Transcript מצגת
פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים ( )B.Scבמתמטיקה שימושית
כאוס מעשי – מעגל
צ'ואה
Chua Circuit
מגיש :דודו דיין
מנחה :ד"ר ויקטור אוסטרובסקי
כרמיאל
מבוא
• לאון צ'ואה ( )Leon Chuaהמציא את מעגל CHUAבשנת 1983בעת שחקר את
משוואות לורנץ .ויצר תופעה כאוטית מוחשית ,פיזית ופשוטה למימוש.
• מערכת זו יצרה ויוצרת עניין רב לא רק בעולמם של מהנדסי האלקטרוניקה אלה
גם בעולמם של מתמטיקאים ופיזיקאים רבים.
• מכנים את המעגל הזה בספרות בתור "המודל לכאוס" )".("Paradigm for chaos
• מתנד CHUAמשמש כגנרטור מעבדתי של אותות אקראיים מדומים ,נמצא
בשימוש רחב בתקשורת מוצפנת ,בהדמיות של תהליכים במוח האנושי ועוד...
• מטרת הפרויקט הייתה לחקור את אופיו הכאוטי של מתנד CHUAולהכיר דרכו
את תופעת הכאוס .חקירת הכאוס התבצעה נומרית באמצעות תוכנת .MATLAB
2
מהו כאוס?
• חוסר היכולת לקבוע כיצד מערכת דינאמית תתנהג .אין פתרון אנליטי למערכת
משוואות המתארת כאוס – עלינו לחשב איטרטיבית בצורה נומרית.
• ענף במתמטיקה אשר נפרס על דיסציפלינות רבות כמו פיזיקה ,כלכלה,
אלקטרוניקה ,ביולוגיה ,פילוסופיה ,אומנות ומזג האוויר.
• נדון בכאוס דטרמניסטי – התנהגותו העתידית מאופיינת בצורה חד משמעית על
ידי תנאי ההתחלה ברורים – ללא אלמנטים רנדומליים כלשהם.
• מסלול המערכת הכאוטית נמצא כל הזמן בתחום חסום של מרחב פזה
והמערכת שואפת למושך.
• עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה ,כמו
המפה הלוגיסטית .לעומת זאת ,עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות
כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר
ראשון.
3
מושך מוזר
דיאגרמת פאזה -כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד אחד של המצב ,והזמן אינו מיוצג בה.
•
•
מושך –תחום חסום במרחב פזה שאליו נמשכים
מסלולים השייכים לתחום המשיכה .המושך הוא
לרוב נקודתי ,אך יכול להגיע בצורת לולאות בודדות
או כפולות אך תמיד מחזוריות.
•
מושך מוזר – הוא מושך ,כפי שהוגדר לעיל ,בעל
ממד Hausdorffהשונה מאפס .רגיש לתנאי
ההתחלה ותלוי בפרמטרים של מערכת באופן
רציף (כלומר ,בעל מבנה יציב).
-4
Real Chua Original function
x 10
20
15
5
•
כל המושכים
פרקטלים.
•
מושכים מוזרים מציגים התנהגות כאוטית.
המסלולים לא חוזרים על עצמם אלא חולפים זה ליד
זה .החוקיות היא שהמסלולים ימשיכו לנוע בסביבת
המושך.
4
המוזרים
שנתגלו
עד
כה הם
0
-5
1
0
)x(t
-1
-0.2
0.2
0
)y(t
0.4
)z(t
10
פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא
ליניאריות
• ישנן מספר שיטות לחישוב נומרי של מד"ר .לצורך התכנסות מהירה יותר לפתרון
(מספר נמוך יותר של איטרציות) נבחר שיטות התכנסות מסדרים גבוהים מאחד.
