Transcript 基础篇B4

B4 积分形式的基本方程
B4
积分形式的基本方程
输运公式
伯努利方程
连续性方程
固
定
控
制
体
运
动
控
制
体
动量方程
固
定
控
制
体
系统导数
动量矩方程
匀
速
运
动
控
制
体
固
定
控
制
体
旋
转
控
制
体
能量方程
固
定
控
制
体
B4 积分形式的基本方程
B4.1
流体方程的随体导数
系统广延量
N sys t    d
控制体广延量
NCV t    d

CV
• 输运公式
DN sys
Dt
①


d    v  ndA

CV
CS
t
②
③
①系统广延量的导数，称为系统导数。
②控制体广延量随时间变化率,
称为当地变化率 ；当流场定常时为零。
③通过控制面净流出的广延量流量,
称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。
• 输运公式计算取决于控制体(面)的选择
B4 积分形式的基本方程
B4.2
积分形式的连续性方程
输运公式可用于任何分布函数 η ，如密度分布、动量分布、能
量分布等。
令 η  ρ ，由系统的质量不变可得连续性方程
 ρdτ  ρ vn dA  0

t CV
CS
B4.2.1
固体的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为

d
 ρ( vn )dA   
CS
CV t
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量
随时间的减少率。
B4.2 积分形式的连续性方程
B4.2.1
固体的控制体（续）
1.沿流管的定常流动
设出入口截面上的质流量大小为
m  VA
• 一般式
m out  m i n
• 有多个出入口  ( VA)out   ( VA)in
2.沿流管的不可压缩流动
设出入口截面上的体积流量大小为
• 一般式
• 有多个出入口
Qout  Qin
 (VA)
Q  VA
out   (VA)in
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知:
所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm,
d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1,
Q 5= 0.78Q1
求：
Q2 及各管的平均速度
解：
取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
 Qout   Qin
可得
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 l / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
各管的平均速度为
4Q1 4  6 1000
V1 

 20.4cm/s
2
2
π d1 π  2.5  60
V2  4Q22  4 0.6621000 11.6cm/s
π 1.1  60
π d2
V3 
4Q3 4 0.07 61000

18.2cm/s
2
2
π d3
π  0.7  60
V4 
4Q4 4 0.04 61000

 8.0 cm/s
2
2
π d4
π  0.8  60
V5 
4Q5 4 0.78 61000

 24.8cm/s
π d52
π  2.02  60
B4 积分形式的连续性方程
B4.2.2
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度
改成相对速度vr

 d    (v r  n)dA  0

CS
t CV
对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时
上式中
( Vr A)out  ( Vr A)in
ρ r 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。
，v
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
已知:
不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓
线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。
求：
充分发展流动的速度廓线表达式
解：
设充分发展流动的速度廓线为
U
R
指数形式
u  um(1 r )n
R
(n  1,2)
(a)
式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.
由连续性方程:
R
r )n 2π rdr
U
d
A

u
(1

m
A
0
R
(b)式左端=πR
2U,
2π um (1)n R r(r  R)n dr
(b)式右端=
0
Rn
(b)
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化
由积分公式可得
R
0
r (r  R) n dr 
R
1 R
1 
n 1
n 1 R
n 1

r
d(
r

R
)

r
(
r

R
)

(
r

R
)
d
r
0

0
n  1 0
n  1 
1
(1) n 2 R n 2
n2 R

(r  R)

0
(n  1)( n  2)
(n  1)( n  2)
由(b)式可得
2π um (1) 2n 2 R 2
πR U 
(n  1)( n  2)
2
um 
取 n=1/7时
或
(n  1)( n  2)
U
2
1
1
(  1)(  2)
8 15
7
um  7
U
U  1.224U
2
2 7 7
U = 0.8167 u m
B4 积分形式的基本方程
B4.3
伯努利方程及其应用
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义
伯努利方程的推导：
由一维欧拉运动方程沿流线积分
伯努利方程的限制条件：
(1) 无粘性流体
(2) 不可压缩流体
(3) 定常流动
(4) 沿流线成立
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.2
沿总流的伯努利方程
1. 单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒
v2
p
  dn  gz   常数(沿流线法线方向)
R
ρ
惯性离心力做功
重力势能
压强势能
当流线曲率半径 R  ，变为 gz 
p

 常数，符合静力学规律。
2. 沿总流的伯努利方程
沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
V 2
2
 gz 
p

 常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度，
 为动能修正因子（通常取   1）
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
[例B4.3.1] 毕托测速管
已知:
设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中
液体密度ρm .
求：
解：
用液位差Δh表示流速v
设流动符合不可压缩无粘性流体
定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
流线AO段列伯努利方程
p0
v2
p v02
 gz A  
 g z0 
2
 2

