Transcript 投影片1

Schrodinger Wave Equation
Davos, Swiss 1925
 2  2


 V ( x )   i
2
2m x
t
A total of five papers in 1926
無法如其他的波方程式由介質的性質推導！
根據少數的線索，猜出物質波的波動方程式。
找物質波的波方程式如同解讀一個密碼
解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用
Rosetta Stone
It was created in 196 BC,
discovered by the French in 1799
at Rosetta
找尋波方程式時可以用的線索
正弦波對應於一個不受力的自由粒子
粒子與波的翻譯表
p
h
p  k


E  
E  hf
波函數
  0 sinkx  t 
h
2
粒子與波的翻譯表
E  
p  k
對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的：
p2
E
2m
因此，這個關係也就翻譯為物質波的波長與頻率的關係：
2 2
k  
2m
2
1 h
   hf
2m   
波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係：對一般的波來說
一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是
否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？
 f v
我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。
畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！
一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。
一般的波如何得出色散關係？
考慮正弦波   0 sinkx  t 
 2
2


k

2
x
 2
2



2
t
位置的二次微分，效果如同乘上 k 的二次方
k 的二次方，翻譯為位置的二次微分
時間的二次微分，效果如同 ω 的二次方
ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分
代入波方程式即給出色散關係
 2 1  2
 2
2
x
v t 2
假設我不會導波方程式，
但觀察到色散關係！
1
1
k 2k 2 22 2  2 
v
v
  vk
利用上述翻譯表
由觀察到的色散關係可以猜回波方程式
 f v
這個翻譯方式，對物質波卻行不通：
2 2
k  
2m
右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分
但一次微分後，正弦函數變為餘弦函數

 -  cos kx  t   -  -  sin kx  t 
t
我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！
或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波
sin kx  t   ?
一次微分會交換正弦與餘弦函數
Idea:或許自由粒子的波函數是正弦函數與餘弦函數的某個組合：
  A coskx  t   B sinkx  t 
微分依然會是一個組合
  A coskx  t   B sinkx  t 

   A sin kx  t   B cos kx  t 
t
要求波函數的時間一次微分，可以正比於波函數本身
選擇常數A,B使得右邊中括號中的函數，正比於波函數本身
A sinkx  t   B coskx  t   CA coskx  t   B sinkx  t   C

 C    
t
2 2
k  
2m
  A coskx  t   B sinkx  t 
 2
2


k

2
x
k 的二次方，翻譯為位置的二次微分

 C    
t
ω 的一次方，翻譯為時間的一次微分乘上常數 C
 2 2 2 2
k k   
2m
2m
色散關係即翻譯為此波方程式
 2  2
1 



C

2
2m x
t
成功在望！
解出常數A,B,C：
A sinkx  t   B coskx  t   CA coskx  t   B sinkx  t 
代數關係：
CA  B
CB   A
C 2  1
C  1  i
B  iA
虛數正式進入物理學了！
B  iA
C i
 2  2
1 

 C 
2
2m x
t
 2  2


 i
2
2m x
t
  A coskx  t   B sinkx  t 
薛丁格自由電子的波方程式
  A  coskx  t   i sin kx  t 
自由電子的波函數
  A  coskx  t   i sin kx  t 
這是一個非常有名的數學式子！
  A  ei ( kxt )
i
e  cos  i sin 
Euler’s Formula
e '   sin   i cos  ie
i
i
e ''   cos  i sin   e
i
i
 i 2ei
正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。
ei  ei  cos  i sin   cos   i sin   
cos cos   sin  sin    isin  cos   cos sin   
cos     i sin      ei    
正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。
此定義滿足指數函數所有重要性質！
我們可以更進一步定義複數的指數函數：
ei  cos  i sin 
e  eai  eaei  ea  cos  i sin  
在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角
Im
e i  1
ea
θ
 
d n x
n x
e


e
n
dx
nm  n  m
Re
e a  i  e a
考慮複數的波函數
 
d n x
n x
e


e
n
dx
  0 ei ( kxt )
如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比
n
n



ik

n
x
n
n




i


n
t

 ik
x

 i
t
時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k
稱之為翻譯是因為左手邊的運算作用於正弦物質波波函數，
與右手邊的數乘在該波函數是一樣的
?
 2  2



