Transcript Atelier Les Conjectures

Mathématique au secondaire
Journée pédagogique commission
5 novembre 2010
Atelier
Les Conjectures
Lucie Morasse, conseillère pédagogique
Discutons-en…!
?
Êtes-vous à l’aise avec les conjectures?
Qu’est-ce que vous en connaissez?
À quelle fréquence vous les abordez?
Comment les enseignez-vous en classe?
Y a-t-il des champs mathématiques où vous
abordez davantage les conjectures?
Que souhaitez-vous retirer de
l’atelier d’aujourd’hui?
.
Horaire de l’atelier
• AM: Secondaires 1, 2 et 3
• PM: Secondaires 4 et 5
1. Présentations et mot de bienvenue
2. Partie théorique et exemplification
3. Questions de conjectures dans les SAÉ
4. Pause
5. Où trouver le matériel?
6. Cadres d’évaluation: quand?
7. Document sur la « Progression des apprentissages »
8. Régulation des épreuves de juin 2010
9. Évaluation de la rencontre
Déployer un raisonnement mathématique – CD2
C’est quoi?
Comment?
En pratique!
Les conjectures dans les situations d’application
C’est quoi?
Mathématique au secondaire
Définition selon le PFEQ
• Énoncé que l’on pense vrai;
• Relations, énoncés, opinions, conclusions,
etc., implicites ou explicites, qui nécessitent
d’être découvertes, expliquées, généralisées,
prouvées ou réfutées à l’aide de savoirs
mathématiques.
Émettre des conjectures
•
Composante de la compétence
à travailler dans la CD2.
•
C’est l’élément à renforcer
auprès des élèves en 20102011.
•
La composante est au
programme et elle est là pour y
rester.
• Analyser les conditions d’une
situation
• Organiser des éléments choisis
du niveau de concepts et
processus relatifs à la situation
• S’approprier ou énoncer des
conjectures adaptées à la
situation
• Juger la pertinence de
conjectures émises et retenir
les meilleures, au besoin
1. Formuler une conjecture n’est pas un critère d’évaluation
Cr.1: Analyse adéquate d’une situation d’application
Cr.2: Choix des concepts et des processus
Cr.3: Application adéquate des processus retenus
Cr.4: Justification correcte d’actions ou d’énoncés
En CD2, les élèves travaillent seulement des situations de validation et
d’action
Au premier cycle du secondaire, PFEQ
mentionne:
• Que l’élève valide une conjecture en recourant
à des raisonnements généraux tels le
raisonnement par induction, par déduction,
par analogie et à des raisonnements plus
spécifiques liés aux champs mathématiques.
Quels sont ces champs?
•
•
•
•
•
Les proportions
L’algèbre
La géométrie
L’arithmétique
Les probabilités et les statistiques
Quels sont les types de raisonnement?
• Inductif: Il amène l’élève à généraliser à partir
de l’observation de cas particuliers.
• Déductif: Il amène l’élève à tirer une
conclusion à partir d’énoncés considérés
comme vrais. Il englobe le raisonnement par
l’absurde et la disjonction de cas.
• Analogique: Il amène l’élève à percevoir des
similitudes entre divers objets
mathématiques.
L’élève peut aussi…
• Recourir au raisonnement par réfutation à
l’aide d’un contre-exemple qui consiste à
invalider une conjecture émise sans statuer
sur ce qui est vrai.
DÉPLOYER UN RAISONNEMENT
MATHÉMATIQUE
T
SITUATION D'APPLICATION
Raisonnement inductif
Raisonnement déductif
Raisonnement par analogie
Raisonnement à l'aide d'un contreexemple
Raisonnement par disjonction de cas
Raisonnement par l'absurde
propose ou
implique
l'émission
d'une
Raisonnements
généraux
Réseaux de
concepts et de
processus
mathématiques
Conjecture
nécéssite une
arithmétique
algébrique
géométrique
proportionnel
probabiliste
statistique
(Roy, 2006)
Preuve
intellectuelle
Preuve
pragmatique
Raisonnements
spécifiques
Validation
Preuve
indirecte
Preuve
directe
conduit à
une
Conclusion
Modes de
représentation
verbal
numérique
algébrique
tabulaire
symbolique
graphique
Comment?
Mathématique au secondaire
Les 3 niveaux de
conjectures
1. La conjecture est émise et on doit la
démontrer.
2. La conjecture émise n’est pas
complète et on doit la compléter.
3. Tout est à découvrir et on doit
formuler une conjecture.