(a)
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0  p 
1 2
pv
2
(b)
[例B4.3.1] 毕托测速管
1 2
v 称为动压强,p0称为总压强
2
1 2
v  p 0  p
2
AB的位置差可忽略
(c)
1 2 p vB2 pB
v   
2
 2 
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
由(c) , (d)式可得
1 2
(  m   ) gh  k v
2
(d)
p0  p  (  m   ) gh
(e)
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
m
v  k(
 1) 2 gh

B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.3
伯努利方程的水力学意义
1. 沿流线的水头形式
v2
p
z
 H  常数
2g
ρg
v2
2g
z
p

H
(沿流线)
速度水头
位置水头
压强水头
测压管水头
总水头
2. 沿流束的水头形式
α1V12
p1 α2V22
p2
 z1 

 z2 
2g
ρg
2g
ρg
(沿流束)
[例B4.3.2]
已知:
求：
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.
(1)出流速度v
(2)出流流量Q
解： (1)设流动符合不可压缩无粘性
流体定常流动条件.
从自由液面上任选一点1画一条
流线到小孔2，并列伯努利方程
v12
p1 v22
p2
 gz1 

 gz 2 
2

2

(a)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强
p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得
v  v2  2 g ( z1  z 2 )  2 gh
(b)
讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为
零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭
缝出流。
(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
Ae

A
(c)
小孔出流量
Q  vAe  vA  A 2 gh
(d)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关：
锐角边ε= 0.61,
内伸管ε= 0.5,
流线型圆弧边ε=1.0.
实际孔口出流应乘上一修正系数 k < 1
Q  kA 2 gh  A 2 gh
(e)
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h)
应考虑速度不均匀分布的影响。
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.4
不定常伯努利方程
沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程
v
v2
p
ds


gz

 常数
 t 2

沿流线从位置1积分到位置2
2 v
v1
p1 v2
p2
 gz1  
 gz2   
ds
1
2

2

t
2
2
(沿流束)
不定常惯性力作功
沿流束的水头形式
α1V12
p1 α2V22
p2 1 2 V
 z1 

 z2 
 
dl
1
2g
ρg
2g
ρg g t
(沿流束)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
已知:
文德利管如图所示
求：
管内流量Q
解：
设流动符合不可压缩无粘性流体定常
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ.设
1   2  1
由一维平均流动伯努利方程
V12
p1 V22
p
 gz1 

 gz 2  2
2

2

(a)
移项可得
V22  V12
p1
p2
 ( gz1  )  ( gz 2  )
2


(b)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1 
p1
gz 2 
p2


 gz3 
 gz 4 
p3

p4

(c)
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p4  p5   m gh  p3   m gh
及
z 4  z5  h  z3  h
将上两式代入(d)式可得
gz 2 
p2

 g ( z 3  h) 
p3   m gh

(e)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
由连续性方程

V22  V12
 ( m  1) gh
2

A
V2  1 V1
A2
V1   2 gh
代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为
上式中
 (  m / g )  1 


2
(
A
/
A
)

1
 1 2

(f)
2
μ称为流速系数，文德利管的流量公式为
Q  A1 2 gh
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2，
且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不
影响应用伯努利方程。
B4
积分形式的基本方程
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
设η=ρv,流体系统动量
I sys   ρvdτ
sys
由牛顿第二定律
dI sys
dt

d
ρvdτ   F

sys
dt
∑F为作用在流体系统上的所有外力之合力
B4.4.1
固定的控制体
固定不变形的控制体CV,控制面为CS
由输运公式可得
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
对固定控制体的流体动量方程为

CV
 vd   v( v  n)dA
CS
 F
v为绝对速度。定常流动时

CS
 v (v  n)dA   F
上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝
从控制面上净流出的动量流量
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
1. 沿流管的定常流动
CS = 流管侧面 + A1 + A2

