Transcript Barotrope Rossby

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VII: Synoptik
Clemens Simmer
VII Synoptische Meteorologie
Synoptik ist die Zusammenschau der Wettervorgänge in
Raum und Zeit mit dem Ziel der Wetteranalyse und
Wettervorhersage. Die Synoptik ist Teil der Angewandten
Meteorologie.
1. Allgemeines
- Definitionen
- Darstellungsweisen
- Dreidimensionale Sicht
2. Synoptische Systeme mitterer Breiten, oder
„Wie entstehen Tiefs und Hochs“
- verschiedene Skalen
- Vorticitygleichung
- Frontentheorien
2
VII.2.2 Barotrope Rossby-Wellen
Wir betrachten nun die langen Wellen in der Höhenströmung.
Dies tun wir zunächst unter Vernachlässigung der
horizontalen Temperaturgradienten – die ja die eigentliche
Ursache für diese Strömung sind (siehe thermischer Wind).
Gliederung
• Ursache des westlichen Grundstroms (Wiederholung)
• Einführung der allgemeinen Vorticitygleichung
• Barotrope Vorticitygleichung und Rossby-Wellen
3
Die Westwinddrift lässt sich ansatzweise aus der
Höhen-abhängigkeit des geostrophischen
Windes erklären (thermischer Wind)

v g
z

g
Tv f

k   HTv

vg
po-2Dp

vg
po-Dp

vg
H, warm
• Zwischen den warmen subtropischen Breiten mit ihrem
Hochdruckgürtel und den kalten hohen Breiten bildet
sich ein Westwindband aus.
• Die Temperatur nimmt im Mittel zwischen 3 und 10 K pro
1000 km ab (differentielle Strahlungserwärmung).
• Daraus folgen Windzunahmen mit der Höhe zwischen 1
und 3 m/s pro km Höhendifferenz (thermischer Wind).
po
T, kalt
Nun geht es darum die
Wellenstruktur der
Höhenströmung und die an die
Wellen geknüpften dynamischen
Tiefs und Hochs zu erklären.
Dazu ist die Vorticity-Gleichung
hilfreich.
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Allgemeine Vorticitygleichung (1)
Die Vorticitygleichung ist eine prognostische Gleichung für die
Vorticity. Es folgt eine Ableitung aus den beiden horizontalen
Bewegungsgleichungen unter Annahme von Reibungsfreiheit.
Differenziere die x-Komponente der Bewegungsgleichung nach y und die yKomponente nach x:    u
u
u
u
1 p 
u
v
w
 fv  


y  t
x
y
z
 x 
  v
v
v
v
1 p 
u
v
w
 fu  


x  t
x
y
z
 y 
Subtrahiere die obere Gleichung von der unteren und ersetze 
mit ζ relative Vorticity.

v

w

v
x

u
y
 u v   w v w u 
f
1   p  p 
  
  v

   f 


 2 

t
x
y
z
y
  x y y x 
 x y   x z y z  
       
df
d


dt
dt
d
df
d


Mit
und η absolute Vorticity folgt dann
5
dt
dt
dt
u


Allgemeine Vorticitygleichung (2)
d 
  f
dt  
 



      f    u   v     w  v   w  u 



     x  y 
x z y z 





         

 
Tiltingter m
Divergenzt erm
1   p  p 



2
   x  y  y  x 

   

Solenoidte rm

 
 w v w u 
1   p  p 
  2 

    h  v h  


dt
 x z y z    x y y x 
d
Absolute Vorticity η (bzw. relative Vorticity ζ, wenn sich die Breite
nur wenig ändert) wird also erzeugt durch:
1. Horizontale Konvergenz
2. Kombination von horizontaler Änderung des Vertikalwindes
mit einer vertikalen Änderung des Horizontalwindes
3. Schneiden von Isolinien von Druck und Temperatur (Sonderfall
barokliner Verhältnisse).
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Divergenzterm
d
 u v 

 ...    f 

dt
x
y
 
  
 
Divergenzt erm
Beim Zusammenströmen (horizontale Konvergenz, Konfluenz) lenkt die
Coriolisbeschleunigung die Luft nach rechts ab – zyklonale relative Vorticity wird
erzeugt.
Beim Auseinanderströmen (horizontale Divergenz, Diffluenz) lenkt die
Coriolisbeschleunigung die Luft ebenfalls nach rechts ab – antizyklonale relative
Vorticity wird erzeugt.
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Tiltingterm
d
 w v w u 

 ...  

dt
x z y z 

     

Tiltingter m
Beispiel:
• Eine vertikale Zunahme der
nordwärtigen Windgeschwindigkeit ist
eine „Vorticity“ mit einer nach Westen
gerichteten Achse.
• Hat der Vertikalwind eine Scherung wie
angegeben, so wird die „Vorticity“ mit
horizontaler Achse in die Vertikale
gekippt – reguläre (horizontale) Vorticity
entsteht.
• Dieser Term ist auf der synoptischen
Skala meist sehr klein, ist aber
vermutlich mit ein Auslöser für
Tornados aus Böenwalzen.
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Solenoid term
d
1   p  p 

 ...  2 

dt
  x y y x 

   

