Transcript Document

Функцiї.
Властивостi функцiї: нулi функцiї,
проміжки знакосталостi, зростання
i спадання функцiї
Тестовi завдання
Варiант 1
Варiант 2
1. Ключовим словом в означеннi
1. Числова функцiя задається:
числової функцiї є…
А) залежнiсть;
Б) область визначення;
В) число x;
Г) число y.
А) рівнянням y = f(x);
Б) областю визначення;
В) аргументом;
Г) графiком.
2. У рівнянні y = f(x) число y — це: 2. У рівнянні y = f(x) число x — це:
А) аргумент;
Б) область визначення;
В) функцiя;
Г) область значень функцiї.
А) аргумент;
Б) область визначення;
В) функцiя;
Г) область значення функцiї.
Варiант 1
Варiант 2
3. Графiк функції
y = f(x) — це:
3. Множина всiх точок з
координатами (x; f(x)), де
y = f(x) задана функцiя, — це:
А) точка;
Б) лiнiя;
В) f(x);
Г) множина всiх точок з
координатами (x; f(x)).
А) точка;
Б) лiнiя;
В) f(x);
Г) графiк функції y = f(x).
Виконання усних вправ
1. Знайдiть значення виразу:
2
1) 3,76 −(−
2) 7+6a, якщо a   ;
3
3) 5x+6 при x = 6.
0,1)2;
2. При якому значеннi змiнної вираз дорiвнює нулю:
2
x

1
x
1
2
; 4)
1) 3x−2; 2) x −3x+2; 3)
?
2
x 1
3. Областю визначення якої з наведених функцiй є
промiжок [2;+∞):
2
1) y  ;
x
2) y = 2x+1; 3) y  x  2; 4) y  x  2 ?
4. Порiвняйте a i b, якщо:
1) a−b = 0,2;
2) a−b = (−0,2)2;
3) a−b = 0,27.
Конспект 13
Властивостi числових функцiй
1. Промiжки знакосталостi функцiй
Пригадай! Нулем функцiї називається значення аргументу, при якому
функцiя дорiвнює нулю.
Якщо f(x0) = 0, то x0 — нуль функцiї. Графiчно:
нулi функцiї — це абсциси точок перетину графiка
функцiї з вiссю Ox.
На графiку: x1 =−1, x2 = 4, x3 = 6 — нулi функцiї.
Для всiх x ∈(−1;4) ∪ (6;7) (див. рис.) виконується
умова: графiк лежить вище вiд осi Ox, це означає,
що на кожному з цих промiжкiв функцiя набуває
додатних значень (y > 0).
Для x ∈[−3;−1) ∪ (4;6) графiк лежить нижче вiд осi Ox, а отже, на
кожному з цих промiжкiв функцiя набуває вiд’ємних значень (y < 0).
Конспект 13
Промiжки (всi значення аргументу), на яких функцiя набуває значень
одного знака, називають промiжками знакосталостi функцiї.
Приклад. Знайти нулi та промiжки знакосталостi функцiї y = 3x+2.
Розв’язання
2
1) y  0, 3x  2  0, x  
3
2) y > 0, якщо
3) y < 0, якщо
— нуль функцiї.
2
3x  2  0, x   .
3
2
3x  2  0, x   .
3
 2

x


;

