Transcript Функцией
Предел и непрерывность функции
одной переменной
Понятие функции
X ,Y R
f : X Y
Функцией называется отношение f : X Y , при котором
каждому элементу множества X ( x X )
соответствует единственный элемент множества Y ( y Y ).
y = f(x)
Х – область определения функции;
x – аргумент;
E { y Y : y f ( x), x X } -множество значений функции.
Равенство функций
Функции f и g равны, если
1) области определения совпадают;
2) f ( x) g ( x) x X .
Пример:
f ( x) x x
2
g ( x) x
2
0 x 1
f ( x) g ( x)
Примеры.
1. Последовательность
{a n }.
f :N R
f (n) an
2.
y n!
(«эн-факториал»)
f : Z R
f (n) 1 2 3 4 ... n
0! 1
3.
1, если х 0
x
sgn x 1, если х 0
x
0, если х 0
4.
y [x]
наибольшее целое число,
не превосходящее x:
[ x] n
n x n 1
Аналитическое задание функции
• явно заданные функции:
пример:
y x 2 5x 2
y f (x)
• неявно заданные функции: F ( x, y) 0
пример:
x 2 y 2 1, y 0
• параметрически заданные функции:
пример:
x cos t ,
y sin t
x (t )
y (t )
область определения = область существования
{x X : f ( x) R и конечные}
Примеры:
y 1 x
2
y sin x
1 x 1
x
Графический способ задания
функции
{x, f ( x)} xOy
Контрпример:
Функция Дирихле
1, x Q
D( x )
0, x I
Табличный способ задания функции
x x1
x2
x3 x4 ...
xn
y1
y2
y3
y 4 ...
yn
y
Элементарные свойства функций
•
•
•
•
•
монотонность;
четность/нечетность;
периодичность;
нули функции;
и т.п.
Предел функции в точке
f ( x) A при x a
lim f ( x ) A
xa
Определение (Коши)
Число А называется пределом функции f(x) в точке a , если
для любого 0 , которое может быть сколь угодно малым,
найдется такое 0, что при всех
x , x a,
удовлетворяющих условию
xa
верно неравенство
f ( x) A .
lim f ( x) A
xa
(lim f ( x) A)
x a
0 ( ) 0 :
x, 0 x a f ( x) A
Примеры.
1. Показать, пользуясь определением предела, что
lim (2 x 3) 5
x 1
Функция
y 2x 3
0
определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5.
(2x 3) 5
| 2 x 2 | 2 | x 1 |
| x 1 |
2
2
2
f (x) 5
lim(2 x 3) 5
x 1
| x 1 |
Геометрическая интерпретация
определения предела
x a a x a
x (a , a )
f ( x) A A f ( x) A
f ( x) ( A , A )
Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если
для любой - окрестности точки А найдется такая
- окрестность точки а, что для любого значения x ≠ а,
попадающего в - окрестность точки а, значение
функции y=f(x) принадлежит - окрестности точки А.
U (a, ) (a , a )
U ( A, ) ( A , A )
(lim f ( x) A)
x a
0
(U ( A, ) U (a, ) : x U (a, ) f ( x) U ( A, ))
Замечание.
Значение функции в точке a не влияет на предел
функции в точке.
Пример 1.
Найти
x
lim .
x 0 x
Решение:
x 1, x 0
f ( x)
x не определена, x 0
f ( x) g ( x), x 0
x
lim lim1 1
x 0 x
x 0
g ( x) 1
Найти
Пример 2.
lim f ( x)
x0
Решение:
x 2 , x 0
f ( x)
1, x 0
g ( x) x 2 , x
f ( x) g ( x), x 0
lim g ( x ) 0
x 0
0 0 : x 0 | x | | x 2 |
x 0 | x | | x 2 || x |2
lim f ( x ) 0
x 0
Эквивалентное определение
предела по Гейне
Число А называется пределом функции f(x)
при x, стремящемся к а, если для любой
последовательности
.
xn a
f ( xn ) A.
lim f ( x)
xa
A
{xn} a { f ( xn )} A
Пример.