Solenoidte rm
• Dieser Term lässt sich analog erklären
wie die für Land-Seewind und auch die
Hadley-Zirkulation.
• Es schneiden sich die Isobaren mit den
Isothermen (oder Isopyknen = gleiche
Dichte) und es entsteht eine direkte
(thermische) Zirkulation.
• Dies gilt natürlich auch in der
Horizontalen.
• Offensichtlich ist ein baroklines Feld
notwendig damit dieser Term nicht
verschwindet.
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Barotrope Rossby-Wellen (1)
Wir behandeln nun die Mäander der Höhenströmung mit Hilfe
der Vorticity-Gleichung. Wir gehen dabei von Annahmen aus,
die diese Gleichung sehr vereinfachen.
• Wir nehmen ein barotropes, divergenzfreies Strömungsfeld an
ohne vertikale Windscherung.
 Diese Annahme konserviert die absolute Vorticity in der Strömung,
d.h. aus der Vorticitygleichung folgt
𝒅𝜼/𝒅𝒕 = 𝟎 = 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒅𝒇(𝒚)/𝒅𝒕
= 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝝏𝒇/𝝏𝒚 𝒅𝒚/𝒅𝒕
= 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒗 𝒅𝒇/𝒅𝒚 .
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Barotrope Rossby-Wellen (2)
• Vorticity Gleichung: 𝒅𝜼/𝒅𝒕 = 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒗 𝒅𝒇/𝒅𝒚 = 𝟎
• Die Westwinddrift sei zunächst Breitenkreis-parallel. Damit ist die relative
Vorticity null:
𝝇 = 𝟎.
• Wird die Strömung, z.B. durch die Land-Meer-Verteilung und/oder Gebirge
nach N oder S ausgelenkt, so ändert sich für diesen Teil der Strömung f ,
weil sich die Breite ändert.
• Bei Südauslenkung nimmt f ab, also 𝒅𝒇/𝒅𝒕 < 𝟎 da 𝒗 < 𝟎 und 𝒅𝒇/𝒅𝒚 > 𝟎.
Es folgt aus 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒗 𝒅𝒇/𝒅𝒚 = 𝟎 → 𝒅𝝇/𝒅𝒕 > 𝟎
Die Strömung gewinnt also zyklonale relative Vorticity, welche die
Strömung zunächst wieder breitenkreisparallel und dann unter
Abnahme der zyklonalen relativen Vorticity (da dann 𝒅𝒇/𝒅𝒕 > 𝟎)
wieder zur Ausgangsbreite zurücklenkt.
• Da der Ausgangsbreitenkreis durch die Richtung der Strömung
überschritten wird, wird antizyklonale relative Vorticity erzeugt – eine
Wellenbewegung entsteht.
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Barotrope Rossby-Wellen (3)
𝒅𝜼/𝒅𝒕 = 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒅𝒇/𝒅𝒕
= 𝒅𝝇/𝒅𝒕 + 𝒗 𝒅𝒇/𝒅𝒚 = 𝟎
Durch Breitenänderung initiierte
Drehbewegung der Strömung
N
𝜍<0
λ
S
𝜍=0
Initialstörung
𝜍>0
𝜍>0
𝜍=0
η=f
df/dt<0
df/dt>0
da
also
also
ς=0
𝜍=0
dς/dt>0
dς/dt<0
df/dt<0
also
dς/dt>0
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Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (1)
Wie breiten sich diese barotropen Rossby-Wellen aus?
Ihre Geschwindigkeit c kann man wie folgt berechnen:
d
d

dt
f
v
y
dt
d

 v  0
dt
 -P aram eter
d
E uler-Zerlegung


t
dt
d


u
t
dt
 v
2

tx

u
 v

x
2
x
 v


v
x

u
y

v
tx
v
 v

y
,

y
sei 0, d.h. keine B reitenabhängigkeit
2
u
x
2
   v bei der w eiteren A nnahm e u  u 0  const
x
2
 u0
x
2
  v
A nsatz: v  A sin( t  kx ) m it k  2  /  (k W ellenzahl,  W e llenlänge)
k - u 0 k    , w eiter m it D ivision durch k ² und P has engeschw indigkeit c   / k
2
 c  u0 

k
2
 u0 

2
4
2
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Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (2)
• Rossby-Wellen wandern also mit einer Geschwindigkeit, die von der
Strömungsgeschwindigkeit u0 und der Wellenlänge λ abhängt.

c  u0 
, mit k Wellenzah l ( k  2π ,  Wellenlän ge)
k²
•
•
•
•
λ
d.h. die Wellen pflanzen sich mit Grundstromgeschwindigkeit u0 aus,
aber vermindert um β/k².
Je kürzer die Wellen, desto schneller wandern sie in Richtung des
Grundstroms (also nach Osten).
Bei 45° und λ > 7000 km Wellenlänge wandern Die Wellen bei einer
Grundstromgeschwindigkeit ū = 10 m/s nach Westen. Oft sind die
langen Wellen quasi-stationär.
Genauer: Alle Rossby-Wellen laufen bezogen auf ein mitdriftendes
Partikel im Grundstrom (also Grundstrom abziehen) nach Westen, und
zwar je länger die Welle, desto schneller (k~1/λ).
Wichtig: Rossby-Wellen erfordern neben der Erdrotation auch die
Kugelgestalt der Erde (β-Effekt)!
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Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (3)
Macht man eine Betrachtung relativ zum Grundstrom (zieht
man den Grundstrom von der Geschwindgkeit ab), so wird
unmittelbar klar, dass alle Rossby-Wellen nach Westen laufen
müssen.
N
B re ite n kre is

 u
u

u
E

u

u

 
u  u  u
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Übungen zu VII.2.2
1. Leite die Vorticitygleichung aus den horizontalen
Bewegungsgleichungen ab.
2. Bestimme die Wellen von stationären barotropen RossbyWellen für Grundstromgeschwindigkeiten von 10 und 15
m/s und für 40° und 60° Breite.
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