Transcript Fourier transformatie II

Inleiding
Meten en Modelleren
8C120
Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny
Faculteit Biomedische Technologie
Biomedische Beeld Analyse
www.bmia.bmt.tue.nl
8C120
De Meetcyclus
Control
en/of
Feedback
Object
Signaal
Meting
Analyse
Informatie
8C120
De Meetcyclus: cardiofitness
Tempo
aanpassen
Hart
Electrische
potentiaal
ECG
Fourier
analyse
Hartslag
8C120
Fourier series - properties
De Fourier series beschrijven niet alleen de functie g(t) op het
interval [−p,p], maar ook de periodieke uitbreiding buiten
[−p,p]
Definitie: T [s] is de periode van functie g(t) als geldt g(t+T) =
g(t) voor iedere t
Frequentie f = 1/T [Hz = 1/s], Hoekfrequentie ω = 2f [rad/s]
8C120
Fourier series - properties
Voor een gegeven functie g(t) moeten we dus de
Fourier series voor één periode berekenen
De beschrijving van een functie (of een signaal in
de tijd) in termen van sinussen en cosinussen is
van belang voor het begrip van de verwerking
van het signaal door een “processing unit”
8C120
Fourier series - properties
In veel gevallen hebben we alleen de sinussen of de
cosinussen nodig om een functie te beschrijven
Dit wordt bepaald door het feit of de functie even is of
oneven (engels: odd)
Functie f(t) is even als f(−t) = f(t)
Functie f(t) is oneven als f(−t) = −f(t)
Voorbeeld:
cos is even, want cos(−t) = cos(t)
sin is oneven, want sin(−t) = −sin(t)
8C120
Fourier series - properties
Eigenschappen voor even en oneven functies:
1. Product van twee even functies is even
2. Product van twee oneven functies is even
3. Product van een even en een oneven functie is
oneven
4. Som (verschil) van twee even functies is even
5. Som (verschil) van twee oneven functies is oneven
8C120
Fourier series - properties
Eigenschappen voor even en oneven functies:
p
Als f(t) even:

p
Als f(t) oneven:
p
f (t )dt  2  f (t )dt
0
p

f (t )dt  0
p
8C120
Fourier analysis - interpretation
Een biologisch signaal g(t) begint op tijdstip t = 0 en
is vaak periodiek
Stel signaal heeft periode T:
t=0
t=T
t=2T
g(t + nT) = g(t), voor n = 0,1,2,...
8C120
Fourier analysis - interpretation
Fourierreeks voor periodiek signaal g(t) met één periode
op het interval [a,b], periode T = b-a
8C120
Fourier analysis - interpretation
Eerste component (n=0):
average of DC value
Tweede component (n=1):
first harmonic of groundfrequency
Frequentie 1/T; hoekfrequentie 2π/T
Hogere componenten (n>1):
second and higher harmonics
Frequentie n/T; hoekfrequentie: 2πn/T
8C120
Fourier analysis - interpretation
In het algemeen geldt:
Bijdrage van hogere componenten wordt kleiner
Hoe steiler het signaal, hoe belangrijker de hogere
componenten
Componenten n>10 zijn meestal verwaarloosbaar
Maar niet altijd:
Het aantal componenten wordt bepaald door:
De steilheid van het signaal
De toepassing (gewenste nauwkeurigheid)
8C120
Fourier analysis - interpretation
8C120
Representing the Fourier series
Constructie van het Fourier spectrum op basis van
de waarden voor a0, an, bn
Fourier spectrum of the amplitudes:
Horizontaal: frequentie (f of ω)
Verticaal: lengte (norm) van de vector (an,bn)
Fourier spectrum of the phase:
Horizontaal: frequentie (f of ω)
Verticaal: hoek Φn die de vector (an,bn) maakt:
tanΦn = bn/an
8C120
Representing the Fourier series
Lengte (norm) vector (an,bn):
| (an , bn ) | a  b
2
n
Hoek Φn van vector (an,bn):
2
n
Φn
an
bn
bn
tan n 
an
8C120
Estimating the Fourier series
College 4
8E020 Inleiding Meten
16
8C120