i

2m x 2
t
2 2
k  
2m
對電子波而言：色散關係：
Schrodinger Wave Equation
終極翻譯表

 ik
x

 i
t
p  k

 i
p
x
E  

i  E
t
動量翻譯為空間微分運算
能量翻譯為時間微分運算
p2
E
2m
2 2



i

2m x 2
t
 2  2



i

2m x 2
t
運算得運算於某個東西之上
粒子
波動
終極翻譯表
p  i 

x
E  i

t
動量翻譯為空間微分運算
能量翻譯為時間微分運算
粒子
波動
物理量
運算
以此指數三角函數來構造自由電子的波函數
  0 ei (kxt )  0 coskx  t   i sinkx  t 
波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！
實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！
因此干涉條紋與古典波類似！
如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？
此時動量與能量的關係要修改為：
p2
V  E
2m
 i
i

p
x

E
t
電子波波方程式
?
22 22 




V
(
x
)

i


V
(
x
)


i

2
22m
t
m x x 2
t
Schrodinger Wave Equation
Schrodinger Wave Equation
 2  2


 V ( x )   i
2
2m x
t
給定起始條件，波函數可以完全被決定，沒有不確定性！
但波函數不是可以測量的物理量。
因為有虛數係數，波函數必須是複數！
波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。
i ( kxt )
  0 e
I  02   ( x, t )
2
但波強度對單次實驗無預測效果，波強度只能預測機率！
P( x)  dx   ( x, t )  dx
2
時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率
x x  dx
b

a
 dx 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率
2
發現該粒子的總機率必需等於 1
歸一化條件 Normalization Condition

 P( x)  dx 


 ( x) dx  1
2

這個是波函數在薛丁格方程式以外必須滿足的額外的條件
雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！
但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！
薛丁格方程式的解
固定能量解
定態 Stationary State
獨立演化的微觀系統狀態
定態 Stationary State
在定態中，所有對電子的測量結果，與時間無關！
牛頓力學中，唯一的定態，就是靜止狀態！
量子力學中，卻有許多定態。
波爾的原子模型中的電子穩定軌道即是定態！
電子只能選擇某些符合量子化條件的軌道形成暫定狀態
L  n
電子在定態之間躍遷，釋放的能量以一個光子釋出。
定態並不一定穩定，電磁場使為定態的激發態，成為不穩定
Stationary 駐立
Stable 穩定
一般而言，觀察的巨觀儀器與被觀察的微觀系統，在尺度上有巨大差異！
最新的奈米實驗已漸漸模糊兩者的界線
?
巨觀的儀器無法長期地追蹤微觀的系統
只能於前後作設定及測量
在兩者之間微觀系統就獨立地演化
或者之前獨立演化的微觀系統
在巨觀儀器干擾後，躍遷至另一狀態
獨立的微觀系統能量不變，因此一定處於固定能量解！
固定能量解
能量為一定值 E 的解，能量沒有不確定性！（描述能量守恆的獨立系統）
這些解因為能量固定，具有固定頻率： f 
E
h
固定能量解與能量的關係為何？
以能量完全確定的自由電子為例
  0 e
i ( kxt )

 0 e
ikx
 e
E
i t

時間函數與空間函數分離！
讓我們大膽猜想所有固定能量解與能量的關係都具有同樣的形式
( x, t )   ( x)  e
E
i t

  ( x)  e
i t
E


( x, t )   ( x)  e
E
i t

固定能量解的波函數為時間的指數函數：波函數的變化率正比於波函數本身
 
 i   ( x, t )  E   ( x, t ) 這是固定能量解的正式條件
 t 
時間微分運算對這些解來說和常數乘積一樣！
而時間微分是量子世界的能量，對這些解，現在回到古典一樣，只是數
所以對這些解，能量像古典一樣，只能是 E 這一個值
能量的測量，沒有不確定性！ E  0
固定能量解正好描述定態
( x, t )   ( x)  e
E
i t

機率密度 P   2   ( x)e
E 2
i t

  ( x) e
2
E 2
i t

可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！
  ( x)
2
與時間無關
固定能量解的時間部分與空間部分會分離：
與空間的關係，可以寫成一個方程式：
( x, t )   ( x)  e
E
i t

代入薛丁格方程式
 2  2



V
(
x
)


i

2m x 2
t
i t
i t
 2 i  t d 2


e
 V ( x)  e  ( x)  E  e   ( x)
2
2m
dx
E
E
位置函數 ψ(x) 滿足此常微分方程式：
d 2 E 2m
 2 V ( x)  E  E ( x)
dx2

E
與時間無關之薛丁格方程式。
定態所滿足的方程式：
d 2 E 2m
 2 V ( x)  E  E ( x)
2
dx

對那一些能量 E，方程式可以得到解
解出位置函數 ψ(x)， 整個波函數就都知道了！
E ( x, t )   E ( x)  e
E
i t

牛頓力學可以描述系統變化的軌跡。
量子力學只能討論兩個定態之間的躍遷。
了解這些定態便是討論的第一步！
旅行波
自由電子
當電子受力為零時，位能V 是一常數， V ( x)  V0 假設 E  V0
2
 2m2
dd2
2



