Transcript Conservazione del Momento Angolare

Urti e Momento Angolare
Urti e Momento Angolare
• Urti
– Urti Elastici
– Urti Anelastici
• Momento Angolare
• Conservazione del Momento Angolare
• Momento di Inerzia
Urti
L'urto è il termine fisico con cui si
identifica una collisione che avviene tra
due o più corpi rigidi nello spazio,
caratterizzato
dalla
presenza
di forze interne molto intense e di
breve durata (forze impulsive), mentre
le forze esterne sono trascurabili.
Poiché le forze esterne sono trascurabili il sistema in cui si
verifica l’urto si può considerare isolato.
In funzione del comportamento dei corpi durante e dopo l’urto
distinguiamo essenzialmente 2 tipi di urti:
 Urto Elastico
 Urto Anelastico
Urti
Urti Elastici
Nel 1666, alcuni membri della Royal Society di
Londra, durante una riunione assistettero ad un
esperimento. Due pesanti sfere di legno duro di
uguale grandezza furono sospese ciascuna
all'estremità di una corda formando due pendoli.
Lasciandone cadere una da una certa altezza,
essa urtava l'altra, che era inizialmente ferma.
Dopo l'urto, la prima sfera rimaneva praticamente ferma, mentre la seconda
raggiungeva quasi la stessa altezza da cui era partita la prima.
Il fisico tedesco Christian Huygens fece un'analisi dettagliata dell'intero
problema e spiegò il comportamento dei due pendoli come dovuto non solo
alla legge di conservazione della quantità di moto, ma anche ad
un'altra legge di conservazione. Egli affermò che non solo si conservava la
somma vettoriale dei prodotti mv, ma anche quella aritmetica mv2, cioè
valeva anche la conservazione dell’energia cinetica.
Questo tipo di urto fu definito urto elastico.
L’URTO ELASTICO è un urto in cui, oltre alla quantità di moto, si
conserva l'energia meccanica totale, in particolare l’energia cinetica.
Urti
Urti Elastici
Vediamo un esempio di urto elastico, come riportato in figura, e
determiniamo le velocità finali applicando i principi di conservazione
della quantità di moto e dell’energia cinetica:
m1  m2  m; v1I  v; v2I  0;









m1v1I  m2 v2 I  m1v1F  m2 v2 F  mv  m v1F  v2 F


1
1
1
1 2 1
1
2
2
2
2
2
2
m
v

m
v

m
v

m
v

m
v

m
v

v
1F
2F
 2 1 1I 2 2 2 I 2 1 1F 2 2 2 F
2
2


v1F  v  v2 F
 v1F  v  v2 F
 v  v1F  v2 F

 2
2
2
2  2
2
2
2
2  2
v

v

v
v

v

v

2
vv

v
v

v

v

v
1F
2F
2F
2F
2F
2F
2F




 v1F  v  v2 F
 2
2v2 F  2vv 2 F

 v1F  0

v2 F  v
Urti
Urti Anelastici
L’URTO ANELASTICO è un urto in cui si conserva la quantità di
moto ma non l'energia meccanica totale, in quanto l’energia cinetica
non si conserva.
Se i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere
considerati come un unico corpo (viaggiano insieme con la stessa
velocità) si ha a che fare con un URTO COMPLETAMENTE
ANELASTICO.
Consideriamo due corpi con masse e velocità diverse che si urtano in
modo completamente anelastico e determiniamo la velocità finale
applicando il principio di conservazione della quantità di moto:



m1v1  m2v2  m1  m2  vF


 m1v1  m2v2
 vF 
m1  m2 
Urti
Urti Anelastici
Vediamo un esempio di urto anelastico, come riportato in figura, e
applichiamo la formula per la determinazione della velocità finale:
m1  m2



v

v
;
v
I
2 0
1



 
 m1v1  m2v2
mvI
mvI vI
 vF 



m1  m2  m  m 2m 2
Osserviamo che in questo caso vale la conservazione della quantità
di moto ma non dell’energia cinetica, infatti:
1 2
ECI  m vI ;
2
 ECI  ECF
2
1 2 1  vI  1 2
EC F  m vF  m   m vI ;
2
2 2 8
Momento Angolare
È un dato di fatto che un pattinatore che
ruota su sé stesso per aumentare la sua
velocità di rotazione raccoglie le braccia
intorno al corpo, analogamente un
tuffatore raccoglie braccia e gambe
intorno al corpo per aumentare la sua
velocità di rotazione, e le allarga, come al
momento del suo ingresso in acqua, per
ridurla.
In questi esempi, intervengono sempre le seguenti grandezze
fisiche:
• la quantità di massa in rotazione;
• la velocità tangenziale (o la velocità angolare w) del corpo o
dell'insieme di corpi in rotazione intorno a un asse;
• il raggio di rotazione, ovvero la distanza della massa in
rotazione dal suo asse di rotazione.
Momento Angolare
Per questi motivi è utile introdurre una nuova grandezza che tenga
in considerazione i fattori sopra elencati, chiamata momento
angolare o momento della quantità di moto, atta a descrivere il moto
dei corpi in movimento rotatorio.
Momento Angolare
Il MOMENTO ANGOLARE (o momento della quantità di moto) di un
corpo di massa m in moto circolare su una circonferenza di raggio r,
con velocità tangenziale v, è dato dal prodotto fra massa, velocità e
raggio:
  
 
L  q  r  m  v  r  L  q  r  mv r  m  r  r  m r 2
Il Momento Angolare è una grandezza vettoriale e la sua unità di misura, nel
S.I., è il prodotto delle unità di misura di massa, velocità e raggio: kg·m2/s.
In un moto circolare uniforme il momento della
quantità di moto è costante, perché sono
costanti sia il raggio sia il modulo della velocità.
Ciò accade, per esempio, a un pianeta o a un
satellite che ruota su un'orbita circolare.
Conservazione del Momento Angolare
È da notare la similitudine tra il momento della forza ed il
momento della quantità di moto:
Momento della
M  F  r;
L  q  r;
Momento della forza
quantità di moto
Il momento di una forza è la causa della variazione del momento
angolare di un corpo o di un sistema di corpi:
M
L
t
Che rappresenta l’equazione del moto rotatorio
Conservazione del Momento Angolare
Da ciò segue:
LEGGE DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
Se il momento risultante delle forze agenti su un sistema di corpi
è nullo, il momento angolare del sistema si conserva:
L
M 0 
 0  L  0  L costante
t
Momento di Inerzia
Il prodotto fra la massa e la distanza dall’asse di rotazione si
definisce MOMENTO DI INERZIA del corpo e rappresenta
l'inerzia del corpo nel moto circolare, cioè quella "tendenza“ del
corpo a mantenere il suo stato di moto circolare uniforme
intorno a un asse, analoga alla "tendenza" di un corpo a
mantenere lo stato di moto rettilineo uniforme.
I  mr2  L  m r 2  I
Il momento di inerzia è una grandezza scalare e la sua unità di misura,
nel S.I., è kg·m2.
Se si conserva il momento angolare, cioè L è costante, velocità
angolare e momento di inerzia sono inversamente proporzionali:
se il momento di inerzia diminuisce aumenta proporzionalmente la
velocità angolare del corpo, e viceversa.
Regola della mano destra