• שיטת רונגה קוטה משיגה התכנסות מסדרים גבוהים ואינה כרוכה בחישוב
נגזרות ,אלא בערכי הפונקציה בלבד .בשקופית הבאה מוצגת תוצאת המימוש של
שיטה זאת (מסדר )4ב .MATLAB
• MATLAB ode45מבוססת על שיטה זו מסדרים 4ו.5-
• ; 𝑠𝑛𝑜𝑖𝑡𝑝𝑜𝑡,𝑣 = 𝑜𝑑𝑒45 @𝑑𝑣𝑑𝑡,𝑇𝑠𝑝𝑎𝑛,𝑣0,
• פותר המשוואות מייצר מטריצת ערכים שבה העמודה הראשונה היא ווקטור
הזמן ועמודות 2,3,4הן ווקטורי הפתרונות v1, v2ו.i3 -
5
פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא
)ליניאריות (המשך
Original f function
1
Time series
3
0
x(t)
y(t)
z(t)
2
-1
z(t)
This program uses R-K of order 4
step size = dt/1 = 0.01
estimated error < Inf
time in seconds = 3.5
step size = dt/2 = 0.005
estimated error < 0.00105452582235
time in seconds = 6.9
step size = dt/4 = 0.0025
estimated error < 0.00101011464799
time in seconds = 13.8
step size = dt/8 = 0.00125
estimated error < 0.00053596520172
time in seconds = 27.6
ERROR LIMIT SATISFIED
דוגמא לשימוש בנוסחאות רונגה קוטה מסדר
קוד התכנית.ODE45 ללא שימוש ב4
.'מצורף בנספח א
1
-2
0
-3
-1
-4
-2
0.5
-3
0
y(t)
-4
0
-0.5
-0.5
0
0.5
x(t)
1
1.5
2
500
1000
1500
2000
2.5
6
2500
מתנד –CHUAמסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים
• CHUAבסיסי המורכב מרכיבים ליניאריים – נגדים ,קבלים וסליל ומרכיב לא ליניארי –
דיודת NR - CHUA
𝑑𝑉1
1
=
𝑉 − 𝑉1 𝐺 − 𝑓 𝑉1
𝑡𝑑
𝐶1 2
𝑑𝑉2
1
=
𝑉 − 𝑉2 𝐺 + 𝑖3
𝑡𝑑
𝐶2 1
𝑑𝑖3
1
= − 𝑉2 + 𝑅0 𝑖3
𝑡𝑑
𝐿
𝐸 𝐼 = 𝑓 V = 𝐺𝑏 V + 0.5 𝐺𝑎 − 𝐺𝑏 𝑉 + 𝐸 − 𝑉 −
על הפונקציה fלקיים את התנאים הבאים:
• פונקציה רציפה
• מחולקת לשלושה תתי קטעים לינאריים (לפחות) ע"י נקודות לא
גזירות.
• סימטריה אי זוגית.
7
Gb
E
E
Gb
מתנד –CHUAמסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים
(המשך)
• ע"י החלפת המשתנים עוברים לצורה מקובלת יותר של המערכת שהיא צורה חסרת
מימדים ומנורמלת:
𝑅𝑖3
;
𝐸
𝑅0 𝑅𝐶2
=𝛾
;
𝐿
=𝑧
; 𝑘 = 𝑠𝑔𝑛 𝑅𝐶2
𝑉2
;
𝐸
𝑅2 𝐶2
=𝛽
;
𝐿
𝑡
;
𝑅𝐶2
=𝑦
=𝜏
𝑉1
;
𝐸
𝐶2
; =𝛼
𝐶1
=𝑥
; 𝑏𝐺𝑅 = 𝑏
; 𝑎𝐺𝑅 = 𝑎
𝑑x
; = kα y − x − f x
𝜏𝑑
𝑑y
; =k x−y+z
𝜏𝑑
𝑑z
; 𝑧𝛾 = −𝑘 𝛽𝑦 −
𝜏𝑑
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 + 0.5 𝑎 − 𝑏 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1
• משוואות המצב של מעגל זה מושפעות משבעה פרמטרים שיוצרים מגוון רחב של דפוסי
התנהגות למערכת.
