Transcript BANDE DI ENERGIA - Liceo Cavalieri
BANDE DI ENERGIA PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?
In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria
BANDE DI ENERGIA
Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi
BANDE DI ENERGIA
Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella
BANDE DI ENERGIA
Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi
BANDE DI ENERGIA
Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda
BANDE DI ENERGIA λ/2
Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda
BANDE DI ENERGIA
In formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero: 2
L n
2
L n
BANDE DI ENERGIA
2
L n
L
Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola
BANDE DI ENERGIA
Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie
h mv
BANDE DI ENERGIA
h mv
2
L n v
h
2
mL n
Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene:
BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica
E
1 2
mv
2
BANDE DI ENERGIA
Quindi, combinando le due formule, si ottiene:
E
1 2
mv
2
v
h
2
mL n E
h
2 8
mL
2
n
2
BANDE DI ENERGIA
E
h
2 8
mL
2
n
2 Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola
n è il numero quantico principale
E
BANDE DI ENERGIA
13 , 6
eV n
2 Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero
BANDE DI ENERGIA
Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni
BANDE DI ENERGIA
D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia,
BANDE DI ENERGIA
Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltis simi ed estremamente ravvicinati
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi:
BANDE DI ENERGIA
Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola… …ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA , separate da intervalli molto ampi privi di livelli
BANDE DI ENERGIA ENERGIA
Bande Intervalli
BANDE DI ENERGIA ENERGIA
Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto
BANDE DI ENERGIA ENERGIA
Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire
BANDE DI ENERGIA ENERGIA
La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA.
La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE
BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici
BANDE DI ENERGIA
In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi: • energia termica reticolo cristallino •Energia elettrica elettrica , che origina il moto caotico degli elettroni nel , che genera il moto ordinato noto come corrente
BANDE DI ENERGIA
L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV
BANDE DI ENERGIA
L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV
BANDE DI ENERGIA
Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni: • che il livello di destinazione sia libero • che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli
BANDE DI ENERGIA
Ricapitoliamo poi le energia in gioco: • Energy gap: qualche
elettronvolt
• Energia termica: qualche
centesimo di elettronvolt
• Energia elettrica: qualche
decimillesimo di elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
Ne concludiamo quindi che L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA
BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota
BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare
BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
Il corpo risulterà quindi un
ISOLANTE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena…
BANDA DI VALENZA
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse
BANDA DI VALENZA
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA
In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
In questo caso il corpo risulta un
CONDUTTORE BANDA DI VALENZA
BANDE DI ENERGIA
Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione
BANDA DI VALENZA
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificante
BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono
semiconduttori
BANDE DI ENERGIA
Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori
BANDE DI ENERGIA
Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante