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Sortiernetzwerke
Seminar über Algorithmen
SS 2005
von Arash Sarkohi
und Christian Bunse
Sortiernetzwerke
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Übersicht
Einführung und Begriffe
Laufzeit
Entwickeln eines effizienten
Sortiernetzwerks
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Was ist ein Sortiernetzwerk
Ein Sortiernetzwerk ist ein
Vergleichsnetzwerk, das eine Eingabe
sortiert
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Was ist ein Vergleichsnetzwerk
Ein Vergleichsnetzwerk besteht aus
Vergleichselementen
Es kann Vergleiche parallel durchführen
Begriffe:
Eingabe/Ausgabesequenz: Werte auf den
Eingangs-bzw. Ausgangsleitungen
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Das Vergleichselement
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Das Vergleichselement
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Das Vergleichselement
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Sortiernetzwerke
Begriffe
Vergleichselement arbeitet in Zeit O(1)
Tiefe einer Leitung: Anzahl der VE, die auf
der Leitung liegen
Tiefe des Netzwerkes: Maximale Tiefe einer
Ausgangsleitung
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Beispiel
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Sortiernetzwerke
Begriffe
Sortiernetzwerk ist ein Vergleichsnetzwerk, in
dem die Ausgabesequenz für jede
Eingabesequenz monoton steigend ist.
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Laufzeit
Untere Schranke für die Anzahl der
Vergleiche bei vergleichsbasierten
Sortieralgorithmen:
(n log n)
 Auch ein Sortiernetzwerk muss mindestens
(n log n) Vergleichselemente besitzen
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Laufzeit
=> Jedes Sortiernetzwerk mit n
Eingängen muss mindestens die
Tiefe log n haben.
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Beispiel
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Warum sind Netzwerke mit Tiefe
O(logn) nicht trivial ?
Direkte Umsetzung von bekannten
Algorithmen in Netzwerke ist nur
bedingt möglich
Sequentielle Algorithmen sind nur
bedingt parallelisierbar
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Effiziente Sortiernetzwerke
Es existiert in der Tat ein Sortiernetzwerk
mit der Tiefe O(logn), allerdings mit
riesigen Konstanten und nur schwer
implementierbar
Unser Ziel ist daher ein Sortiernetzwerk mit
der Tiefe
(log2 n)
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Vorgehen
Problemreduktion auf das Null-EinsPrinzip
Entwickeln eines bitonischen
Sortierers
Entwickeln eines Mischers
Entwickeln eines Sortiernetzwerks mit
Hilfe von Mischern
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Problemreduzierung
Ziel: Arbeiten mit dem Alphabet {0,1}
statt mit beliebigen Zahlen.
Zu Zeigen: Wenn SN für Eingabe aus
{0,1} korrekt arbeitet, so arbeitet es
auch korrekt für beliebige Eingaben.
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Problemreduzierung
Lemma: Wenn ein Vergleichsnetzwerk die
Eingabesequenz a = (a1, a2, …, an) in eine
Ausgabesequenz b = (b1, b2, …, bn)
umwandelt, dann transformiert das Netzwerk
die Eingabesequenz
f(a) = (f(a1), f(a2), …,f(an)) für jede beliebige
monoton steigende Funktion f in eine
Ausgabesequenz f(b) = (f(b1), f(b2), …,f(bn))
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Null-Eins-Prinzip
Wenn ein Vergleichsnetzwerk mit n
n
Eingängen alle 2 möglichen
Sequenzen von Nullen und Einsen
korrekt sortiert, dann sortiert es alle
Sequenzen beliebiger Zahlen korrekt
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Bitonisches Netzwerk
Ziel: Vergleichsnetzwerk, das
bitonische Sequenzen sortiert
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Bitonisches Netzwerk
Def.: Eine bitonische Sequenz ist eine
Sequenz, die monoton steigt und
dann monoton fällt oder zirkulär
verschoben werden kann, so dass sie
dann monoton steigend und dann
monoton fallend ist.
Beispiele:
(1,4,6,8,3,2)
(6,9,4,2,3,5).
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Bitonisches Netzwerk
Bitonische Null-Eins-Sequenzen haben die
Form:
i
j
01 0
k
oder
i
j k
10 1
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für i,j,k >= 0.
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Bitonisches Netzwerk
Halfcleaner
ein Halfcleaner ist ein Vergleichsnetzwerk
der Tiefe 1, bei dem für i=1,…,n/2 die
Eingabezeile i mit der Zeile i+n/2
verglichen wird.
alle Elemente der oberen Hälfte sind kleiner
gleich alle Elemente der unteren Hälfte
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Bitonisches Netzwerk
Halfcleaner
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Bitonisches Netzwerk
Lemma: Wenn die Eingabe eines
Halfcleaners eine bitonische Sequenz
ist, dann sind sowohl die untere als
auch die obere Hälfte der Ausgabe
bitonisch
Bei Nullen und Einsen ist mind. eine
Hälfte rein bitonisch (nur Einsen oder
nur Nullen)
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Bitonischer Sortierer
Der Bitonische Sortierer [n] sortiert
eine bitonische Eingabesequenz
rekursiv durch einen Halfcleaner[n]
und zwei bitonischen Sortierer[n/2].
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Bitonischer Sortierer
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Bitonischer Sortierer
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Bitonischer Sortierer
Laufzeit
Die Tiefe D(n) kann durch die
folgende Rekursionsgleichung
berechnet werden:
0
D ( n)  
D(n / 2)  1
n 1


k
n  2 und k  1
 D(n)  log n
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Bitonischer Sortierer
Aus dem Null-Eins-Prinzip folgt, dass
jede beliebige bitonische Sequenz in
Tiefe log n sortiert werden kann.
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Bitonischer Sortierer
Vergleichselemente
Anzahl der Vergleichselemente in
einem bitonischen Sortierer:
v(n)  n / 2  2v(n / 2)
 n / 2  log n
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Mischnetzwerk
Ein Mischnetzwerk ist ein Netzwerk,
das zwei sortierte Eingabesequenzen
zur einer verschmilzt.
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Mischnetzwerk
Idee: bilde aus zwei vorsortierten
Sequenzen eine bitonische, und
sortiere diese wie gehabt.
Invertiere dafür die zweite
Eingabehälfte
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Mischnetzwerk
Äquivalent zu Halfcleaner
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Mischnetzwerk
Das Netzwerk Merger[n] ist identisch
mit dem bitonischen Sortierer,
allerdings wird der Halfcleaner
modifiziert.
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Mischnetzwerk
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Mischnetzwerk
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Mischnetzwerk
Laufzeit
Die Laufzeit ist identisch mit der des
bitonischen Sortierers
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Unser Sortiernetzwerk
Der Sortierer[n] sortiert eine beliebige
Eingabesequenz rekursiv durch zwei
Sortierer[n/2] und einen Mischer[n].
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Unser Sortiernetzwerk
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Unser Sortiernetzwerk
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Unser Sortiernetzwerk
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Unser Sortiernetzwerk
Laufzeit
Die Tiefe D(n) kann durch die folgende
Rekursionsgleichung bestimmt werden:
0
D ( n)  
D(n / 2)  log n
n 1


k
n  2 und k  1
 D(n)  (log n)
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Unser Sortiernetzwerk
Laufzeit
Damit können n beliebige Zahlen
parallel in Zeit
(log n)
2
sortiert werden.
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Vergleichselemente
Anzahl der Vergleichselemente:
n
n
v ( n)   log n  2v ( )
2
2
1
2
  ( n  log n  n log n)
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Ende!
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Literatur
Th.H.Cormen/C.E.Leiserson/R.Rivest/C.Stein
Introduction to Algorithms, Second Edition
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