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Théorie de Réseaux de Files
d’Attente
Ramon Puigjaner
Universitat de les Illes Balears
Palma, Espagne
Université Paul Sabatier. Toulouse
INDICE
Introduction
Types de réseaux
Méthodes analytiques exacts
Méthodes approchées
Université Paul Sabatier. Toulouse.
2
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction
 Types de réseaux
 Méthodes analytiques exacts
 Méthodes approchées
Université Paul Sabatier. Toulouse.
3
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction

La performance des systèmes informatiques est
caractérisée par plusieurs points de congestion à cause
du partage des différentes ressources.

Il est trop restrictif et simpliste de représenter la
performance du système par une seule station.

Il faut modeler explicitement les différents points de
congestion du système. Le modèle résultant est un
réseau de files d’attente.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction

Formellement un réseau de files d'attente est un
graphe orienté dont les nœuds sont les stations de
service. Les arcs entre ces nœuds indiquent les
transitions possibles des clients entre stations de
service.

Les temps de transit entre stations sont toujours nuls.

Les clients que circulent à travers le réseau peuvent
être de classes différentes.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
5
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction
 Types de réseaux
 Méthodes analytiques exacts
 Méthodes approchées
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux

Réseau monoclasse: Tous les clients ont le même
(aléatoire) comportement. Tous les clients sont
(statistiquement) indistinguibles.

Réseau multiclasse: Les clients de différente classe
ont différentes caractéristiques de temps de service
et/ou de parcoure à travers le réseau. Tous les clients
d’une
même
classe
sont
(statistiquement)
indistinguibles
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux

Réseaux ouverts. Elles sont caractérisées par:
 l'existence d’une source de clients, au moins
 l'existence d’un puits de clients, au moins
 la possibilité de trouver un chemin que, à partir de chaque
nœud, mène (éventuellement) hors du réseau.
El nombre de clients est inconnu et varie avec le
temps.
La productivité ou débit (throughput) est connu et
égal à la fréquence d’arrivée au système, si le système
est stable.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux

Réseaux fermés. Les clients ni entrent ni sortent, et
donc, son nombre est constant. On peut considérer
comme si la sortie était connectée à l’entrée. Le débit
de clients à travers la connexion "sortie-entrée'' définit
la productivité du réseau fermé.

Réseaux mixtes. Dans un réseau avec multiples
classes de clients, il est possible que la réseau soit
ouvert pour un type de clients et fermé pour un autre.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux: réseau ouvert
Disque 1
Disque 2
CP U
Arrivées
Disque 3
Disque 4
Sorties
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux: réseau fermé
Disque 1
Disque 2
Arrivées
CP U
Disque 3
Disque 4
Université Paul Sabatier. Toulouse.
Sorties
11
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Types de réseaux: réseau mixte
T ravaux
interactifs
T erminaux
Sous-système
central
T ravaux transactionnels
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction
 Types de réseaux
 Méthodes analytiques exacts
 Méthodes approchées
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP
N, stations de service.
 C, classes de clients, que peuvent changer de classe
quand ils passent d’une station à une autre.
 Routage probabiliste pi,c;j,d: probabilité qu’un client de
classe c quand il sort de la station i s’en aille à la
station j en classe d.
 La matrice P = [pi,c;jd] est la matrice de routage. Un
client quitte la réseau avec probabilité

N
C
pic,0  1   pic, jd
j 1 d 1
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

(i,c), état du client.

L’ensemble des états des clients forme un ou plusieurs
sous-ensembles disjoints (o sous-chaînes): deux états
de client appartiennent à la même sous-chaînes s’il et a
une probabilité non nulle qu’un client puisse passer par
ces deux états pendant sa vie dans le réseau.

