Transcript Document

代數
The following slides
were used in the first
briefing

代數是使用符號代表未知數，並且利用運
算的規律來解決問題的數學方法。

代數是解決日常生活中數學問題的有效工
具。

古代代數簡介

什麼是運算規律?
古埃及代數

十九世紀時，考古學家於埃及底比斯(近尼羅河 )的廢墟中發現古埃及紙
草書。

當中有不少數學著作，當中包括公元前 1650 年左右著作的《萊因德紙
草書》﹝Rhind Papyrus﹞，屬於世界上最古老的數學著作之一。

公元 1858 年由英國的埃及學者萊因德﹝A. H. Rhind﹞購得，故名 。現
藏於倫敦大英博物館。

紙草書的卷首載錄了 2/n 的分數分解表，接著列出了 87 個問題，每個
問題都給出了解答。

當中涉及許多實際問題， 其中18 條是代數問題，大多數都是同類形的，
問題內容都可歸為一元一次方程問題。

並無依據古埃及人能解一次方程以外的問題。

如第 24 題為:
1
x

x  19
解方程：
7
1
1
1
1
求得 x  7  
   16 

2 
4
8
2
8


如第 40 題為：「把 100 個麵包分給 5 個人，使每人所得成等差數列，且使最
大的三份之和的七份之一是最小的兩份之和，問各得多少？」

如第 79 題為：「 一個人，他的財產包括七個房間，每個房間飼養七隻貓，每
隻貓捕捉七隻老鼠，每隻老鼠吃七串麥穗，每串麥穗能生產七赫克特（古埃及
的容量單位）的麥。請問在這份財產中，房子、貓、老鼠、麥穗和穀物總共有
多少？
古巴比倫代數

十九世紀時，考古學家在美索不達米亞（現伊拉克境內）發現了很多古
巴比倫時代（公元前2000 -1600年）的粘土泥板

在這大量的泥板中，有很多是關於數學的，大部分是數學問題和解題方
法，或數學用表，例如乘法表、平方表等等。

數學泥板上所刻的問題和解題方法，大多數都是同類形的，一般和解二
次方程有關。

古巴比倫人的解題方法只包括一連串只涉及已知數的算術計算，並沒有
用到符號。他們也沒有在問題泥板上提到算法背後的理據，但解題方法
的正確性卻在大量相似問題中的應用得到了印證。

古巴比倫人在四千多年前，除了已懂得解一次方程，還能解較難的二次
方程，這反映了古巴比倫人高超的數學水平。
我們可以用現代代數符號來展示一些古巴比倫人研究過的典型的方程和方
程組：
 x  y  a,

xy  b.

 x  y  a,

xy  b.

x 2  c  bx
x 2  c  bx
方程中的
a, b, c 都是代表問題中的已知數，而 x, y 則是要求的未知數。
（古巴比倫人的問題) 長、闊。我把長闊相乘，得到面積: 616。我再把長闊相加: 50。 問：長、
闊。
解答：
從代數的角度來看，如果我們用
下的方程組：
x
代表未知數"長"， y 代表未知數"闊"，那麼問題就等同解以
 x  y  50,

 xy  616 .
古巴比倫人解決這個問題的算法如下：
步驟
"我把長闊相乘，得到面積： 616。我再把長闊相加：
50。"
1
把 50 除以 2
2
把 25 與它自己相乘
25 × 25 = 625
3
625 減去 616
625 - 616 = 9
4
把 9 開平方
√9 = 3
5
那麼長就是 25 + 3，闊就是 25 – 3
25 + 3 = 28
25 - 3 = 22
算式
50 
1
 25
2
古希臘代數(公元前500年)

古希臘的哲學文化直接影响了當時數學的發展。

古希臘哲學/數學家把數學公理系统化 。

古希臘卓越的幾何學明顯地從數學中分離出來，更使純算術的或代數
的問題都被轉譯為幾何語言，發展出幾何代數 。

如量被解釋為長度，兩個量之積解釋為面積等。現代數學中仍稱二次
方「平方」，三次方為「立方」。

代數問題的幾何解法很有啟發性，可以直觀地從轉化成的幾何構作問
題中看出問題的解法

幾何也是證明代數恒等式的非常有效的工具。
（古希臘問題） 解方程： 15 x  5  12
解答:
在古希臘數學家看來，解這個方程就是要構作一個一邊長 15
，一邊長 x 的長方形，使得這個長方形的面積與長為 12，
闊為 5 的長方形的面積一樣。
方程的解可從以下逐步構作的長方形中求得：
古希臘人指出，圖中線段 BP 的長度就是方程 15x = 5 x 12 的解。
這是因為，對角線 AF 等分矩形 AEFC，對角線 AP 等分矩形 ABPG，
而對角線 PE 等分矩形 PHFD，所以我們可以看到，矩形 BEHP 的面
積和 GPDC 的面積是一樣的。也就是說，矩形 AEHG 的面積等於矩
形 ABDC 的面積，也就是 5 × 12。所以，我們需要構造的矩形的另一
條邊的長度，就是 BP 的長度。
（古希臘問題） 證明恒等式：
(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  b2  2ab
題解:
古希臘數學家只是簡單地構作了下圖來證明這恒等式：
上圖告訴我們，邊長是 (a + b) 的正方形的面積 (a + b)2，必定等於它裏
面的四個距形的面積的總和： a2 + b2 + 2ab.
The following slides
were used in the second
briefing
9998  4111  2  ?
9998  4111  2
 14109  2
 14111
9998  4111  2
 9998  2  4111
 10000  4111
 14111
234588  3457  367  234588  3457  ?
234588  3457  367  234588  3457
 238045  367  234588  3457
 238412  234588  3457
 3824  3457
 367
234588  3457  367  234588  3457
 (234588  234588 )  (3457  3457 )  367
 0  0  367
 367
39994  4837  ?
39994  4837
 39994  6  6  4837
 40000  6  4837
 40000  4837  6
 44837  6
 44831
在加減運算中，各數的次序可以隨意調動，
而不會影響計算結果?
87  25  4  ?
87  25  4
 (87  25)  4
 2175  4
 8700
87  25  4
 87  ( 25  4)
 87  100
 8700
3  5  5  3?
11  14  14  11?
23684  78652  78652  23684 ?
數字相乘時，各數的次序可以隨意調動?
問題:
志明到A 商店購買了13個氣球、 到 B 商店購買了21個氣球、 到 C 商店購
買了14個氣球、 到 D 商店購買了8個氣球、 到 E 商店購買了35個氣球、
到 F 商店購買了3個氣球和到 G 商店購買了6個氣球，合共100個氣球。各
商店的氣球售價同樣是 6元一個，那麼購買這些氣球共需要多少元？
(13  6)  (21  6)  (14  6)  (8  6)  (35  6)  (3  6)  (6  6)
 78  126  84  48  210  18  36
 600元
(13  21  14  8  35  3  6)  6
 100  6
 600元
一個數乘以多個數之和，跟這個數分別乘以這多
個數再相加的結果是一樣?