Transcript Bab 3.

Bab 3
MEDAN MAGNETIK
STATIS
POKOK-POKOK BAHASAN
DALAM BAB INI MELIPUTI:
 Hukum Biot-Savart
 Hukum Ampere
 Kerapatan Fluksi Magnetik dan Hukum
Gauss
 Induktansi
 Soal-soal dan Penyelesaiannya
Hukum Biot-Savart
 Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan
hasil dari diferensi elemen arus I dl
 Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat
jarak, tidak bergantung pada medium di sekelilingnya,
serta memiliki arah yang diberikan oleh perkalian silang
antara I dl dan aR.
 di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah
R adalah dari
 elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.
dH 
I dl  aR
( A / m)
2
4R
Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH
 Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yang
saling terpisah. Semua elemen yang membentuk sebuah
filamen arus lengkap akan berkontribusi terhadap H.
Proses penjumlahan ini akan menghasilkan bentuk integral
dari hukum Biot-Savart sebagai
H

I dl  a R
4R
2
( A / m)
Contoh Soal 1
Sebuah filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga yang
terletak di sepanjang sumbu z koordinat silindris ditunjukkan
pada Gambar 3-2. Carilah H!
Penyelesaian:
Pada titik z = 0,
R  rar  zaz
R
r
2
z
aR 
2
rar  za z
r2  z2
dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan
dH 
I dzaz  (rar  zaz )
4 (r 2  z 2 ) 3 / 2

I r dza
4 (r 2  z 2 ) 3 / 2
 Variabel integrasi adalah z. Oleh karena a  tidak berubah
terhadap z, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum
proses integrasi dilakukan.
 Hasil ini menunjukkan bahwa H berbanding terbalik terhadap
jarak radial


I r dz
I
 a 
H 
a
2
2 3/ 2
2r
  4 ( r  z ) 



Catatan!
Filamen arus I dengan panjang
tak berhingga yang terletak di
sepanjang sumbu z.
Arah
intensitas
medan
magnetik adalah memenuhi
aturan tangan kanan di mana
jari-jari tangan kanan yang
digenggamkan
menunjukkan
arah medan, sementara ibu
jari menunjukkan arah arus.
Hukum Ampere
 Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik di
sekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yang
dilingkupi oleh lintasan tersebut.
 H  dI  I
yang dilingkupi
Persamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.
Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H,
maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:
 Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalah
bersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.
 H memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan di
mana H adalah tangensial.
Contoh Soal 2
Gunakan hukum Ampere untuk memperoleh H yang
diakibatkan oleh filamen lurus arus I dengan panjang tak
berhingga!
Penyelesaian!
Biot-Savart menunjukkan bahwa pada setiap titik dari
lingkaran Gambar 3-2 H adalah tangensial serta memiliki
magnituda yang sama besar. Maka,
 H  dI  H (2 r )  1
 Dengan menyelesaikan integral di atas
H 
I
a
2r
 Bentuk diferensial dari hukum Ampere dapat diturunkan
yang juga akan menghubungkan medan magnetik statik H
dengan arus elektrik konstan.
 Sebelum mendefinisikan bentuk diferensial,
dikenalkan terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.
 curl A dalam arah an didefinisikan sebagai
(curl A)  a n    A  a n
A  dI

 lim
S 0
S
akan
 Dalam sebuah sistem koordinat, curl A secara lengkap
dispesifikasi oleh komponen-komponennya di sepanjang vektor
satuan koordinat.
Pendefinisian curl A
 Sebagai contoh, komponen x dalam koordinat Cartesian
didefinisikan dengan mengambil kontur C sebagai sebuah
bujur sangkar pada bidang datar x konstan melalui titik P
seperti tampak pada Gambar.
  A  a x  lim
yz 0
 A  dI
yz
Pendefinisian komponen x dari curl A.
 Jika A =Ax ax + Ayay +AZaZ pada sudut S yang paling dekat
dengan titik pusat (titik 1), maka
2
3
4
1
1
2
3
4
 
A y 

Az


(y )  Az (z )
 A y y   Az 
y z   A y 
y
z 



 Az A y 
 yz
 

z 
 y
dan
Az A y
 A ax 

y
z
 Komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang
sama
 Dengan menggabungkan ketiga komponen yang diperoleh,
curl A dalam koordinat Cartesian adalah
A y
 A
  A   z 
z
 y