Sous-chaînes : E1, E2, …, EK (K  1):
 ouvertes
 fermées
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

S état du réseau

M(S) nombre de clients dans l’état S

M(S, Ek) nombre de clients dans la sous-chaîne Ek,
quand le réseau est à l’état S.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de
BCMP

Arrivées externes générées par des processus de
Poisson:
 indépendants de l’état du système
 dépendants de l’état du système à travers le nombre de
clients qu’il y a dans le réseau, l[M(S)]. Une arrivée va à
la station i en classe c avec probabilité p0,ic
 dépendants de l’état du système par m processus de
Poisson, un par sous-chaîne, de fréquence l[M(S,Ek)].
Une arrivée à la k-ème sous-chaîne va à la station i en
classe c avec probabilité p0,ic
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Quatre types de stations de service:
 type 1.
Un seul canal
Temps de service réparti exponentiellement, de temps
moyen 1/[mi Fi(mi)], identique pour toutes les classes, avec
mi (mi = mi1 + mi2 + … + miC), nombre de clients
Discipline de la file, FIFO.
Fi(mi), capacité du serveur avec Fi(1) = 1 (nous pouvons
réprésenter serveurs múltiples en faisant Fi(mi) = min(mi,
ni), où ni est le nombre maximum de serveurs).
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Quatre types de stations de service:
 type 2.
Un seul canal
Discipline de service: serveur partagé
Chaque classe de client a une distribution des temps de
service, différente et arbitraire et avec transformée de
Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne)
La capacité du serveur peut être fonction du nombre de
clients, Fi(mi).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Quatre types de stations de service:
 type 3.
Nombre de canaux plus grand ou égal que le nombre
maximum de clients
Chaque classe de client a une distribution des temps de
service, différente et arbitraire et avec transformée de
Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne)
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Quatre types de stations de service:
 type 4.
Un seul canal
Discipline de la file LIFO avec interruption provoquée par
le dernier client en arriver
Chaque classe de client a une distribution des temps de
service, différente et arbitraire et avec transformée de
Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne)
La capacité du serveur peut être fonction du nombre de
clients, Fi(mi).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Etat du réseau S défini par le vecteur
(S1, S2, …, SN)
Si = (mi1, mi2, …, miC)
Université Paul Sabatier. Toulouse.
22
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Suposition que le système atteint un
stationnaire de probabilités des états p(S)

Équations d’equilibre:
pS fréquencede sortiede S  
régime
   pS 'fréquencede passage de S ' a S 
S '

Équation de normalisation
 pS   1
S
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Equations de l'équilibre du débit dans le réseau
N
C
e jd   eic pic, jd  p0, jd
i 1 c 1
Si le réseau est ouvert, on peut le résoudre sans
difficulté puisque quelque p0,jd est non nulle.
 Si le réseau est fermé, toutes les p0,jd sont nulles:
système d’équations homogène; il faut trouver une des
infinies solutions différente celle qui est
identiquement nulle.

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24
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de
BCMP
N
1
pS   d S  g i S i 
G
i 1

G constante de normalisation pour que l'addition de
toutes les probabilités d’état soit égal à 1.
 Si le système est fermé, le nombre d’états du système est
fini et le problème est numérique.
 Si le système est fermé, le nombre d’états du système est
infini et le problème est analytique.
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

d(S) est une fonction telle que si la réseau est fermé elle
vaut 1 et si la réseau est ouvert vaut
M  S 1
 li 
i 0

si la fréquence d’arrivée dépend de M(S),
K M  S , Ek 1
  l i 
k
k 1

i 0
si la fréquence de arrivée à chaque sous-chaîne dépend
de M(S,Ek)
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de
BCMP

Les fonctions gi(Si) valent
 si la station est de type 1

1 mc  1
g i S i   mi ! 
eic 
 c 1 mic !  m i
C



mc
 si la station est de type 2 ó 4
1  eic 


g i S i   mi !
c 1 mic ! m ic 
C
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mc
27
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes analytiques exacts: Théorème de
BCMP

Las fonctions gi(Si) valent
 si la station est de type 3
1  eic 


g i S i   
c 1 mic ! m ic 
C
Université Paul Sabatier. Toulouse.
mc
28
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

Réseau fermé

N stations

M clients, tous de la même classe

Etat du réseau: m = (m1, m2, …, mN),
mi est le nombre de clients dans la station i
m1 + m2 + … + mN = M
 pij
probabilité de routage
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29
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

mi, capacité de service que peut dépendre du nombre
de clients k, mi(k)
si, temps moyen de service si le service est
indépendant de la charge, si = 1/mi.