• יתרונות משוואות חסרות מימדים – חסרות יחידות (וטוב שכך -לא נוח לעבוד עם
מיקרו ונאנו) .נוחות לעבודה גם למי שאינו מגיע מתחום האלקטרוניקה.
8
כאוס במתנד
– CHUAרגישות לתנאי התחלה
• כמוכר במערכות כאוטיות ,שתי נקודות קרובות מאוד יכולות להתפצל למסלולים שונים.
47
x 10
Chua Dimensionless
Chua Dimensionless
20
0.15
X: -8.248e+49
Y: -9.834e+49
Z: 1.584e+48
X: 0.1
Y: 0.2
Z: 0.1326
15
0.1
0.05
10
)z(t
0
)z(t
5
-0.05
0
3
2
1
0
-1
-2
50
0
50
50
x 10
-0.15
-5
4
2
0
-0.1
x 10
)y(t
)x(t
-50
-0.2
-50
0
50
)y(t
50
Time series
x 10
)x(t
)y(t
z(t)*10e-2
3
)x(t
שינוי תנאי ההתחלה
Time series
50
)x(t
)y(t
z(t)*10e-2
2.5
2
𝑧 0 = 0.13264604
40
30
20
1.5
1
0.5
10
ל 𝑧 0 = 0.13264605
0
-10
-20
0
-30
-0.5
9
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
-1
-40
4.5
4
x 10
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-50
כאוס במתנד – CHUA
מסלולים הומוקליניים והטרוקליניים – Homoclinic & Heteroclinic Orbits
Chua homoclinic
Time series
3
3
1
2
0
1
0
-1
-1
-2
-3
1000
1500
-2
0.5
-3
-4
-3
0
-4
0
500
)z(t
• מסלול הומוקליני זהו
מסלול שבו גם כיוון הלוך
וגם חזור עוברים דרך
אותה נקודת שיווי משקל
מסוג אוכף
)x(t
)y(t
)z(t
2
-0.5
)y(t
2
3
-1
0
1
-2
)x(t
Chua homoclinic
Time series
)x(t
)y(t
)z(t
3
4
2
1
2
0
0
-1
-2
-3
-2
0.4
0.2
0
3500
10
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-4
-0.2
)y(t
-0.4
3
2
1
)x(t
0
-1
-2
-4
-3
)z(t
• לעומת זאת במצב שיש
שתי נקודות שיווי משקל
שונות ,אחת לכיוון הלוך
והשנייה לחזור המצב
מתאר מסלול הטרוקליני.
4
כאוס במתנד
– CHUAהכפלה מחזורית לכאוס Period-doubling route -
• הכפלה מחזורית לכאוס היא משפחה כאוטית שבה הדרך לכאוס היא מאוד הדרגתית ,פיצול אחר
פיצול.
• כאשר נקודת שיווי המשקל מאבדת את יציבותה ונוצר
מסלול מעגלי חסום – מתרחש תהליך שנקרא
ביפורקציית אנדרונוב הופף ). (Andronov-Hopf
• הפיצולים מתרחשים בזה אחר זה (עם שינוי פרמטר
נבחר) ובכל פעם נוצר מעגל חסום נוסף עם מחזור חדש.
• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר ( Rנגד) ישתנה בין
הערכים 1.1628Kל .1.0005K
11
][World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P8
)(המשך
= 𝑅המערכת תגיע לשני1.0004 𝐾𝑂ℎ𝑚 עבור
.DOUBLE SCROLL –מושכים
-3
כאוס במתנד
Period-doubling route - – הכפלה מחזורית לכאוסCHUA
= 𝑅 מסלול מעגלי1.0941 𝐾 𝑂ℎ𝑚 עבור
:חסום
𝑅 = 1.1628𝐾 𝑂ℎ𝑚 עבור
:התכנסות לנקודת שבת
Real Chua Original function
x 10
Real Chua Original function
Real Chua Original function
-3
x 10
4
2
3
1
x 10
2
0
1
X: 0
Y: 0
Z: 0.0002
1
-1
-2
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-4
0.4
0
z(t)
z(t)
z(t)
-1
0
0
-0.2
0
-2
-4
-0.4
2
4
-6
-0.8
-2
0.3
-3
0.2
4
0.2
X: 0
Y: 0
Z: 0.0002
-3
-4
0
0.1
0
1
2
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
-0.1
3
0
4
y(t)
x(t)
y(t)
-0.2
x(t)
x(t)
y(t)
Time series
Time series
4
Time series
4
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
4
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
2
1
2
1
0
1
-1
0
0
-2
-1
-3
-1
-2
-4
-2
-3
-5
-3
-6
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
4
x 10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
-4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
12
7000
כאוס במתנד
•
" – CHUAקריסת טורוס" ((Torus breakdown
דרך זו מגיעה לכאוס דרך מספר ביפרקציות מסוג אנדרונוב הופף בהן נקודת שיווי המשקל
מאבדת את יציבותה ונוצר מסלול מעגלי חסום
•
לאחר שתי ביפורקציות מסוג זה אנו מקבלים מושך
טבעתי .בביפורקציה השלישית נראה כי המערכת הגיעה
למצב כאוטי.
• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר 𝐶1ישתנה בין הערכים
0.3nFל .0.0266nF
][World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P10
13
)(המשך
(Torus breakdown( " – "קריסת טורוסCHUA
:𝐶 נקבל מצב כאוטי יציב1 = 0.0266𝑛𝐹 עבור
:𝐶 נקבל מושך טבעתי1 = 0.1𝑛𝐹 עבור
כאוס במתנד
מסלול- 𝐶 נקבל מצב יציב1 = 0.3𝑛𝐹 עבור
מעגלי חסום
Real Chua Original function
Real Chua Original function
Real Chua Original function
0.01
0.04
0.005
0.015
0.02
0.01
z(t)
z(t)
0.005
z(t)
0
0
-0.005
0
-0.01
-0.02
-0.005
-0.01
-0.015
0.4
-0.04
1
-0.015
0.4
0.2
0.5
0.2
0
-0.2
-0.4
y(t)
-5
-4
-1
y(t)
x(t)
Time series
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
-2.6
-2.8
x(t)
x(t)
Time series
1
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
5
3
-2.4
-0.4
y(t)
-6
3
Time series
4
-2.2
-0.2
-2
-0.5
0
-2
0
0
0
5
-1.8
2
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
0.5
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-1.5
-3
-2
-4
-2.5
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
-5
-3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
149000
כאוס במתנד – CHUAערבוב )(Intermittency
•
במצב זה מתחילים ממצב מחזורי ולאחר מיכן שכמתווספות הקפיצות הלא מחזוריות המצב הופך
לכאוטי.
• עם שינוי הפרמטר הנבחר ,דומיננטיות הכאוס פוחתת
והחלק המחזורי מתגבר.
• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר Lישתנה בין הערכים
0.21mHל .0.38mH
][World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P12
15
)(המשך
= 𝐿 נראה0.38𝑚𝐻 עבור
התחזקות של האזור המחזורי
.והחלשות האזור הכאוטי
(Intermittency) – ערבובCHUA כאוס במתנד
= 𝐿 נקבל מסלול0.3𝑚𝐻 עבור
כאוטי משולב במסלול מחזורי
Real Chua Original function
= 𝐿 נקבל מצב יציב0.21𝑚𝐻 עבור
מסלול מעגלי חסוםReal Chua Original function
Real Chua Original function
-3
x 10
-3
2
x 10
-3
x 10
3
2.5
1.5
2
1
1
0.5
z(t)
1.5
z(t)
z(t)
2
1
-1
0.5
0
0.3
-2
0
0.2
-0.4
-0.6
0.1
-0.8
-1.2
-0.1
y(t)
-3
0.4
-0.5
0.6
0.4
-1
0
-1.4
0
0.5
0.2
2
0.2
x(t)
-1
-0.2
-1.5
0
-0.2
-0.5
0
y(t)
1
0
0
y(t)
-1
-0.4
-2
x(t)
x(t)
Time series
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
1.5
Time series
Time series
2.5
3
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
2
1
1.5
1
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0
-1
-0.5
-1
-2
-1
-1.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
-1.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
-3
0
2000
4000
6000
8000
10000
16
12000
14000
שימוש בפולינום ממעלה שלישית – :CUBIC FUNCTION
•
מתנד CHUAעשיר בתופעות מעניינות בין היתר הודות לייחודיות החלק הלא לינארי ,הפונקציה f
•
פונקציה אי זוגית זו הינה פונקציה רציפה אך לא חלקה piecewise linear -ושתי נקודות השבר
יצרו עניין רב בעבר ,בקרב החוקרים ,בשל היותן האחראיות ,לכאורה ,לתופעות הכאוטיות.
•
נעסוק בפונקציה בעלת חוסר ליניאריות קלה
-2.9315446532 x+0.4530092443 x 3
100
𝑓 𝑥 = ℎ1 𝑥 + ℎ3 𝑥 3גם לפונקציה זאת מימוש
80
60
פיזיקלי.
40
20
0
• בדוגמא המובאת להלן נחקור את המודל חסר
-20
-40
המימדים עם פרמטר αשמשתנה בין הערכים
-60
-80
1.1225ל .3.5
17
-100
6
4
2
0
x
-2
-4
-6
)(המשך
:CUBIC FUNCTION – שימוש בפולינום ממעלה שלישית
Cubic function alpha=3.5
Cubic function alpha=1.1225
2
1
20
X: 0
Y: 0.3
Z: 0.5
0
z(t)
10
-1
z(t)
-2
0
4
2
-10
0
-2
-20
-3
-2
-1
0
1
2
-4
3
α = 3.5 עבור
נקבל מעגל
חסום
-3
-4
0.4
0.2
2.5
2
0
1.5
1
-0.2
y(t)
0.5
-0.4
y(t)
x(t)
Time series
α עבור
= נקבל1.1225
מעגל חסום
0
x(t)
Time series
20
3
x(t)
y(t)
z(t)
15
10
x(t)
y(t)
z(t)
2
1
5
0
0
-1
-5
-2
-10
-3
-15
-20
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
-4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
18
)(המשך
:CUBIC FUNCTION – שימוש בפולינום ממעלה שלישית
:Double-Scroll נקבל שני מושכיםα =3.2 – נקבל שרשרת פיצולים וב1.8> α >3.2 עבור
Cubic function alpha=1.8
Cubic function alpha=3.1
20
20
10
z(t)
-10
0
-10
-20
-30
5
-20
4
3
2
3
Cubic function alpha=2.5
2
0
-1
y(t)
x(t)
-4
-1
-2
x(t)
20
20
10
10
0
0
z(t)
-5
1
0
-2
0
y(t)
-10
-10
-20
4
-20
4
2
3
2
0
1
-2
y(t)
Cubic function alpha=3.2
2
0
1
z(t)
z(t)
10
X: 0
Y: 0.3
Z: 0.5
0
2
4
-1
x(t)
0
-2
0
-4
2
0
y(t)
-2
-4
-4
19
x(t)
שימוש בפונקציות fבעלות nמושכים:
בשימוש הפונקציה fהלינארית למקוטעין נוכל לייצר מספר רב יותר של מושכים ע"י תוספת של
•
תתי קטעים לינאריים נוספים.
אם נתייחס לפונקציה fכפונקציה מתמטית בלבד (כמודל חסר מימדים) נוכל למצוא פונקציות
•
נוספות שמתנהגות דומה ויוצרות מספר רב של מושכים.