A
Az
a x   x 

x
 z

 Untuk koordinat silindris
 A y Ax

a y  


x
y



a z


 
 1 Az A 
Ar 
1   rA
 Ar Az 


 A

a r   z  r a  r  r    a z
r



z




 Untuk koordinat bola
 A
1
r sin


 
  A sin A 
1  1 Ar  rA

a



 r


 
r  sin 
r

1  rA  Ar 
a


a
 


r  r
 

Dua sifat curl A yang seringkali digunakan ialah:
 Divergensi curl dari sebuah vektor adalah sama dengan
nol
    A  0
 Curl gradien dari sebuah fungsi skalar adalah sama dengan
nol
  f   0
Sebagai contoh, dalam kondisi statik, medan elektrik E   V
Sehingga
 E  0
Ini merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konservasi
medan vektor, yaitu jika curl sama dengan nol, maka medan
tersebut adalah medan konservatif
 Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan
mendefinisikan (curl H)x dapat ditulis sebagai
  H  a x  lim
yz  0

yang
Ix
H  dI
 lim
Jx
yz yz 0 yz
 di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x
 Jadi komponen x dari (curl H)x dan kerapatan arus Jx adalah
sama di setiap titik.
 Untuk komponen y dan z, relasi yang diperoleh dalam serupa,
sehingga relasi secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai
 H  J
 Persamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukum Ampere
untuk medan magnetik statis. Medan magnetik H tidak bersifat
konservatif.
Contoh Soal 3
Sebuah konduktor panjang dan lurus memiliki penampang melintang
dengan jari-jari a. Kuat medan magnetik di dalam konduktor (r < a)
adalah H = (Ir/2a2)a dan H = (I/2a2)a untuk (r < a). Carilah
kerapatan arus J untuk kedua daerah tersebut!
Penyelesaian :
Untuk daerah di dalam konduktor, dengan menggunakan persamaan
J    
  Ir

z  2a 2
1   Ir 2

a

 r
r r  2a 2


a z  I a z

a 2

yang berkorespondensi dengan arus yang memiliki magnetuda I
dalam arah +z yang terdistribusi secara merata pada penampang
melintang dengan luas area a2.
Di luar konduktor
J   H  
  I 
I   I

ar 

z  2r 
r r  2

a z  0

yang berarti bahwa arus hanya mengalir di
dalam konduktor
Kerapatan Fluksi Magnetik
dan Hukum Gauss
 Kuat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan
(muatan yang bergerak) semata dan tidak bergantung pada
mediumnya
 Medan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan fluksi
magnetik B yang diberikan oleh persamaan
B=H
 di mana  = 0r adalah permeabilitas medium
 Satuan untuk B adalah tesla di mana
1T=1
N
Am
 Permeabilitas ruang hampa, 0, memiliki nilai sebesar 4 x 10-7
dengan satuan henry per meter, H/m
 Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif,.r yang
mendekati satu, sementara material magnetik (misalnya
besi,ferromagnetik) dapat memiliki r yang jauh lebih besar
daripada satu.
 Fluksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaan
didefinisikan sebagai

 B  dS
S
 Fluksi magnetik, , dapat bernilai positif atau negatif
bergantung pada pemilihan normal pada elemen permukaan dS.
 Satuan untuk fluksi magnetik adalah weber, Wb.
1 T = 1 Wb/m2,
1 H = 1 Wb/A
Contoh Soal 4
Carilah fluksi yang memotong bagian
bidang datar  = /4 dengan 0,01 < r < 0,05
m dan 0 < z < 2 m (lihat Gambar) di mana
sebuah filamen arus 2,50 A diletakkan
sepanjang sumbu z pada arah az!
Penyelesaian:
Kerapatan fluksi magnetik adalah B   0 H   0 I a
2r
Dari gambar
dS = drdza
Fluksi magnetik yang melewati bidang permukaan persegi panjang
adalah
2 0, 05
0 I
 
a  d r d z a
2r
0 0, 01

2 0 I
0,05
ln
1,61106 W b 1,61W b
2
0,01
 Garis-garis fluksi magnetik merupakan kurva tertutup, tanpa
titik awal dan titik akhir. Kurva seperti ini disebut sebagai
kurva solenoidal
 Jadi medan B tidak memiliki sumber (source) ataupun sink, yang
secara matematis dinyatakan sebagai
  B = 0
Catatan!
Persamaan (9) dikenal sebagai
hukum Gauss untuk medan
magnetik.
Permukaan tertutup dengan
kerapatan fluksi B.
Induktansi
 rasio atau perbandingan fluksi magnetik lingkup terhadap arus
yang menghasilkan fluksi tersebut.
di mana :
N
L
I

N adalah jumlah lilitan kumparan

I adalah arus statis (atau arus dengan frekuensi rendah)

 adalah fluksi yang melewati sebuah loop tunggal
 Satuan L adalah henry di mana 1 H = 1 Wb/A.
L akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan  dan
faktor geometri dengan satuan panjang.
 Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai
L

