Transcript Information Theory

前回の復習
情報をコンパクトに表現するための符号化方式を考える
情報源符号化における基礎的な性質
一意復号可能性
クラフトの不等式
瞬時復号可能性
𝑘 −𝑙1 + ⋯ + 𝑘 −𝑙𝑀 ≤ 1
ハフマン符号の構成法
D. Huffman
1
ハフマン符号
符号木を再帰的に構成し，符号を作る
A
B
C
D
E
F
A
0.3
B
0.2
C
0.2
確率 符号語
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0.1 0.1 0.1
D
E
F
平均符号語長は...
0.3 × + 0.2 × 0.2 ×
+ 0.1 × +0.1 × +0.1 ×
=
2
今日の講義の方向性
情報源符号が目指すべきもの
瞬時復号可能性
クラフトの不等式
𝑘 −𝑙1 + ⋯ + 𝑘 −𝑙𝑀 ≤ 1
平均符号語長の最小化
この制約の範囲内で，平均符号語長
𝑀
𝑝𝑖 𝑙𝑖
𝑖=1
を最小化することを考える
3
あらすじ
1.
平均符号語長の下界を示す
2.
シャノン・ファノ符号の紹介
「下界に迫る」平均符号語長を持つ符号
ハフマン符号との関係
3.
情報源の拡大と情報源符号化定理
Robert Fano
1917-
4
最初の目標
約束事：
定常無記憶情報源 𝑆 の発生する記号を一個ずつ符号化
記号は𝑀通り，各記号の発生確率は 𝑝1, … , 𝑝𝑀
瞬時復号可能な符号を考え，平均符号語長を 𝐿 で表す
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
シャノンの補助定理（２回目の講義で紹介）を利用して証明
𝑞1 + ⋯ + 𝑞𝑀  1 を満たす非負数 𝑞𝑖 に対し，
𝑀
𝑀
−𝑝𝑖 log 2 𝑞𝑖 ≥
𝑖=1
−𝑝𝑖 log 2 𝑝𝑖
𝑖=1
5
補題１の証明
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
符号語の長さを 𝑙1 , … , 𝑙𝑀 とし，𝑞𝑖 = 2−𝑙𝑖 とする
𝑙𝑖 = − log 2 𝑞𝑖
𝑀
𝐿=
𝑞1 + ⋯ + 𝑞𝑀
= 2−𝑙1 + ⋯ + 2−𝑙𝑀 ≤ 1
（クラフトの不等式）
𝑝𝑖 𝑙𝑖
（シャノンの補助定理）
𝑖=1
𝑀
=
𝑀
−𝑝𝑖 log 2 𝑞𝑖
𝑖=1
≥
−𝑝𝑖 log 2 𝑝𝑖 = 𝐻1 (𝑆)
𝑖=1
6
補題１の意味するところ
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
情報源 𝑆 の発生する記号を符号化するためには，
必ず 𝐻1 𝑆 ビットの平均符号語長が必要
どれだけ高速なコンピュータや，どれだけスゴイ天才が
将来出現しても，𝐻1 (𝑆)ビットの壁を超えることはできない
エントロピー... 統計的に導かれた「情報理論的な量」
平均符号語長の下界...データ圧縮の限界という「操作的な量」
... 情報理論は，情報に関する「普遍的な物理法則」を与える
7
下界への到達可能性
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
𝐻1 (𝑆)は，あくまでも平均符号語長の「下界」
次の疑問... どこまで𝐻1 (𝑆)に迫ることができるのか？
補題２：平均符号語長が𝐿 < 𝐻1(𝑆) + 1となる符号を構成可能
シャノンとファノが，独立に発見した符号の構成法
⇒ シャノン・ファノ符号
（本講義では，シャノン・ファノ符号のアイデア部分だけを説明）
8
補題２の証明
補題２：平均符号語長が𝐿 < 𝐻1(𝑆) + 1となる符号を構成可能
5
符号の構成方法：
step 1: 𝑙𝑖 = ⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉として，符号語の 4
長さを決定する
3
step 2: 深さ 𝑙1 , … , 𝑙𝑀 に葉を持つ符号木を 2
構成する
1
step 3: 符号木から符号語を決定する
0
確認すべき事項：
本当に符号木が構成できるのか？
平均符号語長は？
− log 2 𝑝𝑖