CS
 v (v  n)dA
 (

)  v (v  n)dA
 (

)vdm
A2
A2
A1
A1
  2V2 m 2  1V1m 1
通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程
m 2  m 1  m
可得一维定常流动动量方程
m (V2  V1 )   F
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
2. 具有多个一维出入口的控制体
 (m V )
i
注意:
i out
  (m iVi )in   F
(1) 控制体的选取
(2) V2 或 Vout 代表流出平均速度矢量
V1 或 Vin 代表流入平均速度矢量
(3) 动量方程中的负号是方程本身具有的,
Vout 和Vin 在坐标轴上投影式的正负与
坐标系选择有关
(4)  F 包含所有外力(大气压强见例B4.4.1).
[例B4.4.1A]
已知:
主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均与例B4.2.1相同,设血液
的密度为ρ=1055 kg/m3
求：
从控制体净流出的动量流量 ( m V )
解：
建立坐标系oxy 如图所示
(m Vi )out   (miVi )out  (miVi )in
 (m 2V2  m 3V3  m 4V4  m 5V5 )  m 1V1
 ρ(Q2V2  Q3V3  Q4V4  Q5V5 ) - ρQ1V1
 ρQ1(0.11V2  0.07V3  0.04V4  0.78V5  V1 )
[例B4.4.1A]
主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程
净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为
Δ(mV) x =ρQ1 (－0.11V2 sin16°+ 0.07V3 sin6°+ 0.04V4 sin23°)
=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045
+0.04×8×0.3907)×10-2
= -1×10 – 4 N
Δ(mV)y=ρQ1 (0.11V2 cos16°+ 0.07V3 cos6°+ 0.04 V4 cos23°-0.78V5-V1 )
= 0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945
+0.04×8×0.9205 -0.78×24.8-20.4)×10 - 2
= - 0.039 N
讨论：计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主
动脉弓壁的冲击力很小。
[例B4.4.1B]
已知:
弯曲喷管受力分析：压强合力的影响
设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,
Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，
求：
(1)水流对喷管的作用力F 的表达式
(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力
解：1. 只包含水流的控制体
2.建立如图所示坐标系oxy。
3.由一维不可压缩流体连续性方程
Q 4Q 4(0.02m3 / s)
V0 
 2 
 3.14m / s
2
A0 d 0 3.14(0.09m)
d 02
81
V3  V0 2  (3.144m / s)  28.29m / s
d3
4
m  Q
4.由伯努利方程
v02 p0 v32 p3

 
2 
2 
因p3=0, p0=395332.85pa
5.由一维定常流动动量方程
m (Vout  Vin )   F
设水对喷管的作用力F如图所示。
本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力－F 和压强合力。
作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向
沿x轴正向；出口截面压强为零：
 F  F  p A i
0
(1)F的表达式为
0
F  p0 A0 i  Q(V3  V0 )
(2)设θ=30°,F在x ,y 方向的分量式为
Fx  p0 A0  ρθ V3cosθ  V0 
 395232.3  0.00636 103  0.02  28.29cos30  3.14 
 2514.3  427.22  2081.7 N
压强合力 动量变化
Fy   ρQ V3 sinθ   ρQV3 sinθ
 103  0.02  28.29  sin 30   282.9N
讨论：(1) 一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。
(2)力F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。
若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F
大小相等，方向相反。
(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的
动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,
仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化
占的比例在θ= 83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25% .
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
B4.4.2
匀速运动控制体
坐标系固定在匀速运动的控制体上
  vr (vr 是相对速度),输运公式为

 v r d   v r ( v r  n)dA  F

CV
CS
t
F为作用在控制体上的合外力
定常时

CS
vr ( vr  n)dA  F
有多个一维出入口时
 r vr )out  (m
 r vr )in  F
(m
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
B4.5 积分形式的动量矩方程
B4.5.1 固定的控制体
按动量矩定律和输运公式，设 v为绝对速度，
 M为合外力矩，有

 (r  v)d    (r  v)( v  n)dA  M

CV
CS
t
1．对定轴定常旋转流场，外力矩仅考虑轴距 Ts ，动量矩方程为

CS
 (r  v)( v  n)dA  Ts
2. 欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）
m (r2Vθ2 - r1Vθ1 )  Ts
• 对定类机械 Ts  0 ，对涡轮机类机械 Ts 0
• 轴功率W s  Ts 表达式
m (U 2V 2  U 2V 1 )  W s
[例B4.5.1]
已知:
混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2= 100 mm，b = 10 mm,
n = 4000转/分，vr2= 3 m/s。
求：
(1)输入轴矩Ts
CV
(2)输入轴功率 W s (W )
解：
取包围整个叶轮的固定控制
体CV，忽略体积力和表面力。
设流动是定常的，由连续性方程可得
m 1  m 2   d 2 bVr 2  10 3    0.01  3  9.425(kg/s)
[例B4.5.1]
混流式离心泵：固定控制体动量矩方程
叶轮旋转角速度为
ω= 2πn / 60 = 2π×4000 / 60 = 418.88 (1/s )
出口切向速度为
Vθ2 = ωR 2 =ωd 2 /2= 418.88×0.1/ 2= 20.94 (m / s)
Vθ1= 0,由欧拉涡轮机方程
Ts  (r2V 2  r1V 1 )m 
d1
0.1
V 2 m 
 20.94  9.425  9.86 ( N-m)
2
2
输入功率为
Ws   (r2V 2  r1V 2 )m  ω Ts  418.88  9.86  4.13 (kw)
B4.5
动量矩方程及其应用
B4.5.2
旋转的控制体
当控制体固结于匀速旋转的转子上时(忽略重力和表面力)，动量
矩方程为
CS  (r  vr )(vr  n)  dA  Ts  CV  r [ω  (ω  r )  2(ω  vr )]d
式中 vr 为相对速度
向心加速度
柯氏加速度
ac  ω  (ω  r )
ac  2ω Vr
惯性力
[例B4.5.2]
已知:
洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
洒水器示意图。R = 0.15m ,喷口A = 40mm2,θ=30°,Q =1200 ml / s ，
不计阻力。
求：
(1) Ts= 0时，旋转角速度ω(1/s）；
(2) n=400转/分的轴矩Ts 和轴功率 W s (W )
解：
取包围整个洒水器的控制体CV，就整个
控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的
(r  v) ρ dτ  dL k
对圆心取动量矩，当地变化率为零

