Transcript Il rumore termico del pendolo

Il rumore termico
Il rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un
osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico
con l’ambiente circostante.
Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e può fare parte dei limiti intrinseci
alla loro sensibilità.
Antenna Interferometrica Virgo
Antenna Risonante Explorer
(termico dei modi normali)
10-10
10-12
10-14
Termico Pendolo
Termico Specchio
Shot Noise
10-16
10-18
10-20
10-22
10-24
0.1
1
10
100
frequency (Hz)
1000
104
1
Il rumore termico
Introduzione storica:
Le prime osservazioni di Robert Brown;
Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano;
L’equazione di Langevin
Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione
Il rumore termico di un’oscillatore armonico
Il rumore termico del pendolo
I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione:
effetto termoelastico, bulk superficiali etc…
Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti
2
La storia
1828. Il botanico Robert Brown riferiva di
avere osservato il moto caotico di varie
specie di particelle abbastanza piccole da
restare in sospensione nell'acqua.
Egli escluse presto che fosse un fenomeno
biologico, e successivamente esperimenti
eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i
moti browniani aumentano se:
diminuiscono le dimensioni (a) della
particella
diminuisce la densità (r) delle particelle in
sospensione
diminuisce la viscosità (h) del liquido ospite.
aumenta la temperatura (T) del liquido ospite.
Oggi diciamo che Brown aveva osservato
l'azione delle molecole d'acqua che urtano
gli oggetti in sospensione per effetto
dell'agitazione termica.
3
Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva….
Legge di Stokes
F = (6 p h a) v
a raggio della particella immersa in una soluzione;
h viscosità del solvente;
v velocità della particella
F Forza di Stokes
le leggi di van’t Hoff sulle
soluzioni (come per i gas ideali):
P = r RT/m
m massa molecolare delle particelle;
r densità delle particelle in soluzione;
P pressione osmotica
R costante dei gas
4
L’interpretazione di Einstein (1906)
(sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi))
Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una
temperatura T.
Essa è soggetta
a. ad attrito viscoso F=-bv, dove b è il coefficiente di attrito viscoso e v è la velocità della particella
b. alla forza aleatoria risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido:
1.
Isotropa a media nulla: <f(t)>=0
2.
Scorrelata: <fa(t)fa(t-t’)>=Fo2 d(t-t’)
3. Gaussiana
N
numero di Avogadro
Equilibrio termico
(r /m) = (n/V)
moli per unità di volume
La forza per unità di volume è data da:
N(n/V) = (r N/m) numero di particelle per unità
F (r N/m) = d P/dx
di volume
Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff
P = (n/V) RT = (r /m) RT
d P/dx = (RT /m) dr /dx
F (r N/m) = (RT /m) dr /dx
5
Equilibrio dinamico
La forza di attrito viscoso è la forza di Stokes:
Forza di Stokes: F =-6 p h a v = -b v
Abbiamo allora un flusso di particelle:
v (r N/m)= (F/b) (r N/m)
numero di particelle per
unità di area e per unità di tempo
Il flusso di particelle
gradiente di concentrazione
diffusione nella
direzione opposta
(F/b) (r N/m) = D (N/m) dr /dx
def: D coefficiente di diffusione
Equilibrio termodinamico
equilibrio termico = equilibrio dinamico
D = R T/ ( b N) = k T/ b
fluttuazione
dissipazione
Questo risultato è la base del meccanismo del moto browniano: una forza caotica o fluttuante è bilanciata da una
``forza sistematica'' come la resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes (proporzionale alla velocità)
attraverso un processo di diffusione.
6
L’equazione di diffusione
Dal punto di vista macroscopico una particella soggetta al un moto browniano subisce, in un
tempo infinitesimo δt, uno spostamento δr distribuito come una Gaussiana con media nulla e
varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la densita’ di probabilita’ di trovare la particella
nella posizione r ad un tempo t.

r (r , t ) 
1
 r 2 / 4 Dt
e
4pDt
r 2 (t )  2 Dt
RT kbT
D

Nb
b
7
Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico
all'equilibrio termico con l'ambiente.
In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa
tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i
suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia
media kbT.
Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli,
all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico.
Esso si manifesta con le fluttuazioni casuali
dell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e
ne limita quindi la sensibilità.
8
L’equazione di Langevin
(sistema macroscopico all’equilibrio termico, approccio statistico)
Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco)
dv
m
 b v  F(t)
dt
F(t)  0
F(t)F(t   )  F02d(t)
2
All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia m v
v2
F02