V

E



k



k

0
2
22
dx

dx
2m
E  V0 
k
2

其解很簡單，二次微分後與自己成正比，就是指數函數
a 2  k 2
a  ik
動能
e ax
 
d n x
n x
e


e
n
dx
 ( x)  Aeikx  Beikx
這是二次微分方程式，上式有兩個未知係數，因此已經是最普遍的解了
自由電子
 ( x)  Aeikx  Beikx
完整的波函數
( x, t )   ( x)  e
it
i ( kxt )
 Ae
i ( kxt )
 Be
分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波
這就是德布羅意所寫下的物質波所具有的性質
2m
E  V0 
k
2

E


但它既有實數部也有虛數部（這是德布羅意不知道的！） 波速不是定值
  A ei ( kxt )  A  coskx  t   i sinkx  t 
  A ei ( kxt )  A  coskx  t   i sinkx  t 
k
2


p
2m
E  V0 

2


單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定
與一般的波不同，它有虛數部！
單一方向傳播的電子波機率密度為一常數
P   ( x, t )  A 2
2
動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數
它的位置是完全無法確定的。
因為沒有任何位置資訊，所以稱它為沿+x方向運動並不確實，
它只是擁有+x方向的動量，並沒有任何東西是在傳播之中。
波函數的相位波形是在傳播，但那不是可觀察的物理量。
所以物質波並不是一個傳播的波
1 2 p2
E  mv 
2
2m
p  2mE
h

以0.1c光速移動的電子
2m E
p
h

  7.281011 m
電子波的波長大致是原子尺度，極小，因此在日常生活無法察覺！
極小的波長，使電子波顯微鏡鑑別度極高！
單一方向傳播的自由電子波機率密度為一常數
P   ( x, t )  A 2
2
動量完全確定，位置完全不確定
完全全球化的狀態
我們觀察到的粒子總是得有一些地方特色：區域性！
動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。

它無法滿足歸一化條件
  ( x)

2
dx 

A
2
 dx  

它的機率分佈是一個常數，但總機率是有限的（等於1），
那麼在任何一點的機率密度只能是無限小。
現實世界的粒子總是得有一些區域性，
現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。
要製造出波包，動量就不可能完全精確，因此不能是單一波長
疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在空間中的一個
區域之內，稱為波包。

( x, t )   A(k )  ei kxt    A(k )  ei kxt  dk
k

如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，
寬度即是動量不準度。
波包的寬度
Δk
波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。
Δx
x  k 
測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來
1
2
Δk
Δx
波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。
但因為波包的動量分佈也大概集中於一個平均值的附近，
若是計算一些對動量不太敏感的物理量，
以一個正弦（複數）電子波來近似波包，通常效果不錯！
波包波函數的實部與虛部
波包並不是定態，而是類似的定態的疊加
所以位置的平均值會移動！
移動速度正是古典的電子速度。
波包不是固定能量態，
而是能量相近的定態的疊加，
所以波包會擴散！
原來較窄的波包，擴散較快！
原來較寬的波包，擴散較慢！
粒子狀的態的波函數
a

0面積不變
x
波狀的態的波函數
兩者都是波包的極端情況
動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。
現實世界觀察到的粒子總是得有一些區域性，
現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。
如果位置的要求不是極度精準，動量的不準度無須極大
以單一動量的理想電子波，來近似真實的粒子，誤差並不大！
階梯狀位能，反射與透射
階梯狀位能
V  0 for x  0
V  V0 for x  0 E  V0
反射與透射
在兩個區域內分別都是自由粒子，正弦波解可以適用：
由右入射一個正弦波，在邊境產生向右的透射波，即向左的反射波
 ( x)  Aeik x  Beik x
1
1
x0
k1  2mE  /  2
 ( x)  Ceik x
2
k2  2mE  V0  /  2
入射波
反射波
x0
k1  k2
透射波
1  2
機率分布
反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。
以波包來描述粒子的反射與透射！
將一群前一頁的固定能量解（能量有略為差距），疊加形成波包，
你應該會預期有一反射波包及一個透射波包。
古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。
波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。
古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！
一個粒子分成兩個？
這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，
有可能發現它往右運動，也有小部分機率會
發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。
如果是一束電子，波的強度就是電子數的分布！
Tunneling effect
如果
E  Vo
E  Vo
古典的粒子根本不能存在這樣的區域
繼續使用同樣的解
 ( x)  Ceik x
k2  2mE  V0  /  2
2
角波數為虛數
k  i  eikx  ex
然而在量子力學中，波函數還是有解，
只是此時不再是正弦波，而是指數函數
另一種方法是直接看波方程式：
d 2 2m
2
2