ρ(r  v)dτ  0

CV
t
不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出
口的定常流动处理。
[例B4.5.2]
洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
设喷口流体的绝对速度为V，牵连速度为U 及相对速度为Vr
Vθ  U  Vr cosθ
Vr  Vr1  Vr2 
m 1  m 2 
U  R
Q
 15 m/s
2A
1
ρQ  0.5  10 3  1200  10 -6  0.6kg/s
2
(1)设Ts＝0 , Vθ1 = 0 , 由多出口动量矩方程:
RU  Vr cosθ Q  0
U  Vr cosθ  ω R  Vr cosθ  0
ω
Vr
15
cosθ 
cos30  86.6 (1/s)
R
0.15
[例B4.5.2]
洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程
ω
Vr
15
cosθ 
cos30  86.6 (1/s)
R
0.15
讨论： 无摩擦轴矩时洒水器的转速是有限值，
与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。
角速度与喷口偏转角ω-θ的关系如图示。
(2)当n=400转/分时
ω=400×2π/60 = 41.89 (1/s)
Ts  (rV )out  R( R  Vr cos )  Q
= 0.15×(41.89×0.15-15×cos30°)×1.2 = -1.21 (N – m )
W s  Ts ω  1.21  41.89  50.5 (W)
B4.6
能量方程
B4.6 能量方程
B4.6.1 固定控制体
按热力学第二定律和输运公式，能量方程为

  W

e
d



e
(
v

n
)
dA

Q
s
s
CS
t CV
es 为单位质量流体储存能 es  e  v 2 / 2  gz
Q 为外界输入控制体的传热率；
W 为控制体内流体对外所做功率
W   p(v  n)dA  W v  W s
CS
压强功率 轴功率 粘性力功率
一维定常流形式（  1）

V2
p
V2
p   

m(e 
 gz  ) out  (e 
 gz  )in   Q  Ws  Wv
2

2
 

B4
积分形式的基本方程
B4.6.2
能量方程与伯努利方程的比较
单位质量流体一维定常流动能量方程
V2
p
V2
p
(e 
 gz  )out  (e 
 gz  )in  q  ws  wv
2

2

有用功
比热能率
(Ws  Wv  0)水头形式
1. 不可压缩粘性流体
2
2
比轴功率
比摩擦功率
V
p
V
p
( z
)in  (  z 
) out  hl
2g
g
2g
g
hl  (eout  ein  q) / g称为水头损失，与粘性耗散有关。
2. 有轴功输入(Ws  0) 的不可压缩粘性流体水头形式（包括流体
机械） (V 2  z  p )  (V 2  z  p )  h  h
in
out
l
s
2g
g
2g
g
hs  Ws / g 称为输入功率水头高，泵类hs  0和涡轮机类 hs  0
3. 可压缩流体绝热流动（ q  0,Ws  Wv  0, 忽略重力）
V2 p
V2 p
(e 
 ) out  (e 
 )in
2

2

[例B4.6.2]
已知:
轴流式风扇的效率
图为一轴流式风扇, d2=1m , V2= 10m/s ；p1 为大气压强，W S  0.65 kw，
空气密度ρ=1.23 kg/m3
求：
(1) 有用功的增量Δw ；
(2) 能头损失 hw 。
(3) 风扇效率。
解：
能量方程适用于整个风道
V22
p2
V12
p1
w  (
 gz 2  )  (
 gz1  )  wsin  ew
2

2

有用功增加
由于z1= z2, p1= p2= patm, V1 = 0
V22 10  10
w 

 50 ( N  m / kg)
2
2
轴功 能量损失
[例B4.6.2]
轴流式风扇的效率
质流量
m   V2 A2   V2
ws ,in

4
d 22  1.23  10 

4
 1  9.66 kg / s
w s 0.65 103


 67.29 ( N  m / kg)
m
9.66
能头损失为
ew ws ,in  w 67.29  50
hw 


 1.76(m)
g
g
9.81
风扇效率为
w
50


 74.3 %
ws ,in 67.29