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Un manipolatore è costituito da un insieme di corpi rigidi (bracci) connessi in cascata tramite coppie cinematiche (giunti) a formare una catena cinematica in cui un estremo è connesso con una base ed all’altro è connesso un organo terminale (di presa od utensile per le operazioni e la manipolazione) I giunti possono essere: • di rotazione o rotoidali • di traslazione o prismatici M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Definizione: GIUNTO Grado mobilità Variabile di giunto Obiettivo della cinematica diretta è la determinazione di posizione ed orientamento dell’organo terminale in funzione dei valori assunti dalle variabili di giunto M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Abbiamo visto che la posa di un corpo rispetto ad una terna di riferimento è caratterizzata dal vettore posizione dell’origine e dai versori della terna solidale al corpo stesso ‘visti’ dalla terna di riferimento Dunque la funzione cinematica diretta può essere espressa dalla matrice di trasformazione omogenea: In cui: Terna utensile • q è il vettore delle variabili di giunto • ne se ae sono i versori della terna solidale all’organo terminale (riferiti alla terna base: apice b) Terna base • pe è il vettore posizione dell’origine della terna solidale all’organo terminale (riferito alla terna base: apice b) M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA L’origine della terna utensile si pone al centro della pinza Il versore ae (approccio) si sceglie nella direzione di avvicinamento, rappresenta l’asse z Il versore se (scivolamento) si sceglie nella direzione di scorrimento degli elementi prensili , rappresenta l’asse y Il versore ne (normale) si sceglie normale agli altri due in modo da rendere la terna levogira , rappresenta l’asse x M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Una modalità per il calcolo della cinematica diretta consiste nella soluzione geometrica della struttura del manipolatore assegnato Nel caso della struttura planare a due giunti, mediante le regole della trigonometria si ottiene: Convenzione: s1 sin1 s12 sin1 2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio di soluzione della CINEMATICA DIRETTA … l’efficacia dell’approccio appena visto si fonda sulla scelta oculata delle grandezze di interesse e dall’abilità ed intuizione geometrica dell’analista Ma quando la struttura del manipolatore è complessa ed il numero dei giunti è elevato si rende preferibile l’adozione di una procedura sistematica e generale Tale procedura esiste nel caso di manipolatori a catena cinematica aperta: considerando separatamente il problema della descrizione dei legami cinematici (e della descrizione relativa delle coordinate) e risolvendo in maniera ricorsiva il problema della descrizione complessiva della cinematica del manipolatore M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA Dunque si definisce una terna solidale ad ogni braccio per cui la trasformazione di coordinate complessiva è: Tale calcolo risulta essere ricorsivo ed ottenuto mediante semplici moltiplicazioni tra matrici (seguendo la regola della moltiplicazione da dx verso sx della trasformazione di coordinate) di cui ognuna risulta essere funzione di una singola variabile di giunto Se S1 S2 Sb T A 1 A 2 A b e b 1 1 2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA 2 e Reb R1b 1 R21 2 Re2 PROVATE A DETERMINARE LA ROTAZIONE DELLA CINEMATICA DIRETTA MEDIANTE COMPOSIZIONE DI MATRICI DI TRASFORMAZIONE DI COORDINATE OMOGENEE z Se y x S1 y y x Sb S2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA Reb R1b 1 R21 2 Re2 c1 b Re s1 0 s1 s2 0 c2 0 s2 1 0 z c1 0 c2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 Se y x S1 y y x Sb S2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA c1 s1 0 c2 s2 0 0 0 1 TRebeb s1 c1 0 s2 c2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 c1 s1 0 0 s2 c2 s1 c1 0 0 c2 s2 0 0 0 1 1 0 0 c1 s2 c2 s1 s1 s2 c2 c1 0 s1 s2 c2 c1 c1 s2 c2 s1 0 0 1 0 s12 c12 = 0 c12 s12 0 1 0 (vista prima) M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA Allo scopo di estendere la generalizzazione anche alla scelta delle terne solidali ai bracci si perviene al metodo di DenavitHartenberg La convenzione prevede la seguente procedura: 1. si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1 2. si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della normale comune con zi-1 3. si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso positivo del giunto i al giunto i+1 4. si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg 1. si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Oi Oi’ 2. si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della normale comune con zi-1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Oi Oi’ 3. si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso positivo del giunto i al giunto i+1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Oi Oi’ 4. si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg La terna risulta non essere univocamente determinata nei seguenti casi: • per la terna 0 (non esistendo la -1) solo la direzione di z0 risulta specificata: si possono scegliere arbitrariamente O0 ed x0 • quando due assi consecutivi sono paralleli • quando due assi consecutivi si intersecano xi risulta arbitrario • quando il giunto i è prismatico solo la direzione dell’asse zi-1 è specificata (lungo la direzione di scorrimento del giunto) In tali casi l’indeterminazione non risulta essere un problema, bensì può essere sfruttata per semplificare la procedura (ad esempio nel caso