Transcript Mineralogia - Simmetrie 2

Simmetria
Traslazioni (Lattices)
Proprietà a scala atomica, non della forma
cristallina
Traslazioni simmetriche riguardano distanze
ripetute
L’origine è arbitraria
Traslazione 1-D = un filare
Simmetria
Traslazioni (Lattices)
Proprietà a scala atomica, non della forma
cristallina
Traslazioni simmetriche riguardano distanze
ripetute
L’origine è arbitraria
Traslazione 1-D = un filare
a

a è il vettore che si ripete
Simmetria
Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una maglia
a
b
Simmetria
Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una maglia
a
b
Cella unitaria
Cella unitaria: L’unità base che, ripetuta solo per traslazione, genera l’intero pattern
Come si differenzia dal motivo ??
Simmetria
Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una maglia
b
a
Scegliere un punto qualsiasi
Ogni punto a esattamente n ripetizioni da quel punto è un equipunto rispetto all’originale
Traslazioni
Esercizio: Stampe di Escher
1. Qual’è il motivo ?
2. Scegliere un punto qualsiasi e marcarlo con un segno
nero
3. Segnare gli equipunti nello stesso modo
4. Evidenziare la cella unitaria basata sugli equipunti
5. Qual’è il contenuto della cella unitaria (Z) ??
Z = numero di motivi per cella unitaria
Z è sempre un numero intero ?
Traslazioni
Quale cella unitaria è
corretta ??
Convenzioni:
1. I bordi delle celle
dovrebbero,
quando
possibile,
coincidere
con assi di simmetria o
piano di simmetria
2. Se possibile, I bordi
dovrebbero essere in
relazione con simmetrie
traslazionali.
3. La cella più piccola
(cella
ridotta)
che
soddisfa I requisiti 1 e 2
dovrebbe essere scelta
Traslazioni
The lattice and point group symmetry interrelate, because
both are properties of the overall symmetry pattern
6
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Traslazioni
The lattice and point group symmetry interrelate, because
both are properties of the overall symmetry pattern
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Buona scelta di cella unitaria. Perchè? Quant’è Z?
Ci sono altri elementi di simmetria ?
6
9
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Traslazioni
The lattice and point group symmetry interrelate, because
both are properties of the overall symmetry pattern
Questo spiega perchè assi di simmetria 5-fold e > 6-fold
non esistono nei cristalli
Traslazioni
Vediamo ora nuovi operatori di simmetria 2-D,
considerando le traslazioni
Lo Slittopiano:
Una combinazione di riflessione
ripeti
e traslazione
Passo 2: traslazione
Passo 1: riflessione
(posizione temporanea)
Traslazioni
Vi sono 5 uniche maglie 2-D.
Tipi di traslazioni 2-D
vettori
angoli
Simmetria del Gruppo
Puntuale compatibile*
Obliqua
a¹b
g ¹ 90o
1, 2
Quadrata
a=b
g = 90o
4, 2, m, 1, (g)
Esagonale
a=b
g = 120o
3, 6, 2, m, 1, (g)
Maglia
Rettangolare
a¹b
g = 90o
Primitiva (P)
Centrata (C)
* ogni rotazione implica anche una rotoinversione
2, m, 1, (g)
Traslazioni
Vi sono 5 uniche maglie 2-D.
Maglia obliqua
Maglia rombica
Maglia rettangolare P
a¹ b
g ¹90o
a¹ b
g = 90o
a= b
g ¹ 90o, 120o, 60o
Maglia rettangolare C
Maglia quadrata
Maglia esagonale
a1 = a2
g = 90o
a1 = a2
g = 60o
a¹ b
g = 90o
b
b
a
a
a2
b
g
g
a
g
a
g
g
a2
p2
p2mm
a1
a1
p2mm
p6mm
p4mm
Ci sono anche 17 Gruppi Planari 2-D che combinano la traslazione con
operazioni di simmetria compatibili. La parte di sotto dell’immagine riporta
esempidi gruppi Planari che corrispondonoa ciascun tipo di maglia
Simmetria dei Gruppi Planari
Combina le traslazioni ed i gruppi puntuali
Simmetria dei Gruppi Planari
p222
p3
p4gm
Tridimite: Cella ortorombica C
Traslazioni 3-D e Lattices

Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari

In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D
gruppi puntuali (o classi cristalline)

32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie
Traslazioni 3-D e Lattices

Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari

In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D
gruppi puntuali (o classi cristalline)
+c
32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie

Tipologie 3-D Lattice
Nome
assi
angoli
Triclino
a¹b¹c
a¹b¹g ¹ 90
Monoclino
a¹b¹c
a=g = 90o b¹90o
Ortorombico
a¹b¹c
a=b=g = 90o
Tetragonale
Esagonale
a1 = a2 ¹ c
a=b=g = 90
a1 = a2 = a3 ¹ c
b = 90o g=120o
a1 = a2 = a3
a=b=g ¹90o
a1 = a2 = a3
a=b=g = 90
Esagonale (4 assi)
Romboedrico
Cubico
o
+a
b
g
a
o
o
+b
Convenzione :
“legge della mano destra”
c
c
c
b
a
b
b
P
P
a I
Monoclino
a=g =90o ¹b
a ¹b ¹c
a
Triclino
a¹b¹g
a ¹b ¹c
c
a
b
P
C
F
Ortorombico
a=b =g =90o a ¹b ¹c
I
=C
c
c
a2
a1
a2
P
a1
I
Tetragonale
a=b =g =90o a1 = a2 ¹c
P or C
R
Esagonale
Romboedrico
a=b =90o g = 120o a=b =g¹90o
a1 = a2 = a3
a1 = a2 ¹c
a3
a2
a1
P
F
I
Cubico
a=b =g =90o a1 = a2 = a3
Traslazioni 3-D e Lattices
Triclino:
No symmetry constraints.
Nessun motivo per scegliere C quando si può scegliere P
Per convenzione, tutti i mineralogisti fanno lo stesso
Ortorombico:
Perchè C e non A o B?
Se ho A o B, semplicemente rinominare gli assi  C
Traslazioni 3-D e Lattices
Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioni
2/3 0
1
0 2/3 = altezza verso l’osservatore
Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?
Traslazioni 3-D e Lattices
Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioni
2/3 0
1
0 2/3 = altezza verso l’osservatore
Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?
1
2/3
1/3
0
Traslazioni 3-D e Lattices
= 0, 1, 2...
= 0.5, 1.5, 2.5 ...
Cos’è questa?
= Cella I cubica o tetragonale (dipende dalla scala verticale)
Traslazioni 3-D e Lattices
= 0, 1, 2...
= 0.5, 1.5, 2.5 ...
Cos’è questa?
Non è possibile. Perchè ?
Non è una cella.
Traslazioni 3-D e Lattices
b
= 0, 1, 2...
a
La cella tetragonale riporta solo P e I, ma questa è C
Perchè C non viene riportata ?
E’ una cella tetragonale valida ?
Si.
Traslazioni 3-D e Lattices
b
= 0, 1, 2...
a
Possiamo scegliere una cella P primitiva dallo stesso pattern
C e P sono equivalenti
Per convenzione, scegliamo P
Tetragonale A? B?
The others work the same way:
Exclusions are either incompatible with the system or
equivalent to one of the types listed
Traslazioni 3-D e Lattices
You can read conventions for axial choices for each system
on pages 64 - 100 of your text
Gruppi Spaziali 3-D
Come per i 7 2-D Gruppi Planari, le simmetrie dei gruppi
puntuali 3-D possono essere combinate con le traslazioni
per creare i 230 Gruppi Spaziali
Anche in 2-D ci sono nuovi elementi di simmetria che
combinano la traslazione con altre operazioni
Slittopiani: Riflessione + traslazione
4 tipi. Fig. 3.24 in Klein e Hurlbut
Elicogire: Rotazione + traslazione
Fig. 3.22 in Klein e Hurlbut