Transcript - БОУ "Заливинская СОШ"

Решение задач В8, В10 и С2
СТЮФ МАРИНА АЛЕКСЕЕВНА
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
КОУ «ЗАЛИВИНСКАЯ СОШ»
Новые задачи раздела В-8
Определение первообразной
Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на
интервале (a;b). Функцию F(x) называют
первообразной для функции f(x) на интервале
(a;b), если в нем производная функции F равна f:
F’(x)=f(x).
Задача 1
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной
из первообразных некоторой функции f(x), определённой
на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите
количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2;4].
Решение
Для того, чтобы решить уравнение f(x)=0, надо
решить уравнение F’(x)=0, т.е. найти значения х,
при которых производная меняет знак с «+» на «-»
или наоборот, при этом f(x) сначала возрастает
затем убывает или наоборот. Значит на графике
это точки максимума или минимума на заданном
отрезке [-2; 4].
Ответ: 10.
Задача 2
На рисунке изображен график первообразной
y=F(x) некоторой функции f(x), определенной на
интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком,
определите количество решений уравнения f(x)=0
на отрезке [-15; -8].
Ответ: 2.
Криволинейная трапеция
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Эта фигура ограничена снизу отрезком [a; b] оси
Ох, сверху графиком непрерывной функции
y=f(x), принимающей положительные значения,
а с боков отрезками прямых х=а и х=b. Такую
фигуру называют криволинейной трапецией.
Отрезок [a; b] называют основанием этой
криволинейной трапеции.
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции можно
вычислить по формуле
S=F(b) – F(a),
где F(x) – любая первообразная функции f(x).
Формула Ньютона-Лейбница
Разность F(b) – F(a) называют интегралом от
функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают так:
b
 f ( x)dx
a
b
т.е.  f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Задача 3
На рисунке изображён график функции y=f(x).
Пользуясь рисунком, вычислите F(8) – F(2), где
F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение
F(8) – F(2) = S трапеции.
ab
 h,
2
6 1
S тр. 
2  7
2
F (8)  F (2)  7
S тр. 
Ответ: 7.
Задача 4
На рисунке изображен график некоторой функции
y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите
определенный интеграл
1
 f ( x)dx
7
Решение
1
 f ( x)dx  F (1)  F (7)  S
тр .
7
S
ab
64
 h, S 
 2  10
2
2
1
 f ( x)dx  10.
7
Ответ: 10.
Задача 5
На рисунке изображен график некоторой функции
y=f(x). Одна из первообразных этой функции равна
F ( x) 
1 3
x  x 2  2 x  5.
3
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение
1
F ( x)  x3  x 2  2 x  5,
3
1 3 2
1

S  F (2)  F (1)   2  2  2  2  5   (1)3  (1) 2  2  (1)  5  
3
3

1
1
9
1
 8
  8  5   (1)  1  2  5    5   8   3  3  3  6.
3
3
3
3
 3
Ответ: 6.
Задача 6
На рисунке изображён график некоторой функции
15
y=f(x). Функция F ( x)  x3  30 x 2  302 x 
8
— одна из первообразных функции . Найдите
площадь закрашенной фигуры.
Решение
F ( x)  x 3  30 x 2  302 x 
15
8
15
S  F (9)  F (11)  (9)  30  (9)  302  (9)  
8
15 

3
2
  (11)  30  (11)  302  (11)   
8

15 
15 
 729  2430  2718    1331  3630  3322   
8 
8
 1017  1023  6.
3
2
Ответ: 6.
Новые задачи раздела В-10
Задача 1
В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя
и Петя. Класс случайным образом делят на 3 группы по
7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что
Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.
Решение
7 – 1 = 6 человек случайным образом может попасть в
эту же группу, т.к. один из друзей находится в этой
группе.
21 – 1 = 20 шестиклассников могут попасть в группу из
6 человек.
6 – благоприятных исходов.
20 – общее количество всех элементарных исходов
испытания.
6
3
P( A) 
  0,3
20 10
Ответ: 0,3.
Задание 2
В школе 51 пятиклассник, среди них Петя и Саша.
Пятиклассников случайным образом делят на 3 группы
по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что
Саша и Петя окажутся в одной группе.
Решение
17 – 1 = 16 – количество благоприятных исходов.
51 – 1 = 50 – общее количество всех элементарных
исходов испытания.
16 32
P( A) 

 0,32
50 100
Ответ: 0,32.
Задание 3
В классе 26 человек, среди них 2 близнеца Иван и
Игорь. Класс случайным образом делят на 2 группы по
13 человек. Найдите вероятность того, что близнецы
окажутся в разных группах.
Решение
Решим данную задачу через противоположное событие.
Найдем вероятность того, что близнецы окажутся в
одной группе, а затем отнимем от единицы полученный
результат.
13 – 1 = 12 – количество благоприятных исходов.
26 – 1 = 25 – общее количество всех элементарных
исходов испытания.
12 48