Показать, что функция
1
f ( x) sin , x 0
x
не имеет предела в точке x=0.
1
0
n
1
0
2n
2
f ( x) sin
sin n 0
sin( 2n) 1
2
1
в точке x=0 не имеет предела.
x
Теоремы о пределах
Теорема 1(единственность предела)
Если функция f(x) имеет предел в точке a,
то этот предел единственный.
Доказательство:
Пусть
lim f ( x) A.
xa
Докажем, что B A lim f ( x) B.
xa
0 : 0x, x a | x a | | f ( x) B |
| f ( x) B | | ( f ( x) A) ( B A) | || f ( x) A | | B A ||
| f ( x) B | || B A | | f ( x) A ||| B A | | f ( x) A |
lim f ( x) A
xa
0 0 : x a | x a | | f ( x) A |
| B A|
2
| B A|
2
| B A| | B A|
| f ( x) B || B A |
2
2
| f ( x) A |
lim f ( x) B.
xa
Ограниченные функции
Определение.
Функция y = f(x) называется ограниченной в
окрестности точки a , если существует такое М >0
(М = const) и 0 такие,что
| f ( x) | M
x U (a, ) (a , a )
Теорема 2 (ограниченность функции,
имеющей предел)
Если функция f(x) определена в
окрестности точки a и имеет в точке a
конечный предел, то она ограничена в
некоторой окрестности этой точки.
Доказательство:
Пусть
lim f ( x) A.
xa
0 0 : x a | x a | | f ( x) A |
1
| f ( x) A | 1
| f ( x) | | A ||| f ( x) | | A ||| f ( x) A |
| f ( x) || A | | f ( x) A || A | 1
M max{| A | 1, | f (a) |}
x U (a, ) (a , a )
| f ( x) | M
Пример.
Функция
1
f ( x) sin , x 0
x
ограничена в окрестности
x0
1
| sin | 1 , x, x 0
x
Предела в точке x 0 не имеет.
Теорема 3 (переход к пределу в
неравенстве)
Если f ( x) ( x) для всех x из некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может,
самой точки a, и каждая из функций f (x) и (x)
в точке a имеет предел, то
lim f ( x ) lim ( x )
xa
xa
Теорема 4 (предел промежуточной
функции)
Если ( x) f ( x) ( x) для всех x из
некоторой окрестности точки a, кроме, быть
может, самой точки a, и каждая из функций (x)
и (x) в точке a имеют один и тот же предел A,
то функция f (x ) в точке a имеет предел, равный
этому же числу А.
lim ( x) lim ( x) A
xa
xa
lim f ( x ) A
xa
Определение предела функции в
бесконечности
Число А называется пределом функции f(x) при x,
стремящемся к бесконечности, если для любого 0
найдется такое число М > 0, что как только
| x | M ,
верно неравенство
| f ( x) A |
lim f ( x) A 0 M ( ) 0 : x, х M f ( x) A
x
lim f (x) A 0 M ( ) 0 : x M f (x) A ;
lim f (x) A 0 M ( ) 0 : x, x M f (x) A
x
x
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
и
lim f ( x ) A
x
График функции y=f(x) асимптотически приближается к
прямой y=A при
x
Пример.
Функция
f ( x)
1
x2 1
x
Показать, что lim f ( x) 0
x
Решение:
0, 0 1
1
0
2
x 1
| x |
1
| x | N
| f ( x) 0 |
1
1
2
(
x
1
)
x2 1
1 N
1
1
0
2
x 1
1
lim f ( x ) 0
x
Предел функции
•
•
•
•
•
•
•
Понятие функции.
Определение предела функции в точке.
Единственность предела.
Ограниченность функции, имеющей предел.
Переход к пределу в неравенстве.
Предел промежуточной функции.
Определение предела функции в бесконечности.