Les 3 niveaux
Comment reconnaître les tâches
de conjecture?
La conjecture est déjà émise et on
demande de la démontrer
« Dans un prisme, la somme du nombre
de sommets et du nombre de faces est
supérieure de 2 au nombre d'arêtes ».
Démontre, à l’aide d’exemples, que cette
conjecture est vraie.
• Dans le processus de validation de cette conjecture,
supposons que l'élève s'appuie sur plusieurs exemples pour
tirer sa conclusion. Il émettra la conjecture (énoncé,
affirmation) voulant que cette relation est vraie pour tel
prisme, vraie aussi pour l'autre, etc., donc vraie pour
l'ensemble des prismes.
• Ces affirmations (conjectures) peuvent apparaître au fur et à
mesure de la démarche ou être groupées dans la conclusion.
• L'élève devra donc émettre d'autres conjectures et s'appuyer
sur elles pour étaler son raisonnement. Cependant les traces
seront-elles disponibles? Il faut habituer l'élève à laisser des
traces de sa démarche.
La conjecture émise n’est pas complète et on
demande de la compléter
Il existe un type de solides pour lequel
la somme du nombre de sommets et du
nombre de faces est supérieure de 2 au
nombre d'arêtes.
Complète cette conjecture.
La conclusion (ou la démarche) devrait amener l'élève à
reformuler une nouvelle conjecture en la précisant
(identifier les solides en question). Ici le type de solides
pour lequel la conjecture est vraie est à explorer. L’élève
aura à énoncer les conditions (type de solides) qui font
que la conjecture est vraie.
Dans sa démarche, l’élève cherche des conjectures
intermédiaires; il peut chercher à établir la relation entre
le nombre de faces jointes et le nombre d'arêtes
engendrées, entre le nombre de faces et le nombre de
sommets, etc. Parfois il ne les formulera pas car il
n'aboutira pas (il les a réfutées en chemin). Lorsqu'il
cherche une relation intermédiaire, il conjecture sur son
existence possible. La plupart des conjectures restent
implicites. Il faut quand même réussir à en faire expliciter
quelques-unes si on veut observer la pensée.
Tout est à découvrir, la conjecture émise n’est pas
complète (niveau de complexité plus grand) et on
demande de formuler la conjecture
Formule une conjecture décrivant la
relation qui existe entre le nombre de
sommets, le nombre de faces et le
nombre d'arêtes d'un solide.
L'élève doit explorer les types de solides, noter
les données correspondant aux variables
mentionnées, dégager les solides qui montrent
une régularité dans les données, les regrouper
et établir la relation.
Finalement, il doit s'assurer par la suite qu'elle est
valable pour tout prisme et reformuler la
conjecture en tenant compte de ses découvertes
et des façons de considérer tous les aspects de
la situation.
C’est impossible à établir pour la sphère, possible
pour le prisme droit; pas possible pour le cône,
la boule et le cylindre, etc.
En pratique!
Situations de conjectures des épreuves du MELS
Document de travail
• Recueil de situations de
conjectures dans les
différents niveaux tirés
d’exemples et d’épreuves
prototypes du MELS.
La CD2 et les
situations
d’application
Pour conclure !
Sont-elles plus claires pour vous?
Vous sentez-vous mieux outillés pour
les aborder dans votre enseignement?
Est-ce que vous allez modifier votre
façon de les enseigner ?
Les conjectures
Aimeriez-vous approfondir certains
aspects de cet atelier
éventuellement?
Informations importantes
• Dépôt du cadre
d’évaluation par le
MELS: 29 octobre
• Évaluations de juin
2011: sec. 4 et 5 auront
des CD1 et des CD2
(prototype ou appoint)
sec. 1 à 3: CD1, CD2 et
CD3 (épreuves
communes)
• Document sur la
« Progression des
apprentissages »
• Banque de SAÉ du
GRMS
• Informations en maths:
www.recitmst.qc.ca/mat2tic
• Formations sur
l’évaluation: après les
fêtes (février-mars)
Sources d’informations
Littérature du MELS:
•
•
•
•
•
PFEQ
Adapté du document « Questions et réponses sur le contenu
de formation »
Épreuves prototypes
Épreuves d’appoint
Comité d’écriture des échelles de niveaux de compétences
en mathématique, MELS, 2006, créé par Patrick Roy,
collaborateur
Adaptation:
• Document de Karine Roy, conseillère pédagogique à la C.S.
Côte-du-Sud, 2009
Évaluation de la rencontre
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