 0, 48
25 100
1  0, 48  0,52
P ( A) 
Ответ: 0,52.
Задание 4
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае
промаха стрелок делает второй выстрел по той же
мишени. Вероятность попасть в мишень при одном
выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что
мишень будет поражена (одним из выстрелов).
Решение
1 – 0,6 = 0,4 – вероятность противоположного события,
т.е. вероятность того, что он промахнется.
Вероятности складываются, если необходимо найти
выполнение либо одного либо другого события (одного из
нескольких).
Вероятности перемножаются, если необходимо найти
выполнение того и другого события одновременно.
0, 4  0, 4  0,16  вероятность того, что стрелок
будет дважды стрелять и дважды промахнется.
1  0,16  0,84.
Ответ: 0,84.
С2. Решение задач по стереометрии
Задание 1
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором АВ=12, AD= 31. Найдите
косинус угла между плоскостью основания призмы и
плоскостью, проходящей через середину ребра АD
перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между
прямыми AC и B1D1 равно 5.
Z
B1
A1
C1
D1
B
A
X
М
C
D
Y
Дано: ABCDA1B1C1D1 , AB=12, AD= 31 ; AA1=5, α – угол; β – плоскость, перпендикулярная BD1 и проходящая через точку М.
Найти: cos α
Решение:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Введем
прямоугольную систему координат с началом в точке В (0; 0; 0). Вектор нормали –
вектор, перпендикулярный к плоскости.
Нормаль к плоскости β – B1D . Координаты В и D1: В(0; 0; 0), D1(12; 31 ; 5).
BD1 {12, 31 , 5}. Нормаль к ABCD – это B1B . В1(0; 0; 5), В(0; 0; 0).
B1B {0; 0; -5}.
Z
N1  N 2
cos  
;
N1  N 2
cos  
122 

B1
0  0  25
 
31  52  02  02   5 
2

A1
2
D1
5
5
5
2



4
144  25  31
200 10 2
Ответ:
2
.
4
C1
B
A
X
М
C
D
Y
Задание 2
Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором АВ=5, AD= 33. Найдите
тангенс угла между плоскостью грани AА1D1D призмы и
плоскостью, проходящей через середину ребра CD
перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между
прямыми A1C1 и BD равно 3.
Решите самостоятельно.
Ответ: 1,2.
Задание 3
Найдите расстояние от вершины D основания
правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1
до диагонали A1C, если сторона основания равна 12, а
боковое ребро призмы 4 7 .
B1
A1
C1
D1
М
B
A
C
D
Решение
Из AA1 D по теореме Пифагора
A1 D  AD 2  AA12  144  112  256  16.
По теореме о трех перпендикулярах A1 DC  прямой ( A1 A  ADC ,
AD  CD). По теореме Пифагора
A1C  A1 D 2  DC 2  256  144 
B1
C1
 400  20.
1
1
S A1DC  DM  A1C  A1 D  DC , откуда
2
2
A D  DC 16 12
DM  1

 9, 6.
A1C
20
Ответ: 9,6.
A1
D1
М
B
A
C
D
Задание 4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми AB1 и BC1.
D1
C1
B1
A1
C
D
A
B
Решение
Достроим данную призму до четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1: AB||DC,
AD||CB, AA1||DD1.
Проведем диагональ AD1 в грани DD1A1A параллельно BC1,
  D1 AB1  AB1  BC1.
Проведем диагональ B1 D1.
Из A1 D1 B1 по теореме косинусов B1 D1  12  12  2 11  cos1200 
 22
1
 3.
2
Из ADD1 по теореме Пифагора AD1  12  12  2.
AB1  AD1  диагонали квадратов со стороной 1.
2    2    3

AD B по теореме косинусов cos  
2
Из

1 1
2 23 1
 .
4
4
2
2 2  2
2

1
Ответ: .
4
Задание 5
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ1
и плоскостью АВС1.
Решение
  AB1 ; ABC1. Т .к. A...D1  куб , то все грани  квадраты.
Проведем B1 H  BC1 ( H  середина BC1 ).
B1 H  AB по теореме о трех перпендикулярах ( B1 H  , B1 B 
наклонная, BH  проекция BB1 , BB1  AB)  B1 H  ABC1 D1.
Значит, B1 AH   .
2
.
2
Из AB1 H , H  900 применяя соотношение в прямоугольном треугольнике
Примем ребро куба за 1. Тогда BC1  AB1  2, B1 H 
найдем синус угла  : sin  
B1 H
.
AB1
2
1
: 2  , откуда   300. AB1; ABC1  300.
2
2
Ответ : 300.
sin  
Задание 6
В правильной шестиугольной призме
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 стороны основания равны 2, а
боковые рёбра равны 4. N – середина отрезка АС.
Найдите расстояние от вершины А до плоскости NА1Д.
C1
D1
B1
E1
A1
F1
C
D
E
N
B
A
F
Решение
Рассмотрим ABC. AC  2 3; NA  3.
В ANA1 A  900 , NA1 
 
3
2
 42  19.
В NCD C  900 , ND  NC 2  CD 2  3  4  7;
Желаем успехов!