I
di mana :
•
, fluksi lingkup, N untuk kumparan dengan lilitan sejumlah N
Fluksi lingkup untuk kumparan arus
Contoh Soal 5
Carilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksial
seperti Gambar dibawah ini!
Penyelesaian:
•

= konstan
Untuk daerah di antara konduktor, medan
magnetik dirumuskan sebagai
 0I
I
B
a
a
2

r
2r
arus di kedua konduktor dilingkupi oleh
fluksi yang menembus permukaan  =
konstan. Untuk panjang l =1 m.
H
•
1 b


0 a
0 I
 I
b
drdz 0 ln
2r
2
a

 induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial
0
b
L per meter 
ln H / m
2
a
 Gambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan dari
beberapa bentuk konduktor non-koaksial
 0 N 2 a r2
L
ln H 
2
r1
Toroida dengan penampang melintang persegi.
(dengan mengasumsikan nilai
kerapatan fluksi rata-rata
pada
jari-jari
rata-rata
sebesar r.)
0 N 2S
H 
L
2r
r
Toroida dengan penampang S
S
L
0 N 2 S

H 
Solenoida panjang dengan area penampang melintang S yang kecil.
L 0
d
H / m 

cosh1
 
2a
untukd  a,
l
L 0 d

ln H / m 
 
a
d
Konduktor paralel dengan jari-jari a.
L 0
d
H / m 

cosh1
 2
2a

d
 0 ln H / m 
2
a
Konduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan
Hal-hal Penting untuk Diingat
 Medan magnetik H dan B akan mengelilingi sebuah kawat
penghantar beraliran
 arus I sesuai aturan tangan kanan.
 Dalam medium isotropik, B = H.
 Garis-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti bahwa
garis-garis tersebut merupakan kurva tertutup tanpa awal atau
pun akhir.
 Untuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetik
total yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan
fluksi magnetik total yang meninggalkan permukaan tersebut.
 Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetik
lingkup per satuan arus.
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1
Sebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang tak
berhingga membawa arus I. Carilah H pada setiap titik dengan hukum
Ampere!
Penyelesaian :
Hukum Biot-Savart menunjukkan bahwa H hanya
memiliki komponen . Lebih lanjut, H merupakan
fungsi dari r semata. Lintasan yang tepat untuk
hukum Ampere adalah lingkaran konsentris. Untuk
lintasan 1 yang ditunjukkan pada Gambar,
 H  d  2rH
I
Sedangkan untuk lintasan 2,
yang dilingkupi

0
Cangkang silindris yang
mengalirkan arus I.
H  d  2rH  I
Jadi, untuk titik di dalam cangkang silinder, H = 0 dan untuk
titik-titik diluarnya H = (I/2r)a A/m. Untuk r > a, medannya
adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.
Soal 2
2,39  10 6
H
cos a r
r
Medan radial
A/ m
terdapat pada suatu medium ruang hampa. Carilah fluksi magnetik, , yang
memotong permukaan -/4    /4, 0  z  1 m. Lihat Gambar!
Penyelesaian :
Kerapatan fluksi dalam medium ruang hampa adalah
B  0 H 
3,00
cos  a r
r
T
dan fluksi yang melewati permukaan dimaksud adalah
1


4
 
0 
4
 3,00

cos  a r   r ddzar   4,24 W b

 r

Fluksi Magnetik yang
melewati bidang
permukaan silinder.
Soal 3
Carilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yang
diperlihatkan pada Gambar, di mana d = 25 kaki dan a = 0,803 inci!
Penyelesaian :
Dengan menggunakan rumus-rumus pada
L 0
d
2512

cos1
 4  107 cos1
 2,37 H / m
 
2a
20,803


l
Rumus pendekatan memberikan hasil
L 0 d

ln  2,37 H / m
 
a
untuk d/a  10, rumus pendekatan dapat digunakan
dengan kesalahan kurang dari 0,5%.
d
Konduktor paralel
dengan jari-jari a.
Soal 4
Asumsikan bahwa toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada
Gambar memiliki 700 lilitan, jari-jari dalam 1 cm, jari-jari luar 2 cm
dan tinggi a = 1,5 cm. Carilah L dengan menggunakan
(a) rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur
sangkar; (b) rumus pendekatan untuk toroida biasa, yang
mengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata!
Penyelesaian :
(a) Untuk penampang melintang bujur sangkar,


 0 N 2 a r2
4  107 7002 0,015
L
ln

ln 2  1,02 mH
2
r1
2
r
S
(b) Dengan menggunakan rumus pendekatan dari Gambar


0 N 2S
4  107 7002 0,010,015
L

 0,98 mH
2r
2 0,015
Toroida dengan
penampang S
dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luas
penampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil
perhitungan yang lebih mirip (lebih mendekati sama).