2b
 kbT ):
F02  2b kbT / m
Forza stocastica dovuta alle fluttuazioni
termiche
Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (bv) e la forza (stocastica) che
eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico)
9
L’intensità del rumore termico di un sistema
macroscopico è strettamente legata ai processi
dissipativi presenti in esso.
10
Il teorema fluttuazione-dissipazione
Nel dominio delle frequenze(*) possiamo sempre scrivere la risposta di un
sistema lineare ad una forza esterna F() come:
X ( )  H ( ) F ( )
F  
v( ) 
Z ( )
Dove H() è la funzione di trasferimento e Z() l’impedenza del sistema
Il teorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue:
 )  4 k b T  Re[ Z( )]
2
Ftherm (
2
X them
  
4k b T

 Im[ H( )]
(*)
L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza
X ( ) 

it
x
(
t
)
e
dt


11
Il moto termico dell’oscillatore armonico
mx  b x  kx  F (t )
  2 X ()  ib X ()  k X ()  F ()
X ( )
H ( ) 

F ( )
o 
Q
k
m Frequenza di risonanza
mo
b
Fattore di merito
1
b
 2
2
m (o   )  i 
m

Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione
X
2
therm
( ) 
4kbT

 Im[ H ( )]
12
X

xtherm2
2
therm

4kbT
o Q
  

m  (o2   2 ) 2  o Q


1
p

2
2
X
 therm( ) d  k b T  Re[ H(0)] 
0
Kramers-Kronig
k bT
mo2
1 2 mo2  xtherm 2  1 2

m2
Hz
kbT

Hz
13
L’effetto delle dissipazioni sul rumore
termico dell’oscillatore armonico
• L’energia delle fluttuazioni è concentrata attorno alla risonanza
) 
2
X therm (
4p k b T m
m
2
o
b
  o
• L’andamento fuori risonanza dipende dalla dissipazione
4p k b T b
2
X therm ( ) 
mo4 m
  o
4p k b T b
) 
m 4 m
  o
2
X therm
(
 » o
Cost
4
14
I meccanismi dissipativi strutturali
(dissipazioni interne del materiale)
t
F(t )  mx   k (t  s)x(s)ds

termine di memoria
k ( )  k(1  i ( ))
nello spazio delle frequenze
Il termine dissipativo  angolo di perdita tiene conto di tutti i tipi
di dissipazioni interne del materiale:
2
4
k
T

2
b
o ( )
Xthem   

m  (o2   2 )2  o2( ) 2



15
Dissipazioni strutturali:
 = o
1
Dissipazione viscosa
5
Dissipazione interna
Presenti in tutti i materiali
16
Misura delle dissipazioni
La misura delle dissipazioni avviene misurando il fattore di merito del
sistema:
 1
 1
 b
( ) 
 strut 
 2  strut
o Qvisc
o Qmis o m
Qmis
o


Q visc 
Qstrut 
1
2

X
(o ) 
therm
2
m o
b
1
strut

Realizzare sistemi con alti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia
delle fluttuazioni intorno alla risonanza
17
Il rumore termico del pendolo
t
mLx  mgx   (t  s)

x( s )
ds  LFext
L
Momento di richiamo dei fili
Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono
dovute soltanto alla piegatura dei fili.
YJ
k ( )  kel (1  is ( )) ; kel 
;
2
L
 kel g 
   
 m L
2
p
J
p
4
Frequenza del pendolo (misurata)
rf4
x=L
Y Modulo di Young
rf raggio del filo
 tensione del filo
L
kel
Fext
g
      1  i s ( )  
L
m
mL
2
m
18
Il rumore termico del pendolo
2
X therm
( ) 
el2 s ( )
4kbT
m  p2   2 2  el2 s ( ) 2

 

voglio esprimere questa espressione con grandezze
misurate:
X
2
therm
 p2  p ( )
4kbT
( ) 
m  p2   2 2   p2  p ( ) 2

  p ( )   s ( )
2
p
2
el



2

p
Qp   p1 ( )  2 s1 ( )  s1 ( ) D
el

mg 
mg


D  1  2 L
 2L

YJ 
YJ

Fattore di diluizione
a parità di angolo di perdita il pendolo presenta
delle perdite più basse rispetto a quello
dato dalla sola elasticità del materiale
(=Mg/4):
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Il rumore termico del pendolo di torsione
t
I   C (t  s) ( s)ds  M ext

Momento di richiamo dei fili
Le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla
torsione dei fili.
C ( )  cel (1  is ( ))
2 JG
Y
 cel 
;
c

;
G

 el
L
2(1   )
 I 
2
tors

cel
M ext

  
1  i s ( )  
I
I
Frequenza del pendolo di torsione
G: modulo di elasticita’ a torsione
L: lunghezza del pendolo
I: momento d’inerzia della massa sospesa
2
20
Il rumore termico del pendolo di torsione
2

s ( )
4
k
T
tors
2
b
therm ( ) 
2
2
2 2
2
I tors
   tors s ( )

 