נתייחס למערכת הבאה:
•
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
5
20
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-0.2
-5
𝜋𝑏
; x − 2ac
𝑐𝑎𝑖𝑓 𝑥 ≥ 2
𝑎2
𝑥𝜋
𝑐𝑎+ d ; 𝑖𝑓 − 2𝑎𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓 𝑥 = −bsin
𝑎2
𝜋𝑏
𝑐𝑎x + 2ac ; 𝑖𝑓 𝑥 ≤ −2
𝑎2
𝑑x
; =α y−f x
𝜏𝑑
𝑑y
;= x − y + z
𝜏𝑑
𝑑z
;𝑧𝛾 = 𝛽𝑦 −
𝜏𝑑
שימוש בפונקציות fבעלות nמושכים( :המשך)
מערכת זאת מייצרת nמושכים שנקבעים ע"י .𝑛 = 𝑐 + 1הפרמטר dנקבע לפי –nאם nאי זוגי אז
ערכו יהיה 𝜋 ,אחרת ערכו .0
עבור 𝜋 = 𝑑 𝑛 = 3,נקבל
שלושה מושכים כאוטיים
sine function, 3 attractors
Time series
10
8
)x(t
)y(t
)z(t
6
5
4
2
0
-2
-5
-4
-10
-10
-6
-8
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
-10
-5
0.6
0
0.4
0.2
0
-0.2
)y(t
21
5
-0.4
-0.6
-0.8
10
)x(t
)z(t
0
CNN – Cellular neural network :רשתות נוירונים עצביות
רשתות נוירונים עצביות:
(CNN – Cellular neural networkהמשך)
abs(x + 1)/2 - abs(x - 1)/2
1
• לכל תא יש כמה מקורות זרם מבוקרים מתח .ומקור מתח
מבוקר מתח הנמצא במוצא התא ומתפקד באמצעות הפונקציה
𝑦𝑖𝑗 = 0.5 𝑥𝑖𝑗 + 1 − 𝑥𝑖𝑗 − 1 :
0.5
0
-0.5
-1
6
4
2
0
x
-2
-4
-6
• מקור מתח המוצא שולט שמקורות
הזרם המבוקרים מתח של תאים
סמוכים באופן הבא:
• CNNנמצאים כיום בשימוש רחב בחומרה בפתוח מעבדי CNNבטכנולוגיות .VLSIגם תחום
התוכנה כיום עשיר במודלים שמדמים מערכות כאלה ובונים איתם אפליקציות של בינה
מלאכותית ועיבוד אותות.
23
הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות
• מתנד CHUAוכאוס בכלל משמשים לצרכי הצפנה .בשימוש זה מאפננים אות מידע ידוע
בתוך גל נושא כאוטי.
• במצב זה אות המידע אינו ניתן לגילוי כיוון שאת האות הכאוטי אי אפשר "לנחש" או לחזות
ללא ידע מוקדם לגבי המערכת הכאוטית שיצרה אותו.
• בהמשך לאותו אות מידע מאופנן
כאוטית יש מקלט אשר יוכל לפענח
את האות המקורי .המקלט יוכל
לשחזר את האות המקורי אם ורק אם
הוא בעצמו מערכת כאוטית זהה
לזאת שבמשדר ומסונכרנת עמה.
)S'(t
-
Reciever Chaos
Generator
24
)r(t
+
)S(t
Message Signal
Transmitter Chaos
Generator
הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות
(המשך)
• סנכרון המערכות הכאוטיות מתבצע ע"י הנגד .Rcיש כמובן שיטות נוספות אך נתמקד
בשיטה זו.
