Transcript Bab 3.
Bab 3
MEDAN MAGNETIK
STATIS
POKOK-POKOK BAHASAN
DALAM BAB INI MELIPUTI:
Hukum Biot-Savart
Hukum Ampere
Kerapatan Fluksi Magnetik dan Hukum
Gauss
Induktansi
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Hukum Biot-Savart
Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan
hasil dari diferensi elemen arus I dl
Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat
jarak, tidak bergantung pada medium di sekelilingnya,
serta memiliki arah yang diberikan oleh perkalian silang
antara I dl dan aR.
di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah
R adalah dari
elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.
dH
I dl aR
( A / m)
2
4R
Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH
Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yang
saling terpisah. Semua elemen yang membentuk sebuah
filamen arus lengkap akan berkontribusi terhadap H.
Proses penjumlahan ini akan menghasilkan bentuk integral
dari hukum Biot-Savart sebagai
H
I dl a R
4R
2
( A / m)
Contoh Soal 1
Sebuah filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga yang
terletak di sepanjang sumbu z koordinat silindris ditunjukkan
pada Gambar 3-2. Carilah H!
Penyelesaian:
Pada titik z = 0,
R rar zaz
R
r
2
z
aR
2
rar za z
r2 z2
dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan
dH
I dzaz (rar zaz )
4 (r 2 z 2 ) 3 / 2
I r dza
4 (r 2 z 2 ) 3 / 2
Variabel integrasi adalah z. Oleh karena a tidak berubah
terhadap z, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum
proses integrasi dilakukan.
Hasil ini menunjukkan bahwa H berbanding terbalik terhadap
jarak radial
I r dz
I
a
H
a
2
2 3/ 2
2r
4 ( r z )
Catatan!
Filamen arus I dengan panjang
tak berhingga yang terletak di
sepanjang sumbu z.
Arah
intensitas
medan
magnetik adalah memenuhi
aturan tangan kanan di mana
jari-jari tangan kanan yang
digenggamkan
menunjukkan
arah medan, sementara ibu
jari menunjukkan arah arus.
Hukum Ampere
Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik di
sekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yang
dilingkupi oleh lintasan tersebut.
H dI I
yang dilingkupi
Persamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.
Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H,
maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:
Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalah
bersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.
H memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan di
mana H adalah tangensial.
Contoh Soal 2
Gunakan hukum Ampere untuk memperoleh H yang
diakibatkan oleh filamen lurus arus I dengan panjang tak
berhingga!
Penyelesaian!
Biot-Savart menunjukkan bahwa pada setiap titik dari
lingkaran Gambar 3-2 H adalah tangensial serta memiliki
magnituda yang sama besar. Maka,
H dI H (2 r ) 1
Dengan menyelesaikan integral di atas
H
I
a
2r
Bentuk diferensial dari hukum Ampere dapat diturunkan
yang juga akan menghubungkan medan magnetik statik H
dengan arus elektrik konstan.
Sebelum mendefinisikan bentuk diferensial,
dikenalkan terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.
curl A dalam arah an didefinisikan sebagai
(curl A) a n A a n
A dI
lim
S 0
S
akan
Dalam sebuah sistem koordinat, curl A secara lengkap
dispesifikasi oleh komponen-komponennya di sepanjang vektor
satuan koordinat.
Pendefinisian curl A
Sebagai contoh, komponen x dalam koordinat Cartesian
didefinisikan dengan mengambil kontur C sebagai sebuah
bujur sangkar pada bidang datar x konstan melalui titik P
seperti tampak pada Gambar.
A a x lim
yz 0
A dI
yz
Pendefinisian komponen x dari curl A.
Jika A =Ax ax + Ayay +AZaZ pada sudut S yang paling dekat
dengan titik pusat (titik 1), maka
2
3
4
1
1
2
3
4
A y
Az
(y ) Az (z )
A y y Az
y z A y
y
z
Az A y
yz
z
y
dan
Az A y
A ax
y
z
Komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang
sama
Dengan menggabungkan ketiga komponen yang diperoleh,
curl A dalam koordinat Cartesian adalah
A y
A
A z
z
y
A
Az
a x x
x
z
Untuk koordinat silindris
A y Ax
a y
x
y
a z
1 Az A
Ar
1 rA
Ar Az
A
a r z r a r r a z
r
z
Untuk koordinat bola
A
1
r sin
A sin A
1 1 Ar rA
a
r
r sin
r
1 rA Ar
a
a
r r
Dua sifat curl A yang seringkali digunakan ialah:
Divergensi curl dari sebuah vektor adalah sama dengan
nol
A 0
Curl gradien dari sebuah fungsi skalar adalah sama dengan
nol
f 0
Sebagai contoh, dalam kondisi statik, medan elektrik E V
Sehingga
E 0
Ini merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konservasi
medan vektor, yaitu jika curl sama dengan nol, maka medan
tersebut adalah medan konservatif
Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan
mendefinisikan (curl H)x dapat ditulis sebagai
H a x lim
yz 0
yang
Ix
H dI
lim
Jx
yz yz 0 yz
di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x
Jadi komponen x dari (curl H)x dan kerapatan arus Jx adalah
sama di setiap titik.