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
⌈𝑥⌉…𝑥以上の整数
𝑝𝑖
9
補題２の証明（続）
本当に符号木が構成できるのか？
＝ 𝑙𝑖 はクラフトの不等式を満たすのか？
𝑙𝑖 = ⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉ より 𝑙𝑖 ≥ − log 2 𝑝𝑖
さらに変形すると，2−𝑙𝑖 ≤ 2log2 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖
2−𝑙1 + ⋯ + 2−𝑙𝑀 ≤ 𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑀 = 1
平均符号語長は？
𝑙𝑖 < − log 2 𝑝𝑖 + 1であることを利用する：
𝑀
𝐿=
𝑀
𝑝𝑖 𝑙𝑖 <
𝑖=1
𝑝𝑖 (− log 2 𝑝𝑖 + 1)
𝑖=1
𝑀
=
𝑀
−𝑝𝑖 log 2 𝑝𝑖 +
𝑖=1
𝑝𝑖 = 𝐻1 𝑆 + 1
𝑖=1
10
補題２に関する補足
前スライドの証明では...符号木以降の議論を省略
シャノン・ファノ符号...具体的な符号木の作り方までを規定
確率を 2進数表記したときの，小数部に着目
「証明のために構成された符号」の色合いが強い
「一番効率が良い」わけではない
たとえば，𝑀 = 2, 𝑝1 = 0.9, 𝑝2 = 0.1の場合...
シャノン・ファノ符号では，𝑙1 = 1, 𝑙2 = 4
ハフマン符号では，𝑙1 = 1, 𝑙2 = 1
11
補題１＋２
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
どんな符号を使っても越えられない壁
補題２：平均符号語長が𝐿 < 𝐻1(𝑆) + 1となる符号を構成可能
シャノン・ファノ符号を使えば，下界に迫ることが可能
ハフマン符号の位置づけは？
vs.
12
ハフマン符号の最適性
最適符号 ＝ 平均符号語長を最小にする瞬時符号可能符号
定理：ハフマン符号は最適符号である
... 予備的な補題 ＋ 数学的帰納法で証明する
補題：ハフマン符号の符号木，最適符号の符号木とも，
確率最小の2記号は，最も深いレベルに兄弟として存在する
子が1個の節点は
...背理法で証明可能（証明略）
存在しないはず
もし，ここの確率が小さければ...
より深いところと交換して，
平均符号語長の削減が可能
13
証明：ハフマン符号は最適符号である
記号数 𝑀 に関する帰納法で証明する
𝑀 = 1のとき ... 自明
𝑀 = 𝑁以下で定理の成立を仮定，𝑀 = 𝑁 + 1の場合を考える
ハフマン
符号の
符号木
平均符号語長
𝐿 ≥ 𝐿opt のはず...
𝐿
𝑝𝑁
最適符号の
符号木
𝐿opt
𝑝𝑁+1
𝑝𝑁
𝑝𝑁+1
確率最小の2記号を併合
𝐿 − (𝑝𝑁 + 𝑝𝑁+1 )
𝑝𝑁 + 𝑝𝑁+1
𝐿opt − (𝑝𝑁 + 𝑝𝑁+1 )
𝐿 ≤ 𝐿opt
したがって 𝐿 = 𝐿opt
𝑝𝑁 + 𝑝𝑁+1
14
補題１＋２，改良版
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
どんな符号を使っても越えられない壁
補題２：平均符号語長が𝐿 < 𝐻1(𝑆) + 1となる符号を構成可能
ハフマン符号を使えば，下界に迫ることが可能
𝐻1 𝑆 ≤ 𝐿opt = 𝐿Huffman ≤ 𝐿Shannon⋅Fano < 𝐻1 𝑆 + 1
15
2ページの例で確認
符号木を再帰的に構成し，符号を作る
平均符号語長は 𝐿Huffman = 2.5
A
B
C
D
E
F
確率
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
符号語
00
10
11
010
0110
0111
エントロピーは
𝐻 𝑆 = −0.3 log 2 0.3 − 0.2 log 2 0.2 − ⋯ − 0.1 log 2 0.1 = 2.45
𝐻1 𝑆 ≤ 𝐿opt = 𝐿Huffman ≤ 𝐿Shannon⋅Fano < 𝐻1 𝑆 + 1
2.45
2.5
?