In questo caso non beneficiamo del fattore di diluizione presente
nel caso del pendolo, quindi le perdite strutturali e quelle viscose
contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore di merito totale dei
modi torsionali
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10-10
10-12
10-14
Termico Pendolo
Termico Specchio
Shot Noise
10-16
10-18
10-20
10-22
10-24
0.1
1
10
100
frequency (Hz)
1000
104
22
s ( )  te ( )  str  e
te ( )
str
e
23
Dissipazioni termoelastiche te()
sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del
riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni.
Ya 2T  
te ( ) 
r C 1  (  ) 2
Y modulo di Young del materiale
a coefficiente di dilatazione termica
 il tempo caratteristico della diffusione del calore nel materiale e
dipendente dalla sua geometria
C è la capacità termica del materiale.
E’ importante scegliere un materiale
con questo punto fuori della banda
rivelazione
Punto di massima dissipazione
24
Dissipazioni superficiali
Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto
Wsurf
e 
surf
Wtot
Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie
Wtot è l’energia elastica totale
Nel caso delle sospensioni di Virgo:
Wsurf
Wtot

whsb Sw
Vw
Dissipativa
w fattore geometrico
hsb spessore della zona di frizione
Sw =2p rw Lw superficie laterale del filo
Vw = p rw2 Lw volume del filo
Non Dissipativa
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Dissipazioni superficiali
Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto
Wsurf
e 
surf
Wtot
Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie
Wtot è l’energia elastica totale
Nel caso delle sospensioni di Virgo:
Wsurf
Wtot

whsb Sw
Vw
Dissipativa
w fattore geometrico
hsb spessore della zona di frizione
Sw =2p rw Lw superficie laterale del filo
Vw = p rw2 Lw volume del filo
Non Dissipativa
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Rumore termico degli specchi
• Equipartizione dell’energia:
• Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modi
meccanici degli specchi;
• Sono importanti tutti quei modi che si accoppiano
con il modo ottico dell’interferometro;
X
2
therm
Mi ;

4k b T


i
i2i
Mi

1
2
i

     
2 2
2
2
i i
1
M i i2 X 2  E i
2
Massa equivalente del modo i
i  str  coat
Le dissipazioni dei coating sono molto importanti
27
Modi degli specchi
Simulation
Measured
Modes splitting
NI: (3917.2 ± 0.5) Hz
(NI/WI) 3912.6 Hz-3916.7 Hz WI: (3916.0 ± 0.5) Hz
Modes splitting
NE: (3883.0 ± 0.5) Hz
(NE/WE) 3882.4 Hz-3882.6 Hz WE: (3884.2 ± 0.5) Hz
The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and
spacers.
28
Simulation
NI/WI: 5584.9 Hz
Measured
NI: (5585.7 ± 0.5) Hz
WI: (5583.5 ± 0.5) Hz
NE/WE: 5546.1 Hz
NE: (5543.2 ± 0.5) Hz
WE: (5545.6 ± 0.5) Hz
29
Simulation
North/West Input
7595.3 Hz-7602.6 Hz
North/West End
7551 Hz-7558 Hz
These modes were not observed.
30
North Input:
(3917.2 ± 0.2) Hz
(5584.7 ± 0.2) Hz
North End:
(3883.0 ± 0.2) Hz
(5543.2 ± 0.2) Hz
31
North Input:
t3917 = (70.6 ± 0.4) s
t5584 = (37.8 ± 0.7) s
North End:
t3883 = (110 ± 3) s
t5543 = (16.2 ± 0.1) s
North Input:
North End:
Q3917 = (8.69 ± 0.05) 105
Q5584 = (6.6 ± 0.1) 105
Q3883 = (1.34 ± 0.09) 106
Q5543 = (2.82 ± 0.02) 105
32
Il rumore termico nella curva di
sensibilità dell’interferometro Virgo
hequiv ( )  2
dL
L
2
2
X tot
L
2
2
2
2
X tot
 X pend
 X mirror
 X viol
I modi torsionali non sono presenti
direttamente.
Ma giocano un ruolo importante se
nel controllo dell’interferometro.
33
Come abbassare il rumore termico in
un’antenna interferometrica
Abbassare le dissipazioni (Virgo Advanced)
Pendoli
sospensioni monolitiche (silice fusa)
termoelastico ridotto
dissipazioni superficiali ridotte
Specchi
coating meno dissipativi
substrati meno dissipativi
Abbassare la temperatura (Virgo criogenico)
Criogenia
34
-19
10
-20
10
cryo
adv
-21
10
-22
10
-23
10
-24
10
1
10
100
1000
Hz
35
Rumore nelle antenne risonanti

 x  y
Modi normali


2
X therm
( ) 
H( ) 
4k bT

 Im[ H( )]
1

b 
m   (2   2 )  i  
m 


1

b 
m   (2   2 )  i  
m 

36
37
38