Untuk komponen y dan z, relasi yang diperoleh dalam serupa,
sehingga relasi secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai
H J
Persamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukum Ampere
untuk medan magnetik statis. Medan magnetik H tidak bersifat
konservatif.
Contoh Soal 3
Sebuah konduktor panjang dan lurus memiliki penampang melintang
dengan jari-jari a. Kuat medan magnetik di dalam konduktor (r < a)
adalah H = (Ir/2a2)a dan H = (I/2a2)a untuk (r < a). Carilah
kerapatan arus J untuk kedua daerah tersebut!
Penyelesaian :
Untuk daerah di dalam konduktor, dengan menggunakan persamaan
J
Ir
z 2a 2
1 Ir 2
a
r
r r 2a 2
a z I a z
a 2
yang berkorespondensi dengan arus yang memiliki magnetuda I
dalam arah +z yang terdistribusi secara merata pada penampang
melintang dengan luas area a2.
Di luar konduktor
J H
I
I I
ar
z 2r
r r 2
a z 0
yang berarti bahwa arus hanya mengalir di
dalam konduktor
Kerapatan Fluksi Magnetik
dan Hukum Gauss
Kuat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan
(muatan yang bergerak) semata dan tidak bergantung pada
mediumnya
Medan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan fluksi
magnetik B yang diberikan oleh persamaan
B=H
di mana = 0r adalah permeabilitas medium
Satuan untuk B adalah tesla di mana
1T=1
N
Am
Permeabilitas ruang hampa, 0, memiliki nilai sebesar 4 x 10-7
dengan satuan henry per meter, H/m
Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif,.r yang
mendekati satu, sementara material magnetik (misalnya
besi,ferromagnetik) dapat memiliki r yang jauh lebih besar
daripada satu.
Fluksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaan
didefinisikan sebagai
B dS
S
Fluksi magnetik, , dapat bernilai positif atau negatif
bergantung pada pemilihan normal pada elemen permukaan dS.
Satuan untuk fluksi magnetik adalah weber, Wb.
1 T = 1 Wb/m2,
1 H = 1 Wb/A
Contoh Soal 4
Carilah fluksi yang memotong bagian
bidang datar = /4 dengan 0,01 < r < 0,05
m dan 0 < z < 2 m (lihat Gambar) di mana
sebuah filamen arus 2,50 A diletakkan
sepanjang sumbu z pada arah az!
Penyelesaian:
Kerapatan fluksi magnetik adalah B 0 H 0 I a
2r
Dari gambar
dS = drdza
Fluksi magnetik yang melewati bidang permukaan persegi panjang
adalah
2 0, 05
0 I
a d r d z a
2r
0 0, 01
2 0 I
0,05
ln
1,61106 W b 1,61W b
2
0,01
Garis-garis fluksi magnetik merupakan kurva tertutup, tanpa
titik awal dan titik akhir. Kurva seperti ini disebut sebagai
kurva solenoidal
Jadi medan B tidak memiliki sumber (source) ataupun sink, yang
secara matematis dinyatakan sebagai
B = 0
Catatan!
Persamaan (9) dikenal sebagai
hukum Gauss untuk medan
magnetik.
Permukaan tertutup dengan
kerapatan fluksi B.
Induktansi
rasio atau perbandingan fluksi magnetik lingkup terhadap arus
yang menghasilkan fluksi tersebut.
di mana :
N
L
I
N adalah jumlah lilitan kumparan
I adalah arus statis (atau arus dengan frekuensi rendah)
adalah fluksi yang melewati sebuah loop tunggal
Satuan L adalah henry di mana 1 H = 1 Wb/A.
L akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan dan
faktor geometri dengan satuan panjang.
Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai
L
I
di mana :
•
, fluksi lingkup, N untuk kumparan dengan lilitan sejumlah N
Fluksi lingkup untuk kumparan arus
Contoh Soal 5
Carilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksial
seperti Gambar dibawah ini!
