Transcript Integral 1
IV. INTEGRAL
4.1. PENGERTIAN
4.2. ATURAN TRAPESIUM
4.3. ATURAN SIMPSON
4.4. ATURAN GAUSS QUADRATURE
PENGERTIAN
y=f(x)
x b
I
f ( x)dx
xa
x=a
x=b
Adalah luas daerah yang dibatasi oleh
garis x=a, garis x=b, kurva y=f(x), dan
sb-x
1. ATURAN TRAPESIUM
y=f(x)
x=a
Kurva pada interval x=a
s/d x=b diganti dengan
sebuah garis lurus
sehingga terbentuk
sebuah trapesium yang
mempunyai luas:
x=b
ba
f (a) f (b)
I tr
2
Terdapat kesalahan positif (hasil yang diperoleh
lebih besar dari nilai yang sebenarnya).
n=2
Interval x = a s/d x = b
dibagi menjadi dua sub
Interval sama lebarnya.
y=f(x)
h b a / n
I2
I1
h
x=a
h
x1
x=b
h
I1 f ( x1 ) f (a)
2
h
I 2 f ( x1 ) f (b)
2
h
I tr I1 I 2 f (a) 2 f ( x1 ) f (b)
2
xn x0
Multipel Segmen: h
n
Ii
x0
xn
Luas trapesium ke i:
f(xi)
f(xi-1)
h
h
I i f ( xi1 ) f ( xi )
2
n
Itr I k I1 I 2 ... I i ... I n
k 1
h
[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ...
2
f ( xi 1 ) f ( xi ) ... f ( xn 1 ) f ( xn )]
n 1
h
Itr f ( x0 ) 2 f ( x j ) f ( xn )
2
j 1
n 1
xn x0
f ( x0 ) 2 f ( x j ) f ( xn )
j 1
2n
Contoh
40
I x 4 x 5dx
13,3333
3
1
5
Diketahui:
2
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
trapesium dengan
a. n = 1
b. n = 2
c. n = 4
d. n = 8
Jawab
f(x) = x2 - 4x + 5
a. Untuk n = 1 maka h = 4 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
xi
1,00
5,00
f(xi)
2,00
10,00
h
I f ( x0 ) f ( x1 ) 24
2
f(x) = x2 - 4x + 5
b. Untuk n = 2 maka h = 2 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
xi
1,00
3,00
5,00
f(xi)
2,00
2,00
10,00
h
I f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 16
2
f(x) = x2 - 4x + 5
c. Untuk n = 4 maka h = 1 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
f(xi)
2,00
1,00
2,00
5,00
10,00
h
I f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
2
14
f(x) = x2 - 4x + 5
d. Untuk n = 8 maka h = 0,5 dan didapat nilai-nilai
fungsi berikut:
2 f ( xi )
i
xi
f(xi)
2 f(xi)
0
1,00
2,00
1
1,50
1,25
2,50
2
2,00
1,00
2,00
3
2,50
1,25
2,50
4
3,00
2,00
4,00
42,00
5
3,50
3,25
6,50
6
4,00
5,00
10,00
7
4,50
7,25
14,50
10,00
8
5,00
n 1
I xn x0
f ( x0 ) 2 f ( x j ) f ( xn )
2 42 10
5 1
16
13,5
j 1
2n
2. ATURAN SIMPSON
Pendekatan derajat dua.
Untuk mendapatkan fungsi
derajat dua diperlukan tiga
titik (dua sub interval)
y=f(x)
f2(x)
h
x0=a
h
x1
x2=b
Pers. kurva derajat dua:
x x1 x x2
f 2 ( x)
f ( x0 )
x0 x1 x0 x2
x x0 x x2
f ( x1 )
x1 x0 x1 x2
x x0 x x1
f ( x2 )
x2 x0 x2 x1
n=2
I simp
y=f(x)
f
2
( x)dx
x0
h
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )
3
f2(x)
h
x0=a
x2
ba
h
2
h
x1
x2=b
I simp b a
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )
6
ba
h
4
n=4
h
I1 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )
3
I2
I1
x0=a
x2
h
I 2 f ( x2 ) 4 f ( x3 ) f ( x4 )
3
x4=b
I simp I1 I 2
h
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x3 ) 2 f ( x2 ) f ( x4 )
3
Multipel Segmen:
xn x0
h
n
n genap
I simp I1 I 2 ... I m
x0
I simp xn x0
xn
n1
n 2
i 1,3
j 2 , 4
f ( x0 ) 4 f ( xi ) 2 f ( x j ) f ( xn )
3n
Contoh
2
Diketahui:
I e xdx 26,79908
x2
0
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
simpson dengan
a. n = 2
b. n = 4
c. n = 8
Jawab
f ( x) xe
x2
a. Untuk n = 2 maka h = 1,0 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
xi
f(xi)
0,00
0,00
1,00
2,718282
2,00 109,1963
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )
I x2 x0
6
40,02314
f ( x) xe
x2
b. Untuk n = 4 maka h = 0,5 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
f(xi)
0,00
0,00
0,50
0,64201
1,00
2,71828
1,50 14,23160
2,00 109,19630
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x3 ) 2 f ( x2 ) f ( x4 )
I x2 x0
12
29,02122
f ( x) xe
x2
c. Untuk n = 8 maka h = 0,25 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
xi
f(xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,00
0,26612
0,64201
1,31629
2,71828
5,96342
14,23160
37,41665
109,19630
I simp xn x0
n1
n 2
i 1,3
j 2 , 4
f ( x0 ) 4 f ( xi ) 2 f ( x j ) f ( xn )
27,01917
3n
3. GAUSS-QUADRATURE
f(x)
F(u)
Transformasi
a
x
-1
b
b
1
a
1
1
u
I f ( x)dx F (u )du
Integran f(x) dengan batas-batas dari x = a s/d x = b
ditransformasi ke integran F(u) dengan batas-batas
dari u = -1 s/d u = 1.