3.45
16
シャノン・ファノ符号の場合
5
4
3
𝑙𝑖 = ⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉
2
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
− log 2 𝑝𝑖
𝑝𝑖
A
B
C
D
E
F
確率
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
𝑙𝑖
2
3
3
4
4
4
符号語 vs. ハフマン
00
00
010
10
100
11
1011
010
1100
0110
1110
0111
𝐿Shannon⋅Fano = 0.3 × 2 + ⋯ + 0.1 × 4
= 3.0
𝐻1 𝑆 ≤ 𝐿opt = 𝐿Huffman ≤ 𝐿Shannon⋅Fano < 𝐻1 𝑆 + 1
2.45
2.5
3.0
3.45
17
ここまでのまとめ
補題１：平均符号語長は必ず 𝐿 ≥ 𝐻1 (𝑆) となる
どんな符号を使っても越えられない壁
補題２：平均符号語長が𝐿 < 𝐻1(𝑆) + 1となる符号を構成可能
ハフマン符号を使えば，下界に迫ることが可能
𝐻1 𝑆 ≤ 𝐿opt = 𝐿Huffman ≤ 𝐿Shannon⋅Fano < 𝐻1 𝑆 + 1
この +1 が気になる
18
符号化の単位とブロック化
1個の記号を，1個の符号語に変換する
平均符号語長は，必ず 1以上となる
2元情報源の符号化を考えても，意味がない
A B A C C A
記号
確率 C1 C2
A
0.8
0
1
0 10 0 11 11 0
B
0.2
1
0
1.0 1.0
平均符号語長
複数の記号をまとめて符号化（ブロック符号化）すると...
1記号あたりの平均符号長を１以下にできるかも...
2元情報源の符号化にもチャンスが... A B A C C A
10
1101 01
19
ブロック符号化のイメージ
記号の系列
ABCBCBBCAA...
ブロック化
ブロック化された AB CBC BB CAA...
記号の系列
ハフマン符号化
符号語系列
01 10 001 1101...
（実際には，符号語の間のスペースはナシ...）
20
ブロック符号化の例（２－１）
確率 符号語
0
A 0.8
1
B 0.2
AA
AB
BA
BB
確率 符号語
0.64
0
0.16 10
0.16 110
0.04 111
平均符号語長は
0.8×1 + 0. 2×1 = 1.0
長さ２のブロックを考える
AAの発生確率 = 0.8×0.8=0.64 ....
平均符号語長は
0.64×1 + 0.16×2 + ... + 0.04×3 = 1.56
記号1個当たりでは，1.56 / 2 = 0.78
⇒ 2元情報源でも，効率改善
21
ブロック符号化の例（２－２）
AAA
AAB
ABA
ABB
BAA
BAB
BBA
BBB
確率
0.512
0.128
0.128
0.032
0.128
0.032
0.032
0.008
符号語
0
100
101
11100
110
11101
11110
11111
長さ３のブロックを考える
AAAの発生確率 = 0.83=0.512 ....
平均符号語長は
0.512×1 +... + 0.008×5 = 2.184
記号1個当たりでは，2.184 / 3 = 0.728
ブロック長 1記号あたり平均符号語長
1
1.0
ブロック長を大きくすると，
2
0.78
1記号あたり平均符号語長は 3
0.728
小さくなる（効率が良くなる）
:
:
22
ブロック符号の平均符号長
ブロック長を大きくすると，1記号あたり平均符号語長は小さくなる
... ただの偶然?