di allineamento delle terne consecutive) M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Una volta definite le terne solidali ai bracci la posizione e l’orientamento della terna i rispetto alla i-1 risultano specificate dai seguenti parametri: • ai distanza di Oi da Oi’ • di coordinata su zi-1 di Oi’ • i angolo intorno all’asse xi tra l’asse zi-1 e l’asse zi • i angolo intorno all’asse zi-1 tra l’asse xi-1 e l’asse xi M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Dei quattro parametri due (ai e i) sono sempre costanti e dipendono dalla geometria di connessione dei giunti consecutivi Degli altri due uno soltanto è variabile in dipendenza del tipo di giunto utilizzato per connettere il braccio i-1 al braccio i • se il giunto è prismatico la variabile è di • se il giunto è rotoidale la variabile è i M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg A questo punto si è in grado di esprimere la trasformazione di coordinate che lega la terna i alla terna i-1: 1. si parte dalla terna i-1 traslando la terna di di lungo l’asse zi-1 ruotandola di i intorno all’asse zi-1 Questa operazione porta la terna i-1 a sovrapporsi alla terna i’ ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea: M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg 2. si trasla la terna i’ di ai lungo l’asse xi’ ruotandola di i intorno all’asse xi’ Questa operazione porta la terna i’ a sovrapporsi alla terna i ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea: M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Essendo le due roto-traslazioni definite su terna corrente la composizione prevede la moltiplicazione da sx verso dx: Per cui la trasformazione di coordinate complessiva è: M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg 1 angolo intorno all’asse x1 tra l’asse z0 e l’asse z1 x 1 S0 y La terna 0 è stata scelta con origine all’intersezione di z0 e z1 z1 e z2 sono paralleli per cui x2 è stato scelto empiricamente lungo la direzione del secondo braccio Stessa cosa per x3 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo Le matrici di trasformazione omogenea risultano: ( i d i 0) (a1 d1 0 1 90) q 1 , 2 , 3 T NOTA: z3 per semplicità è stato scelto parallelo a z2 e quindi in contrasto con la convenzione della terna utensile, per rispettare la quale occorrerebbe introdurre una ulteriore matrice di trasformazione M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo Nello specificare il compito da far eseguire all’organo terminale del manipolatore si assegna posizione ed orientamento della terna utensile in termini di: • Traiettoria: posa in funzione del tempo • Percorso: insieme dei punti di passaggio Ricorrendo ad una rappresentazione minima la posa può essere espressa ad esempio tramite posizione ed angoli di eulero : il vettore x posa appartiene allo Spazio Operativo, il vettore delle variabili di giunto q appartiene allo Spazio dei Giunti (la lunghezza del vettore determina i gradi di mobilità ) La postura è funzione delle variabili di giunto per cui l’equazione cinematica diretta può scriversi come x = k(q) Tale funzione non è sempre esprimibile in maniera analitica tranne che in casi semplici M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Spazio dei Giunti e Spazio Operativo Con tre variabili di giunto si possono specificare indipendentemente al più tre variabili nello spazio operativo Nel caso in cui l’orientamento non interessa si ha x = [px py] e vi è quindi ridondanza cinematica di gradi di mobilità rispetto al compito di puro posizionamento dell’organo terminale M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Spazio dei Giunti e Spazio Operativo Esempi di utilità della ridondanza: • obstacle avoidance • minimizzazione dell’energia • minimizzazione della perturbazione della base nel caso di robot free-floating • incremento della destrezza Un manipolatore viene detto ridondante da un punto di vista cinematico quando possiede un numero di gradi di mobilità maggiore alla dimensione dello spazio operativo. Tale concetto è relativo al compito da svolgere Nel caso del manipolatore planare a tre gradi di mobilità se il compito da svolgere è il taglio laser di una lamina planare esso risulta ridondante, nel caso in cui il compito sia la presa di un oggetto non circolare la ridondanza decade. Oltre alla posizione in questo caso deve essere controllata anche l’orientazione. M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Ridondanza Cinematica Lo spazio di lavoro raggiungibile di un manipolatore è la regione descritta dall’origine della terna utensile quando ai giunti si fanno eseguire tutti i moti possibili Lo spazio di lavoro destro di un manipolatore è la regione della terna utensile che può essere raggiunta con tutte le orientazioni possibili. È un sotto-insieme dello spazio di lavoro raggiungibile lo spazio di lavoro è determinato dalla geometria del manipolatore e dai fine-corsa meccanici imposti sui giunti per motivazioni meccaniche Per un manipolatore ad n gradi di mobilità lo spazio di lavoro è il luogo geometrico dei punti P ottenibili considerando l’equazione cinematica diretta per la sola posizione: Essendo i giunti di articolazione di tipo rotoidale e/o prismatico si dimostra che la superficie che racchiude lo spazio di lavoro raggiungibile è costituita da elementi di superficie planare, sferica, toroidale e cilindrica Tale superficie è fondamentale per una analisi preliminare dei compiti ed applicazioni del manipolatore M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Spazio di lavoro M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion