Transcript Sähkömagnetiikan rajapintaehdot

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
SATE11XX
SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA
(LISÄOSA)
3. SÄHKÖMAGNETIIKAN
RAJAPINTAEHDOT
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Maxwellin yhtälöt integraalimuodossa
Sähkömagnetiikan rajapintaehdot voidaan johtaa
Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista, joiden
oletetaan olevan päteviä alueella, jossa väliaine muuttuu.

C

C
Faradayn laki
D
 dS
S t
Ampèren laki
H  dl  I  
 D  dS
S

S
17.09.2012
d
dt
E  dl  
Q
Gaussin laki
B  dS  0
Magn. kenttä
lähteetön
SATE.11XX.03 / mv
2 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Johteen ja eristeen väliset rajapintaehdot
Staattinen sähkökenttä on konservatiivinen =>
2
3
4
1
1
2
3
4
 E  dl   E  dl  E  dl   E  dl  E  dl  0
17.09.2012
1
2
4
3 Johde
SATE.11XX.03 / mv
Eriste
3 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuus ja sähkövuontiheys
johteessa
Staattisessa tilanteessa kaikki varaukset ovat johtimen
ulkopinnalla
 johtimen sisällä :  0
D  0
4
2
3
1
3
1
2
4
E  0
  E  dl  0   E  dl   E  dl   E  dl  0
1
4
17.09.2012
2
 0
D 0
E 0
SATE.11XX.03 / mv
Eriste
3 Johde
4 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuus ja sähkövuontiheys
johteessa
Annetaan etäisyyksien 2 -> 3 ja 4 -> 1 lähestyä nollaa
3
1
2
4
  E  dl   E  dl  0
2
  E  dl  0
1
17.09.2012
1
2
4
3 Johde
SATE.11XX.03 / mv
Eriste
5 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuontiheyden
tangentiaalinen komponentti johteen ja eristeaineen
rajapinnassa
Sähkökentän voimakkuus E on välillä 1 -> 2 eristeen pinnalla
2
tangentiaalinen 2
 E  dl   E
1
t
 dl  0
1
Joten: sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuontiheyden
tangentiaalinen komponentti johteen ja eristeen rajapinnassa on nolla.
 E t  Dt  0
17.09.2012
1
2
4
3 Johde
SATE.11XX.03 / mv
Eriste
6 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Gaussin lain soveltaminen rajapinnassa
 D  dS


D  dS 
yläp.

D  dS 
alap.
 D  dS
 Qkok
sivu
Sähkövuontiheyden tangentiaalinen komponentti Dt on
nolla

D
sivu
t
 dS sivu  0 

D  dS 
yläp.
yläp.
alap.
17.09.2012
SATE.11XX.03 / mv

D  dS  Qkok
alap.
Dn
dSyläp.
S
dSsivuEriste
dSalap.
Johde
7 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Gaussin lain soveltaminen rajapinnassa
Sähkövuontiheys johteessa on 0

D johde  dS alap.  0 
alap.

D  dS  Q kok
yläp.
Sähkövuontiheyden suunta ylälaipassa on tason pinnalle
normaali

D n  dS yläp. 
yläp.

yläp.
 Dn  s
s
 En 

17.09.2012
D ndS yläp.  Qkok 
  dS
s
S
yläp.
alap.
SATE.11XX.03 / mv
Dn
dSyläp.
S
dSsivuEriste
dSalap.
Johde
8 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuus ja sähkövuontiheys
eristeaineiden rajapinnassa
Annetaan etäisyyksien 2 -> 3 ja 4 -> 1 lähestyä nollaa
3
1
2
4
 E  dl   E  dl
2
4
1
3
 0   E t2  dl 2   E t1  dl 1
->Sähkökentän voimakkuuden E tangentiaalinen komponentti on
jatkuva eristeiden rajapinnassa
D  E
E t1  E t2 
17.09.2012
D t1 D t2

1
2
1
2
4
3 Eriste 1
SATE.11XX.03 / mv
Eriste 2
9 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuus ja sähkövuontiheys
eristeaineiden rajapinnassa
Annetaan sivun korkeuden lähestyä nollaa

Dn2  dS yläp. 
yläp.

Dn1  dS alap.  Qkok
alap.
->Sähkövuontiheyden normaalikomponentti Dn on eristeaineiden
rajapinnassa epäjatkuva (rajapinnassa olevan varauksen ǀSǀ verran)
Dn1  Dn2   en12
 s
 r1E n1   r2E n2   en12

s
0
yläp.
alap.
17.09.2012
SATE.11XX.03 / mv
Dn
dSyläp.
S
dSsivuEriste 2
dSalap.
Eriste 1
10 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Sähkökentän voimakkuus ja sähkövuontiheys
eristeaineiden rajapinnassa
Yhteenveto:
D t1 D t2

1
2
Dn1  Dn2   en12  s tai Dn1  Dn2   en21   s
D  E
E t1  E t2 
 r1E n1   r2E n2   en12