Théorème de BCMP réduit à l'énoncé par Gordon et
Newell
N
1
pm1 , m2 ,...,mN  
f i mi 

GM  i 1
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen
f i mi  
eimi
mi
 m k 
i
k 1

si la station i a un service indépendant de la charge
f i mi   ei si  i  X i
m
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mi
31
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

Equations de l'équilibre du débit dans chaque station
N
e j   ei pij , para j  1, 2, ..., N
i 1

G(M) est la constante de normalisation
G M  
N
f m 




mS M , N
i
i
i 1
N


S M , N   m1 , m2 ,...,m N  |  mi  M , y mi  0, 0  i  N 
i 1


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32
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

Nombre total d’états
 M  N  1


 N 1 

fonction auxiliaire
g n m 
n
   f m 
mS m, n i 1
i
i
avec G(M) = gN(M) et G(m) = gN(m).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
33
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen


n
m


g n m     f i mi       f i mi  
mS  m , n  i 1
k  0 mS  m , n  i 1
 m k

 n

n
m

 m
  f n k    f i mi    f n k g n 1 m  k 
k 0
 mS m  k ,n 1 i 1
 k 0
n
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THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

Si la capacité de service est indépendante du nombre
de clients dans la station
fn(k) = (en sn)k = Xnk = Xn fn(k - 1)
Université Paul Sabatier. Toulouse.
35
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen
m
g n m    f n k g n 1 m  k  
k 0
m
 g n 1 m    f n k g n 1 m  k  
k 1
m 1
 g n 1 m    f n k  1g n 1 m  k  1 
k 0
m 1
 g n 1 m   X n  f n k g n 1 m  1  k  
k 0
 g n 1 m   X n g n m  1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
36
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

Initialisation
g1 m  


1
   f m  
mS m ,1 i 1
i
i
f1 m1   f1 m   X 1m
mS m ,1
pour m = 0, 1, …, M, et
gn(0) = 1, pour n = 1, 2, …, N
Université Paul Sabatier. Toulouse.
37
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Probabilités
Pmi  k  
pm , m ,...,m 



mS M , N
1
2
N
mi  k
Université Paul Sabatier. Toulouse.
38
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Probabilités
Pmi  k  
pm , m ,...,m  



mS M , N
mi  k
1
2
N
N
1
mj
Xj 
 

mS  M , N  G M  j 1
mi  k
N
X ik
mj
k G M  k 
X j  Xi



G M 
G M  mS  M  k , N  j 1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
39
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Probabilités
k
i
X
GM  k   X i GM  k  1
Pmi  k  
GM 

Variables opérationnelles: Utilisation
G M  1
 i  Pmi  1  X i
G M 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
40
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Variables opérationnelles: Productivité
i X i GM  1
GM  1
li 

 ei
si
si GM 
GM 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
41
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Variables opérationnelles: Longueur de file
M
mi M    kPmi  k  
k 1
G M  k 
  Pmi  k    X
G M 
k 1
k 1
M
M
k
i
Université Paul Sabatier. Toulouse.
42
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Variables opérationnelles: Longueur de file
M




1

M
G
k

M
G
k G M  k 
k

  Xi
 Xi
mi  M    X i
G M 
G M 
G M 
k 2
k 1
M
X i M 1 k
X i G M  1  k  
 i 

G M  k 1
G M  1 M 1 k G M  1  k 

Xi
 i  X i

G M  1
G M  k 1
  i   i mi M  1   i 1  mi M  1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
43
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Variables opérationnelles: Temps de réponse
mi M  i 1  mi M  1
Ri 

 si 1  mi M  1
li
li
Université Paul Sabatier. Toulouse.
44
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Algorithmes exacts

Méthode
de
convolution:
est
l'extension
de
l’algorithme de Buzen aux réseaux BCMP

Analyse de la valeur moyenne
Université Paul Sabatier. Toulouse.
45
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur
moyenne
vecteur del nombre total de clients de chaque classe
M  M1 , M 2 ,...,M C 
 vecteur de zéros partout sauf à la c-ième composante

ec  0,0,...,0,1,0,...,0
 nombre moyen de clients dans la station i quand il y
a de un client moins de classe c dans la réseau
mi M  ec 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
46
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur
moyenne

Pour des stations de service de types 1, 2 et 4
Ric M   sic 1  mM  ec 

Pour des stations de service de type 3
Ric M   sic

Vic le nombre moyen de visites à la station i des
clients de classe c
Université Paul Sabatier. Toulouse.
47
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur
moyenne
Mc
lc 
N
V
i 1
ic
Ric
mic  l cVic Ric
Université Paul Sabatier. Toulouse.
48
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur
moyenne

Exemple
2
1
3
Université Paul Sabatier. Toulouse.
49
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne

Exemple
11
21
31
12
22
31
11
0
1
1
0
0
0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
21 31 12
0.5 0.5 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
22
0
0
0
1
0
0
32
0
0
0
0
0
0
sic
1
1
2
2
1
2
50
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur
moyenne

Exemple
V11 = 1
V12 = 1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
V21 = 0.5
V22 = 1
V31 = 0.5
V32 = 0
51
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne

Exemple
Pas 1
m1(0,0) = m2(0,0) = m3(0,0) = 0
Pas 3
R11(1,0) = 1
R21(1,0) = 1
R31(1,0) = 2
Pas 4
l1(1,0) = 1/(1  1 + 1  0.5 + 2  0.5) = 0.4
Pas 5
m1(1,0) = 0.4
m2(1,0) = 0.2
m3(1,0) = 0.4
Université Paul Sabatier. Toulouse.
52
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne

Exemple
Pas 3 R11(2,0) = 1  (1 + 0.4) = 1.4
R21(2,0) = 1  (1 + 0.2) = 1.2
R31(2,0) = 2  (1 + 0.4) = 2.8
Pas 4 l1(2,0) = 2/(1.4  1 + 1.2  0.5 + 2.8  0.5) = 0.588
Pas 5
m1(2,0) = 0.588  1.4  1 = 0.824
m2(2,0) = 0.588  1.2  0.5 = 0.353
m3(2,0) = 0.588  2.8  0.5 = 0.824
Université Paul Sabatier. Toulouse.
53
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R11(2,0) = 1  (1 + 0.4) = 1.4
R21(2,0) = 1  (1 + 0.2) = 1.2
R31(2,0) = 2  (1 + 0.4) = 2.8
Pas 4
l1(2,0) = 2/(1.4  1 + 1.2  0.5 + 2.8  0.5) = 0.588
Pas 5
m1(2,0) = 0.588  1.4  1 = 0.824
m2(2,0) = 0.588  1.2  0.5 = 0.353
m3(2,0) = 0.588  2.8  0.5 = 0.824
Université Paul Sabatier. Toulouse.
54
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R12(0,1) = 2
R22(0,1) = 1
R32(0,1) = 2
Pas 4
l2(0,1) = 1/(2  1 + 1  1 + 2  0) = 0.333
Pas 5
m1(0,1) = 0.667
m2(0,1) = 0.333
m3(0,1) = 0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
55
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R12(0,2) = 2  (1 + 0.667) = 3.333
R22(0,2) = 1  (1 + 0.333) = 1.333
R32(0,2) = 2  (1 + 0) = 2
Pas 4
l2(0,2) = 2/(3.333  1 + 1.333  1 + 2  0) = 0.429
Pas 5
m1(0,2) = 0.429  3.333  1 = 1.429
m2(0,2) = 0.429  1.333  1 = 0.571
m3(0,2) = 0.429  2  0 = 0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
56
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R11(1,1) = 1  (1 + 0.667) = 1.667
R21(1,1) = 1  (1 + 0.333) = 1.333
R31(1,1) = 2  (1 + 0) = 2
R12(1,1) = 2  (1 + 0.4) = 2.8
R22(1,1) = 1  (1 + 0.2) = 1.2
R32(1,1) = 2  (1 + 0.4) = 2.8
Pas 4
l1(1,1) = 1/(1.667  1 + 1.333  0.5 + 2  0.5) = 0.3
l2(1,1) = 1/(2.8  1 + 1.2  1 + 2.8  0) = 0.25
Pas 5
m1(1,1) = 0.3  1.667  1 + 0.25  2.8  1 = 1.2
m2(1,1) = 0.3  1.333  0.5 + 0.25  1.2  1 = 0.5
m3(1,1) = 0.3  2  0.5 + 0.25  2.8  0 = 0.3
Université Paul Sabatier. Toulouse.
57
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R11(2,1) = 1  (1 + 1.2) = 2.2
R21(2,1) = 1  (1 + 0.5) = 1.5
R31(2,1) = 2  (1 + 0.3) = 2.6
R12(2,1) = 2  (1 + 0.824) = 3.647
R22(2,1) = 1  (1 + 0.353) = 1.353
R32(2,1) = 2  (1 + 0.824) = 3.647
Pas 4
l1(2,1) = 2/(2.2  1 + 1.5  0.5 + 2.6  0.5) = 0.471
l2(2,1) = 1/(3.647  1 + 1.353  1 + 3.647  0) = 0.2
Pas 5
m1(2,1) = 0.471  2.2  1 + 0.2  3.647  1 = 1.765
m2(2,1) = 0.471  1.5  0.5 + 0.2  1.353  1 = 0.623
m3(2,1) = 0.471  2.6  0.5 + 0.2  3.647  0 = 0.612
Université Paul Sabatier. Toulouse.
58
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R11(1,2) = 1  (1 + 1.429) = 2.429
R21(1,2) = 1  (1 + 0.571) = 1.571
R31(1,2) = 2  (1 + 0) = 2
R12(1,2) = 2  (1 + 1.2) = 4.4
R22(1,2) = 1  (1 + 0.5) = 1.5
R32(1,2) = 2  (1 + 0.3) = 2.6
Pas 4
l1(1,2) = 1/(2.429  1 + 1.571  0.5 + 2  0.5) = 0.237
l2(1,2) = 2/(4.4  1 + 1.5  1 + 2.6  0) = 0.339
Pas 5
m1(1,2) = 0.237  2.429  1 + 0.339  4.4  1 = 2.068
m2(1,2) = 0.237  1.571  0.5 + 0.339  1.5  1 = 0.695
m3(1,2) = 0.237  2  0.5 + 0.339  2.6  0 = 0.237
Université Paul Sabatier. Toulouse.
59
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Pas 3
R11(2,2) = 1  (1 + 2.068) = 3.068
R21(2,2) = 1  (1 + 0.695) = 1.695
R31(2,2) = 2  (1 + 0.237) = 2.474
R12(2,2) = 2  (1 + 1.765) = 5.530
R22(2,2) = 1  (1 + 0.623) = 1.623
R32(2,2) = 2  (1 + 0.612) = 3.224
Pas 4
l1(2,2)=2/(3.0681 +1.6950.5+2.47 0.5) = 0.388
l2(2,2)=2/(5.5301+1.6231+3.2240 )= 0.280
Pas 5
m1(2,2)=0.3883.0681+0.2805.5301 = 2.737
m2(2,2)=0.3881.6950.5+0.2801.62 1 = 0.783
m3(2,2)=0.3882.4740.5+0.2803.2240 = 0.480
Université Paul Sabatier. Toulouse.
60
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Introduction
 Types de réseaux
 Méthodes analytiques exacts
 Méthodes approchées
Université Paul Sabatier. Toulouse.
61
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées

Diffusion

Décomposition-agrégation

Itératives
Université Paul Sabatier. Toulouse.
62
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Diffusion
 Réseau avec N stations d’un seul canal avec:

Distribution générale de temps de service avec
moyenne, mi, et coefficient quadratique de variation
Ksi2.