• לצורך הבנת המערכת יש לדמיין שתי מערכות כאוטיות זהות שיכולות לעבוד בנפרד אם
הנגד Rcגדול מאוד ,ואז הקשר ביניהם שואף לנתק .או בסנכרון אם ערכו נמוך יותר
• בשימוש חוקי כירכהוף נרכיב את ששת המשוואות הבאות .יש לציין כי הסנכרון יכול
להתבצע על פי כל אחד ממשתני המצב .V1,V2,I3
𝑑𝑉12
1
1
=
𝑉22 − 𝑉12 𝐺 − 𝑓 𝑉12 +
𝑉 − 𝑉12
𝑡𝑑
𝐶11
𝑅𝑐 11
𝑑𝑉22
1
=
𝑉 − 𝑉22 𝐺 + 𝑖32
𝑡𝑑
𝐶21 12
𝑑𝑖32
1
= − 𝑉22 + 𝑅0 𝑖32
𝑡𝑑
𝐿
25
𝑑𝑉11
1
1
=
𝑉21 − 𝑉11 𝐺 − 𝑓 𝑉11 +
𝑉 − 𝑉11
𝑡𝑑
𝐶11
𝑅𝑐 12
𝑑𝑉21
1
=
𝑉 − 𝑉21 𝐺 + 𝑖31
𝑡𝑑
𝐶21 11
𝑑𝑖31
1
= − 𝑉21 + 𝑅0 𝑖31
𝑡𝑑
𝐿
)(המשך
הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות
-3
-3
x 10
x 10
Transmitter Chaos Generator
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
0.5
0
y(t)
-0.5
-3
-2
0
-1
1
3
2
x(t)
Correlation line
2.5
V12
Reciever Chaos Generator
5
z(t)
z(t)
5
נתחיל מהמצב בו שתי
המערכות ותנאי ההתחלה
𝑅𝑐 ערכו של.זהים לחלוטין
= 10𝐾 𝑂ℎ𝑚
-4
-5
0.5
0
-0.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-1
-0.5
0
V11
0.5
1
1.5
2
2.5
1
2
3
Time series for Transmitter
1.5
-1.5
0
2.5
2
-2
-1
-2
x(t)
2
-2.5
-2.5
-3
y(t)
-2.5
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
26
הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות
)(המשך
Transmitter Chaos Generator
Time series V1 - Transmitter & Reciever
3
-3
V11
V12
x 10
5
2
X: 4
Y: 0.01
Z: 0.001
z(t)
1
0
0
-1
-5
0.4
0.2
4
-2
2
0
0
-0.2
-2
-0.4
y(t)
-4
-3
x(t)
= 𝑐𝑅ליצירת סנכרון ונשנה100 𝑂ℎ𝑚 כעת נשנה את
משמעותית את תנאי ההתחלה
𝐼31 0 = 1mA , 𝑉21 0 = 0.1𝑉, 𝑉11 0 = 4𝑉
Correlation line
2.2
2.15
2.1
0.5
2.05
0
2
3000
4000
5000
6000
Correlation line
2
1
-0.5
V12
V12
1
2000
3
V11
V12
2
1.5
1000
𝑉11 0 נשנה את אחד מתנאי ההתחלה ל
= 0.0005𝑉
ונראה יציאה מובהקת מסנכרון
Time series V1 - Transmitter & Reciever
2.5
0
0
1.95
-1
-1
1.9
-1.5
-2
1.85
-2
-2.5
-3
1.8
-2
-1
0
1
V11
2
3
4
-200
0
200
400
600
800
1000
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
V11
0.5
1
1.5
2
27
2.5
הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות
(המשך)
-3
x 10
Transmitter Chaos Generator
• במערכת פיזיקלית אמתית יהיה קשה מאוד למצוא שני רכיבים
באמת זהים ותכונותיהם הפיזיקליות עלולות להשתנות תוך כדי
עבודתם כתלות בטמפרטורה למשל.