V

E




0
2
2
dx

2m
V0  E 

2
 ( x)  Aex  Bex
P     ( x )e
2
E 2
i t

  ( x) e
2
E 2
i t

  ( x)
2
現在機率密度
不再是常數了！
 ( x)  Aeik x  Beik x x  0
1
 ( x)  Ce
x
1
x0
P   ( x)  C 2 e 2x
2
電子波會以指數遞減
的程度滲入古典粒子
無法進入的區域！
能量較低的波包撞擊位階時，波會滲入禁止區，
但在碰撞過後而言，滲入的部分就會消失，
反射波包的行為如同一個古典的反彈粒子。
但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去，
在位能壘後方形成一個自由粒子波！
穿隧效應 Tunneling Effect
穿牆人 Le Passe-Muraille
Marcel Aymé, 1943
L
在位壘中
穿透的振幅
 ( x)  Aex
  ( L)  AeL
Tunneling effect 穿隧效應
在位壘中
 ( x)  Aex
機率密度   Aex e it
2
2
   A e 2x
2
2
隨距離而指數遞減。
穿透機率 T   ( L, t )   ( L)  e
2
2
一個電子有這麼多的機率會穿透，其餘的機率則反彈回來！
2L
Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM
T e
2L
石墨表面的碳原子
Xenon Atoms
原子核的 α 衰變
以上的例子都對應到古典的自由態粒子
古典的束縛態則對應到駐波，
有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的
盒子中之自由電子 Particle in a box
邊界條件：
 (0)  0  ( L)  0
盒子中之自由電子 Particle in a box
無限大位能井，在井中如自由電子
邊界條件：
邊界內，就如同自由電子
 (0)  0  ( L)  0
d 2 2m
2m
2



V

E



E



k

0
2
2
2
dx


有邊界之自由電子
d 2 2m
2m
2



V

E



E



k

0
2
2
2
dx


 ( x)  Aeikx  Beikx
 (0)  0
邊界條件：
 (0)  0  ( L)  0
A B  0
 ( x)  Aeikx  Aeikx
 A  cos kx  i sin kx  A  cos kx  i sin kx
 2iA
 sin
( x)kx
 C sin kx
 ( L)  0
 ( L)  C  sin kL  0
kL  n
 n 
x
L


 n ( x)  C  sin

2L
n
這是實數函數，結果與弦波駐波的振幅一模一樣！
n 

y   2 ym sin
x   cos t
L 

有邊界之電子束縛態形成駐波
 n 
 n ( x)  C  sin
x
 L 

2L
n
電子束縛態波函數有虛數部
 n
n ( x, t )  C  sin
 L
 i n t
xe

E

2L
n
能量量子化，能量由量子數 n 標定
2
h
h

 2
h
 
n
En  
2 
p
2m E
 8mL 
這是量子束縛態的一般特徵！
基態的動量不為零
電子是靜不下來的！
這是測不準原理的結果。
波被限制於一個範圍內
波是蔓延於整個空間中，它會感覺到整個空間
因此它會感覺到限制，
被限制的波的狀態如駐波般就會是分立而非連續的！
相反的，粒子則只占據空間中的一個點，
它不可能感到空間的限制，
它的狀態變通常是任意而連續的！
能階躍遷
粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。
hf  E
量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！
機率密度
2
2
 n 
P( x)   n ( x)  C sin 2 
x
 L 
節點處 P 永遠為零，在節點處永遠
不可能發現該電子！
量子數 n 減一即是節點數目！
節點
L
 dx  
總機率必須等於 1
( x)  1
2
n
0
歸一化條件可以解出係數 C
2

2  n
dx

P
(
x
)

dx


(
x
)

dx

C
sin
x


n
0
0
0
 L 
L
L
L
2

 n
1

cos

L

2
 L
 C   dx  
2

0

C 
2
L

x
  C 2  L 1
2


2
 n
 n ( x) 
 sin
L
 L

x

 h2  2
n
En  
2 
 8mL 
有限大位能井
電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階
電子不被拘限於一定區域時，能量為連續
減諧振盪器
d 2 2m
 2 V ( x)  E  
2
dx

V ( x) 
1 2
kx
2
Energy is quantized
1

En   n    
2

n = 11 State
For large n, the quantum probability is
similar to the classical one.
Molecular Vibration
A particle in a capacitor