E n1
tan q1 
E t1


E n1

sin
q

1

E1


E
S  0  cos q1  t1
E1




tan q1



tan q2


17.09.2012
=
=
=
D n1
D t1
D n1
D1
D t1
D1
ja tan q2 
ja sin q2 
ja cos q2 
E n2
E t2
E n2
E2
E t2
E2
=
=
=

s
0
E n2

E n1
E n2

 r1Dn1
 r2D n2
Eriste 2
D t2
E2
Dn2
D2
D t2
D2
E n1
E t1
z
D n2
r2
r1
en21
q2
en12
E1
q1

 r1
 r2
Eriste 1
E t2
SATE.11XX.03 / mv
11 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuus ja magneettivuontiheys
kahden materiaalin rajapinnalla
Magneettivuo on jatkuva

 B  dS


yläp.
B  dS 

B  dS 
alap.
 B  dS
0
sivu
Bn
yläp.
alap.
17.09.2012
SATE.11XX.03 / mv
S
dSyläp.
Materiaali 2
dSsivu
dSalap.
Materiaali 1
12 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
normaalikomponentit kahden materiaalin rajapinnalla
Annetaan sivun korkeuden lähestyä nollaa


B n2  dS yläp. 
yläp.

B n1  dS alap.  0
alap.
->Magneettivuontiheyden normaalikomponentti Bn on materiaalien
rajapinnassa jatkuva
Bn1  Bn2
r1H n1  r2H n2
Bn
yläp.
alap.
17.09.2012
SATE.11XX.03 / mv
S
dSyläp.
Materiaali 2
dSsivu
dSalap.
Materiaali 1
13 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
normaalikomponentit kahden varauksista vapaan
materiaalin rajapinnalla
Amperen lain mukaan=>
2
3
4
1
1
2
3
4
 H  dl   H  dl  H  dl   H  dl  H  dl  0
17.09.2012
1
2
4
3 Materiaali 1
SATE.11XX.03 / mv
Materiaali 2
14 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
tangentiaaliset komponentit kahden varauksista vapaan
materiaalin rajapinnalla
Annetaan etäisyyksien 2 -> 3 ja 4 -> 1 lähestyä nollaa
3
1
2
4
 H  dl   H  dl
2
4
1
3
 0   H t2  dl 2   H t1  dl 1
->Magneettikentän voimakkuuden H tangentiaalinen komponentti on
jatkuva varauksista vapaiden materiaalien rajapinnassa
B  H
H t1  H t2 
17.09.2012
B t1 B t2

1
2
1
2
4
3 Materiaali 1
SATE.11XX.03 / mv
Materiaali 2
15 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
tangentiaaliset komponentit virtatason ollessa
rajapinnalla
Amperen lain mukaan=>
2
3
1
2
4
1
3
4
 H  dl   H  dl   H  dl   H  dl   H  dl
  J  dS    J se J  dhdle J
S
s
l h
Dh
1
4
17.09.2012
I
2
Dl
SATE.11XX.03 / mv
Materiaali 2
3 Materiaali 1
16 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
tangentiaaliset komponentit virtatason ollessa
rajapinnalla
Annetaan etäisyyksien 2 -> 3 ja 4 -> 1 lähestyä nollaa
3
1
2
4
 H  dl   H  dl
2
4
1
3
 0   H t2  dl 2   H t1  dl 1
I
Virtataso kulkee materiaalien rajapinnassa 
 H t2 Dl  H t1Dl  J S Dl
 Ht 
Dh
17.09.2012
s
JS
2
1
4
l J eJ  dleJ
2
Dl
SATE.11XX.03 / mv
Materiaali 2
3 Materiaali 1
17 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
tangentiaaliset komponentit virtatason ollessa
rajapinnalla
Virtatason JS aiheuttaman magneettikentän voimakkuus H

0,5J S  en1  DH t1
 H  J S  


0,5J S  en2  DH t2
Eli:

e n21  H 1  H 2   J S tai e n12  H 2  H 1   J S


H 1  H 2   e n12  J S tai H 2  H 1   e n21  J S
1
4
17.09.2012
e n12
e n2
e n1
2
Materiaali 2
3 Materiaali 1
e n21
SATE.11XX.03 / mv
18 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuontiheyden
tangentiaaliset komponentit kahden varauksista vapaan
materiaalin rajapinnalla
Yhteenveto:
B  H
Bn1  Bn2  r1Hn1  r2Hn2
en21  H 1  H 2   J S tai en12  H 2  H 1   J S
 D1
en21  
 1

H n1 B n1
=
tan q1 
H
B t1

t1

H n1 B n1

sin
q

=
1

H
B1
1


H
B
J S  0  cos q1  t1 = t1
H1
B1


B n1


B t1
tan q1




tan q2
B n2

B t2

17.09.2012

 D3 D2 
D2 

J
tai
e




  JS
S
n12
2 
 1 2 
ja tan q2 
ja sin q2 
ja cos q2 
B t2
B t1

H n2
H t2
H n2
H2
H t2
H2
r2H t2
r1H t1

=
=
=
z
B n2
B t2
Materiaali 2
2, r2
H2
B n2
B2
en21
B t2
SATE.11XX.03 / mv
en12
H1
B2
r2
r1
q2
1, r1
q1
Materiaali 1
19 / 20
Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka
Täydellisen eristeen ja johteen rajapinta
Dn
+
+
+
17.09.2012
+
+
+
+
+
+
+
+
Dn
+
+
+
+
+
+
+Eriste+
_
_
_
_
_
_
_
_
_
en
_
_
_
_
_
_
_ Eriste
Johde
_
Johde
SATE.11XX.03 / mv
Ht
JS
Eriste
Johde
20 / 20