6
4
X: 4
Y: 0.01
Z: 0.001
2
• באיורים הבאים ניכר שינוי רב יותר ,גם בתנאי ההתחלה וגם
בחוסר דיוק הרכיבים הלינאריים וערכיהם הוסתו עד כדי .5%
)z(t
0
-2
-4
𝐶11 = 1.05𝑛𝐹, 𝐶21 = 52.5𝑛𝐹, 𝑅1 = 1.05𝐾 𝑂ℎ𝑚, 𝑅𝑐 = 100 𝑂ℎ𝑚,
𝐴𝑚𝑉11 0 = 4𝑉, 𝑉21 0 = 0.01𝑚𝑉, 𝑖31 0 = 1
-6
4
3
2
0
1
-2
-1
0.5 0
-0.5
-3
)y(t
)x(t
-3
Correlation line
x 10
Time series V1 - Transmitter & Reciever
3
Reciever Chaos Generator
4
V11
V12
2
6
3
4
2
2
1
V12
0
X: 0.0008854
Y: 4.05e-05
Z: -4.63e-07
0
-1
-2
)z(t
1
0
-2
-1
-4
-2
-6
0.5
0
3
4
28
2
0
1
V11
-1
-2
-3
-3
2.5
4
x 10
2
1.5
1
0.5
-3
0
3
2
1
0
-1
)x(t
-2
-3
-0.5
)y(t
בניית מתנד CHUAמוחשי
Time series
5
• זהו אמנם פרויקט במתמטיקה ,אך בתור
מהנדס אלקטרוניקה רציתי לבנות את
תוצאות
עם
ולהשוות
המעגל
הסימולציה.
)x(t
)y(t
z(t)*10e-3
4
3
2
1
0
-1
-2
• המעגל נבנה בתכנת PSPICEומוצג כאן
זמן ריצה של .15ms
-3
-4
1000
800
900
700
500
600
400
200
300
0
100
-5
R111
1.8k
V
R4
22k
220
U8A8
5
3
U9B
V+
+
OUT
-3
x 10
8
0
-
6
V- TL082
2
TL082
VDD
R5
7
22k
R3
2.2k
R6
3.3k
0
0
4
VDD
R2
220
I
VCC
VDD
V3
9
9
V4
1
-5
-5
0.5
0
0
-0.5
0
)y(t
29
0
0
-1
5
)x(t
)z(t
V-
C1
10n
5
OUT
4
C2
100n
L1
18mH
VCC
+
1
V
R1
VCC
V+
Real Chua Original function
סיכום:
• קצרה היריעה מלהכיל את תכנם של אלפי מאמרים על מעגל אחד.
• מתנד CHUAהוא ללא ספק מודל לכאוס ולייצור תופעות מגוונות במערכות דינאמיות
• מתמטיקאים ממשיכים בחקירת הגאומטריה של המושכים המוזרים שמעגל זה יוצר,
במציאת פונקציות לא לינאריות נוספות ועוד...
• מומחים ממשיכים למצוא בתכונותיו הכאוטיות שימושים נוספים בתחומים שונים כמו
בעיבוד אותות ,במוזיקה וביצירת תמונות מרהיבות.
• בפרויקט זה היה לי העונג לחזור "לספסל הלימודים" ולשקוד על מחקרים מרתקים.
• השילוב בין מתמטיקה לאלקטרוניקה בפרויקט זה הוא ייחודי כיוון שהפעם
האלקטרוניקה היא זו ששימשה את המתמטיקה בביסוס תופעה אבסטרקטית כמו
כאוס.
30
סיכום:
• כאוס נשמע לי בהתחלה כמו תחום מאוד תיאורטי ולא פרקטי .אך מסתבר שיש סדר
ושליטה בתוהו ובואו (למרות שלא פשוט להגיע אליו).
• מעניין לראות שמערכות דינמיות רבות בעולמנו
מתנהגות לפי פרמטרים דומים לאותו מתנד פשוט.
כך ניתן לראות בתמונה משמאל – שימוש בדיאגרמת
פאזה לניתוח כלכלי.
DOUBLE SCROLLכמעט מושלם.
][http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf - page 4
31
32