Probabilité de transition pij, indépendante de l’état
du système.

Fréquence d’arrivée l0 avec coefficient quadratique
de variation des temps entre arrivées K02.

Probabilité d’arrivée p0i et de sortie pj(N + 1).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
63
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Diffusion

Supposition que la probabilité d’état a forme de
produit.

Processus d’arrivée et sortie
Pour appliquer la formule de diffusion il faut
connaître le processus d’arrivée li et Kai2 et le temps
de service si = mi-1 et Ksi2.
li et Kai2 sont déterminées à partir des processus de
sortie des autres stations et du processus de arrivée.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
64
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Diffusion

Processus de sortie de la station i.
Pendant les périodes d'occupation, la fréquence de
sortie est mi et le coefficient quadratique de variation
Ksi2. Mais la station est occupée seulement avec
probabilité i.
Fréquence moyenne de sortie, i mi
Variance des sorties, i Ksi2 mi
Université Paul Sabatier. Toulouse.
65
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Diffusion

Processus d’arrivée à la station i.
Superposition des processus de sortie.
li 
1
K 
li
2
ai
Université Paul Sabatier. Toulouse.
N
p
j 0 ó 1
 K
j 0 ó 1
2
sj
ji
 jm j


 1 p ji  1 m j  j p ji
66
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Diffusion

Réseaux ouverts.
Fréquence d’arrivée à la station i
li = l0 ei
N
ei  p0i   e j p ji
j 1
i = eil0mi-1
N


K ai2  1   K sj2  1 p 2ji e j ei1
j 1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
67
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées

Diffusion

Décomposition-agrégation

Itératives
Université Paul Sabatier. Toulouse.
68
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Méthodes approchées: Décomposition-agrégation

Remplacement d’un groupe d’éléments par un élément
synthétique que reproduise son comportement.

En générale, on cherche des groupes d’éléments qui aient
tous une dynamique similaire et que les clients circulent
avec une grande probabilité entre eux et avec faible
probabilité avec les éléments externes à l’ensemble
considéré.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
69
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Méthodes approchées: Décomposition-agrégation

Réseau BCMP avec une seule station non-BCMP
p
21
m2
p
24
p
p
11
p
23
p
42
12
p14
m1
p
m4
13
p34
p
43
m3
p
31
Université Paul Sabatier. Toulouse.
70
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Méthodes approchées: Décomposition-agrégation
p
21
m2
p
24
p
p
11
p
23
p
42
12
p14
m1
p
13
m4
p34
p
43
p
31
Université Paul Sabatier. Toulouse.
71
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Méthodes approchées: Décomposition-agrégation
Théorème de Norton
 Pas de décomposition:

 court-circuit de la station non-BCMP.
 analyse du réseau résultant et calcul du débit à travers le
court-circuit X(m) pour m clients dans la réseau, où m = 1, 2,
..., M.

Pas d’agrégation: La réseau de files d'attente original se
réduit à la station court-circuitée et à une autre station
que représente approximativement la réseau courtcircuité, dont la capacité de service est X(m).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
72
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
Méthodes approchées: Décomposition-agrégation
X(m)
m3
Université Paul Sabatier. Toulouse.
73
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées

Diffusion

Décomposition-agrégation

Itératives
Université Paul Sabatier. Toulouse.
74
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Itératives

En général, on part d’une conjoncture raisonnable
pour établir l’itération

En général, on ne démontre pas que l’itération soit
convergeante, ni que, en cas de convergence, cette
convergence le soit sur une valeur proche de la
solution exacte.

Malgré sa manque de justification théorique par
rapport à sa convergence fournissent une voie
intéressante pour traiter des réseaux de files
d’attente.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
75
THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES
D'ATTENTE
 Méthodes approchées: Itératives

Itération entre el traitement analytique d’un réseau
de files d’attente et le traitement analytique d’une
file

Méthode des modèles subordonnés

Méthode du réseau auxiliaire
Université Paul Sabatier. Toulouse.
76