Отже, y > 0 при

.
 3

2

Отже, y < 0 при x   ;   .
3

Конспект 13
2. Зростання (спадання) функцiї
Функцiю називають
зростаючою
спадною
на деякому промiжку, якщо бiльшому значенню аргументу з цього промiжку
вiдповiдає
бiльше значення функцiї
менше значення функцiї
Функцiя y = f(x) називається
зростаючою на промiжку P, якщо для x1
Функцiя y = f(x) називається
спадною на промiжку P, якщо
для x1 ∈ P, x2 ∈ P
∈ P, x2 ∈ P
x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2)
x1 > x2 ⇔ f(x1) > f(x2)
Конспект 13
Як за графiком знайти промiжки зростання (спадання) функцiї?
При x ∈ [−5;−3] i x ∈ [1;3] графiк функцiї
y = f(x) «йде» вгору, отже, y = f(x) зростає;
при x ∈ [−3;1] графiк функцiї y = f(x) «йде»
вниз, отже, y = f(x) спадає.
Як за формулоюз найти промiжки зростання (спадання) функцiї?
Конспект 13
Приклад. Довести, що функцiя y = x2−1 спадає на промiжку (−∞;0].
Доведення. Нехай x1 i x2 — довiльнi значення аргументу з промiжку
(−∞;0], причому x1 < x2.
f(x1), f(x2) — вiдповiднi значення функцiї, тобто
f(x1) = x12−1, f(x2) = x22−1.
Розглянемо рiзницю
f(x1)−f(x2) = x12−1−(x22−1) = x12−x22= (x1− x2)(x1+x2).
Оскiльки x1 < x2, то x1 − x2 <0. За умовою x ∈ (−∞;0], тому
x1 ≤ 0, x2 ≤ 0 i x1+x2 < 0.
Отже, (x1−x2)(x1+x2) > 0, тобто f(x1)−f(x2) >0, звiдки дiстанемо, що
f(x1) > f(x2), тобто функцiя y = x2−1 на промiжку (−∞;0] спадає.
Виконання усних вправ
На рисунку зображено графiк функцiї
y= f(x). Знайдiть значення змiнної x,
при яких:
1) функцiя y = f(x) задана;
2) f(x) = 0;
3) f(x) = 0;
4) f(x) < 0;
5) функцiя y = f(x) зростає;
6) функцiя y = f(x) спадає;
7) функцiя y = f(x) набуває найбiльшого значення;
8) функцiя y = f(x) набуває найменшого значення.
Виконання письмових вправ
1. Знайдiть нулi функцiї:
1) y = 2x−4; 2) y = 9−6x; 3) y = (x+3)(x−2);
4) y =
x4
5) y =
6) y 
;
x 1
x2  4
x 1
7) y 
; 8) y  2
.
x2
x x
x2−6x+9;
x2−x−12;
2. Побудуйте графiк функцiї, областю визначення якої є
промiжок [−2;4], так, щоб функцiя:
1) зростала на промiжку [−2;0] i
спадала на промiжку [0;4];
2) спадала на промiжку [−2;1],
зростала на промiжку [1;4] i
мала два нулi: x = 0 i x = 3;
3) була зростаючою i мала один нуль — число 2.
3. Доведiть, що функцiя y 
x
є зростаючою.
Виконання вправ на повторення
1. Знайдiть область визначення функцiї
x2
y
 3x  2.
1  0,1x
2. Функцiю задано формулою f(x) = kx+b.
Знайдiть коефiцiєнти k i b, якщо f(1) = 5 i f(3) = −1.
Чи належить точка A(2;2) графiку цiєї функцiї?
Побудуйте графiк цiєї функцiї.
3. Доведiть тотожнiсть
mn  
n

m
  1   = m.
mn  m

Тестовi завдання
1. Функцiя y = f(x) спадна, якщо:
А) x2 < x1; Б) f(x2) < f(x1);
В) при x1 > x2 f(x2) < f(x1);
Г) при x2 < x1 f(x2) < f(x1).
2. Функцiя y = f(x) зростаюча, якщо:
А) при x2 > x1 f(x2) > f(x1); Б) y1 > y2;
В) при x2 > x1 f(x2) < f(x1); Г) x2 > x1.
3. Укажiть промiжок спадання функцiї, графiк якої
зображено на рисунку.
А) [−5;−3]; Б) [−3;−1]; В) [−2;1]; Г) [−3;−2].
Домашнє завдання
Вивчити змiст понять, розглянутих на уроцi (див. конспект 13).
Виконати вправи.
1. На рисунку 1 зображено графiк функцiї y = f(x),
де −6 ≤ x ≤ 4.
Укажiть:
1) нулi функцiї;
2) промiжки, на яких функцiя набуває додатних значень;
вiд’ємних значень;
3) промiжки, на яких функцiя зростає; спадає.
2. Знайдiть нулi функцiї:
1) y= 14+21x; 2) y = x2+10x−11;
2x  1
3) y 
;
x2
x2  9
4*) y 
.
x 1
3. Побудуйте графiк функцiї, областю визначення якої є
проміжок [−1;6], щоб функцiя:
1) спадала на проміжку [−1;4], зростала на проміжку [4;6]
i мала один нуль x = 1;
2) була спадною i мала один нуль — число 3;
3) була зростаючою i не мала нулiв.
Виконати вправи на повторення.
1. Розв’яжiть систему нерiвностей
1
 3  2  3x   0,5  3,

1,6  2  6x  1  0, 6.

3
2. Розв’яжiть нерiвнiсть |3x+4|>5.