Penyelesaian:
•
= konstan
Untuk daerah di antara konduktor, medan
magnetik dirumuskan sebagai
0I
I
B
a
a
2
r
2r
arus di kedua konduktor dilingkupi oleh
fluksi yang menembus permukaan =
konstan. Untuk panjang l =1 m.
H
•
1 b
0 a
0 I
I
b
drdz 0 ln
2r
2
a
induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial
0
b
L per meter
ln H / m
2
a
Gambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan dari
beberapa bentuk konduktor non-koaksial
0 N 2 a r2
L
ln H
2
r1
Toroida dengan penampang melintang persegi.
(dengan mengasumsikan nilai
kerapatan fluksi rata-rata
pada
jari-jari
rata-rata
sebesar r.)
0 N 2S
H
L
2r
r
Toroida dengan penampang S
S
L
0 N 2 S
H
Solenoida panjang dengan area penampang melintang S yang kecil.
L 0
d
H / m
cosh1
2a
untukd a,
l
L 0 d
ln H / m
a
d
Konduktor paralel dengan jari-jari a.
L 0
d
H / m
cosh1
2
2a
d
0 ln H / m
2
a
Konduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan
Hal-hal Penting untuk Diingat
Medan magnetik H dan B akan mengelilingi sebuah kawat
penghantar beraliran
arus I sesuai aturan tangan kanan.
Dalam medium isotropik, B = H.
Garis-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti bahwa
garis-garis tersebut merupakan kurva tertutup tanpa awal atau
pun akhir.
Untuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetik
total yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan
fluksi magnetik total yang meninggalkan permukaan tersebut.
Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetik
lingkup per satuan arus.
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1
Sebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang tak
berhingga membawa arus I. Carilah H pada setiap titik dengan hukum
Ampere!
Penyelesaian :
Hukum Biot-Savart menunjukkan bahwa H hanya
memiliki komponen . Lebih lanjut, H merupakan
fungsi dari r semata. Lintasan yang tepat untuk
hukum Ampere adalah lingkaran konsentris. Untuk
lintasan 1 yang ditunjukkan pada Gambar,
H d 2rH
I
Sedangkan untuk lintasan 2,
yang dilingkupi
0
Cangkang silindris yang
mengalirkan arus I.
H d 2rH I
Jadi, untuk titik di dalam cangkang silinder, H = 0 dan untuk
titik-titik diluarnya H = (I/2r)a A/m. Untuk r > a, medannya
adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.
Soal 2
2,39 10 6
H
cos a r
r
Medan radial
A/ m
terdapat pada suatu medium ruang hampa. Carilah fluksi magnetik, , yang
memotong permukaan -/4 /4, 0 z 1 m. Lihat Gambar!
Penyelesaian :
Kerapatan fluksi dalam medium ruang hampa adalah
B 0 H
3,00
cos a r
r
T
dan fluksi yang melewati permukaan dimaksud adalah
1
4
0
4
3,00
cos a r r ddzar 4,24 W b
r
Fluksi Magnetik yang
melewati bidang
permukaan silinder.
Soal 3
Carilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yang
diperlihatkan pada Gambar, di mana d = 25 kaki dan a = 0,803 inci!
Penyelesaian :
Dengan menggunakan rumus-rumus pada
L 0
d
2512
cos1
4 107 cos1
2,37 H / m
2a
20,803
l
Rumus pendekatan memberikan hasil
L 0 d
ln 2,37 H / m
a
untuk d/a 10, rumus pendekatan dapat digunakan
dengan kesalahan kurang dari 0,5%.
d
Konduktor paralel
dengan jari-jari a.
Soal 4
Asumsikan bahwa toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada
Gambar memiliki 700 lilitan, jari-jari dalam 1 cm, jari-jari luar 2 cm
dan tinggi a = 1,5 cm. Carilah L dengan menggunakan
(a) rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur
sangkar; (b) rumus pendekatan untuk toroida biasa, yang
mengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata!
Penyelesaian :
(a) Untuk penampang melintang bujur sangkar,
0 N 2 a r2
4 107 7002 0,015
L
ln
ln 2 1,02 mH
2
r1
2
r
S
(b) Dengan menggunakan rumus pendekatan dari Gambar
0 N 2S
4 107 7002 0,010,015
L
0,98 mH
2r
2 0,015
Toroida dengan
penampang S
dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luas
penampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil
perhitungan yang lebih mirip (lebih mendekati sama).