A.
1)
Calcolare il determinante di A;
2)
Costruire la matrice A* dei complementi algebrici di A;
3)
Formare la trasposta A*T di tale matrice;
4)
Dividere ciascun elemento della matrice ottenuta per il determinante di A.
Esempio
A= 1 2 0
-1 3 1
1 1 2
- Calcoliamo il determinante di A con la regola di Sarrus: det A = 6+0+2-0-1+4 = 11
-
Costruiamo la matrice dei complementi algebrici:
A* = 5 3 -4
-4 2 1
2 -1 5
-Formiamone la trasposta:
A*T =
5 -4 2
3 2 -1
-4 1 5
-Dividiamone ciascuno elemento per DetA = 11
A-1 =
5/11 -4/11 2/11
3/11 2/11 -1/11
-4/11 1/11 5/11
Sistemi lineari
Ricordiamo che l’equazioni lineari sono equazioni di primo grado. Un sistema lineare di m
equazioni nelle n incognite x1, x2, …, xn si dice in forma normale se è scritto nel modo
seguente:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…………………………………..
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Le lettere x1, x2, xn indicano le n incognite del sistema; i numeri aij si dicono coefficienti
delle incognite e i numeri bi si chiamano termini noti. Il sistema è omogeneo se i termini
noti sono tutti nulli.
Si dice che una n-pla ordinata di numeri reali (c1, c2, cn) è soluzione del sistema, se le m
equazioni del sistema risultano contemporaneamente verificata quando in esse si operino le
sostituzioni.
Un sistema lineare si dice possibile e le sue equazioni compatibili, se ammette almeno una
soluzione: si dice impossibile e l’equazioni incompatibili se non ammette soluzioni.
Un sistema lineare possibile si dice determinato se ha una sola soluzione, indeterminato se
ne ha infinite.
Matrici e sistemi lineari
Consideriamo un sistema lineare di m equazione in n incognite.
A=
a11
a12 … a1n
a21
a22 … a2n
.
.
.
.
.
.
am1 am2 … amn
Si chiama matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema, mentre le due
matrici colonna. Rispettivamente di tipo (n,1) e (m,1)
x1
X=
.
b1
B=
.
.
.
xn
bm
Si chiama matrice colonna delle incognite e matrice colonna dei termini noti.
La matrice di tipo (m,n+1)
a11
A’ =
a21
a12 … a1n b1
a22 … a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2
amn bm
Ottenuta dalla matrice A dei coefficienti aggiungendovi, come ultima colonna, la matrice
colonna dei termini noti, si dice matrice completa del sistema. Ricordano la definizione di
prodotto tra matrici, e osservando che le matrici A e X sono conformabili rispetto al
prodotto, notiamo che un sistema generale, può essere scritto sotto forma matriciale.
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
a11 a12 … a1n
x1
b1
ovvero, in
a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2
a21 a22 … a2n
x2
b2
forma
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
am1 am2 … amn
•. . = .
.
.
xn
bm
compatta:
.
A•X = B
Metodo di calcolo dei sistemi lineari
La risoluzione di un sistema lineare può avvenire grazie all’uso delle matrici: uno dei
metodi è quello della matrice inversa, possibile nel caso in cui il numero delle equazioni sia
uguale al numero delle incognite. In forma matriciale tale sistema sarà A•X = B. La matrice
dei coefficienti risulta perciò quadrata; supponiamo inoltre che il determinante di A non sia
nullo e quindi esista A-1.
Il sistema è risolvibile e la sua soluzione è data da X = A-1•B. Infatti sostituendo al posto di
X questa espressione nella equazione A•X = B otteniamo A(A-1•B) = B, che si può scrivere
(A•A-1)B = B; da questa relazione B = B. Quindi il sistema è possibile.
Esempio
x + 2y = 11
-x + 3y +z = 0
x + y + 2z = -11
La matrice inversa della matrice dei coefficienti si determina come si è esposto prima e
sarà: 5/11 -4/11 2/11
3/11
2/11 -1/11
-4/11 1/11 5/11
Applicando l’equazione X = A-1•B
X
5/11
-4/11 2/11
11
x
Y =
3/11
2/11 -1/11
0
y
Z
-4/11
1/11
-11
z
X= 3
Y=4
Z = -9
5/11
3
=
4
-9
Regola di Cramer
Un altro metodo per risolvere un sistema lineare è quello di utilizzare la regola di
Cramer, basata sull’utilizzo delle matrici.
1) Si scrive inizialmente una prima matrice A, in cui si inseriscono i coefficienti delle
incognite del sistema, dopo di ché si calcola il determinante.
2) Si scrive poi, per esempio per il calcolo dell’incognita x, una matrice in cui vengono
inseriti i coefficienti delle altre incognite, meno che quelli della x, al posto dei quali,
si inseriscono i termini noti. Lo stesso procedimento per le altre incognite
3) Per trovare i valori delle incognite si calcola i determinanti di ogni incognita e si
dividono per il primo determinante trovato.
Esempio:
5x+3y+4z =-1
2x+3y+ z =-1
x+ y + z =-1
det =
5 3
2 3
1 1
dety = 5 -1
2 -1
1 -1
x=6/3 = 2
4
1
1
4
1
1
=3
=-3
detx = -1 3 4 = 6
-1 3 1
-1 1 1
detz = 5 3 -1 = -6
2 3 -1
1 1 -1
y= -3/3 = -1 z=-6/3 = -2