𝑛個単位でブロック化した記号＝𝑛次拡大情報源 𝑆 𝑛 の記号１個
⇒ 「記号を 1個ずつ符号化する」場合の
議論が適用できる
ブロック長 𝑛 のときの平均符号語長を 𝐿𝑛 とすると
平均符号語長は必ず 𝐿𝑛 ≥ 𝐻1 (𝑆 𝑛 ) となる
平均符号語長が 𝐿𝑛 < 𝐻1 𝑆 𝑛 + 1となる符号を構成可能
23
不等式の変形
𝐻1 𝑆 𝑛 ≤ 𝐿𝑛 < 𝐻1 𝑆 𝑛 + 1
𝑛で割る
𝐻1 𝑆 𝑛
𝐿𝑛 𝐻1 𝑆 𝑛 + 1
≤
<
𝑛
𝑛
𝑛
極限を取る
𝐻1 𝑆 𝑛
𝐿𝑛
𝐻1 𝑆 𝑛 + 1
lim
≤ lim
< lim
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛
𝑛→∞
𝑛
𝑛
極限エントロピーで表現する
𝐿𝑛
𝐻 𝑆 ≤
<𝐻 𝑆 +𝜖
𝑛
1記号あたりの平均符号語長
24
情報源符号化定理
情報源𝑆に対し，瞬時復号可能な符号を構成する
構成した符号の，1記号あたりの平均符号長を𝐿とする
𝐿𝑛
𝐻 𝑆 ≤
<𝐻 𝑆 +𝜖
𝑛
シャノンの情報源符号化定理
【逆定理】 𝐿 < 𝐻(𝑆)であるような符号は存在しない
【順定理】 𝐿が𝐻(𝑆)に限りなく近い符号を構成することができる
25
情報源符号化定理の意味するところ
【逆定理】 𝐿 < 𝐻(𝑆)であるような符号は存在しない
⇒どれだけブロック長を大きくしても，エントロピーの壁は
越えられない
【順定理】 𝐿が𝐻(𝑆)に限りなく近い符号を構成することができる
⇒ブロック長を大きく設定し，ハフマン符号を使えば，
いくらでも下界に近づくことができる
確率 符号語
0
A 0.8
1
B 0.2
H(S) = 0.723
ブロック長 一通報あたり平均符号長
1
1.0
2
0.78
3
0.728
:
:
0.723 + 𝜖
26
別視点からの説明
ブロック化すると，どうして効率が良くなるか？
理想的な符号語長は実数値 𝑙𝑖 = −log 2 𝑝𝑖
𝑝1 = 0.8, 𝑝2 = 0.2 の場合，理想的な符号語の長さは...
0.8𝑙1 + 0.2𝑙2 → min
s.t. 2−𝑙1 + 2−𝑙2 ≤ 1
𝑙1 = − log 2 0.8 ≈ 0.322
𝑙2 = − log 2 0.2 ≈ 2.322
現実には，符号語長は整数値しか許されない
シャノン・ファノ符号の場合，𝑙𝑖 = ⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉
⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉
倍になる
符号語長は，理想的な場合の
− log 2 𝑝𝑖
27
別視点からの説明（続）
15
確率値が大きくなると，
理想と現実のギャップが顕著に 10
⌈− log 2 𝑝𝑖 ⌉
− log 2 𝑝𝑖
5
𝑝𝑖
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
ブロック化すると...
各記号の発生確率が比較的小さくなる
理想と現実の間に多少ギャップがあっても，
「1記号あたり」で考えるために 𝑛で割れば，影響は小さくなる
28
本日のまとめ
シャノンの情報源符号化定理
【逆定理】 𝐿 < 𝐻(𝑆)であるような符号は存在しない
【順定理】 𝐿が𝐻(𝑆)に限りなく近い符号を構成することができる
情報源をブロック化し，ハフマン符号を使えばよい
理論的に完結しているが，実用上の問題は残る
符号化・復号の（時間・空間）計算量削減
前提条件の緩和（確率分布が未知のケース etc.）
「可逆でない」情報源符号化
⇒ 続きは，III 期の「符号理論」で...
29
練習問題
ハフマン符号を構成するプログラムを作成せよ
さらに，拡大情報源に対して利用できるよう改良せよ
30