TRANSFORMASI VARIABEL DARI x KE u:
x = a 0 + a1 u
x=a
u = -1
a = a 0 - a1
(i)
x=b
u=1
b = a0 + a 1
(ii)
Solusi simultan (i) dan (ii) adalah:
ba
a0
2
ba
a1
2
Jadi hubungan variabel lama x dengan variabel
baru u adalah
ba ba
x
u
2
2
ba
dx
du
2
f(x)
F(u)
a
x
-1
b
b
1
a
1
1
I f ( x)dx F (u )du
ba b a ba
F (u)
u
f
2
2 2
u
f(x) =
x2
- 4x + 5
f(x)
3
I
1
8
x 4 x 5 dx
3
2
Transformasi:
3
1
x
3 1 3 1
x
u 2u
2
2
F(u)
F (u) f (2 u) u 2 1
1
-1
1
u
8
I u 1 du
3
1
2
F(u)
-1
F(u)
1
u
-1 u1
F(u)
u2 1
u
1
Pendekatan:
I F (u )du c1F (u1 ) c2 F (u2 )
1
Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga
terjadi keseimbangan antara kesalahan positif
dengan kesalahan negatif.
Ke empat bilangan yang belum diketahui u1, u2,
c1, dan c2 dicari sebagai berikut:
c1F (u1 ) c2 F (u2 )
F(u)=1
1
c1 c2 du 2
-1
1
1
F(u) = u
(1)
c1F (u1 ) c2 F (u2 )
1
-1
1
c1u1 c2u2 udu 0
1
(2)
F(u)=u2
c1F (u1 ) c2 F (u2 )
1
c1u1 c u u du 2 / 3
2
-1
1
F(u)=u3
2
2 2
2
(3)
1
c1F (u1 ) c2 F (u2 )
1
-1
1
c1u13 c2u23 u 3du 0
1
Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah:
1
0,577350269
c1 = c2 = 1 u1 u2
3
(4)
Rumus Umum
I c1F (u1 ) c2 F (u2 ) ... cn F (un )
Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u
untuk sampai dengan 6 (enam) titik adalah
sebagaimana diberikan dalam tabel 14.1:
Numerical Methods For Engineer with Personal
Computer Applications.
Steven C Chapra
Contoh
2
Diketahui:
I e xdx 26,79908
x2
0
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
Gauss quadrature dengan
a. 2 titik
b. 3 titik
c. 4 titik
Jawab:
x =u + 1
F (u) u 1e
( u 1)2
a. 2 titik
1
1
F ( )
1e
3
3
1
1
F( )
1e
3 3
(
(
1
1)2
3
1
1)2
3
0,50531
18,98747
1
1
I F ( ) F ( ) 19,49278
3
3
+
b. 3 titik
Dari tabel: c1 0,55556
u1 0,7746
c2 0,88889
u2 0
c1F (u1 ) 0,55556 0,7746 1e
( 0, 77461) 2
c2 F (u2 ) 0,888890 1e
c3 F (u3 ) 0,55556 0,7746 1 e
c3 c2
u3 u1
0,13175
( 01) 2
2,41625
( 0, 77461) 2
22,98867
I c1 F (u1 ) c2 F (u2 ) c3 F (u3 ) 25,53667
+
c. 4 titik
c1 0,34785
c2 0,65214 c3 c2
c4 c1
u1 0,86114 u2 0,33998 u3 u2 u4 u1
c1F (u1 ) 0,34785 0,86114 1e
( 0,861141)2
0,04924
c2 F (u2 ) 0,65214 0,33998 1e
( 0,339981)2
0,66541
c3 F (u3 ) 0,65214 0,33998 1e
( 0,339981) 2
5,26301
c4 F (u4 ) 0,347850,86114 1e
( 0,861141) 2
20,67753
I c1F (u1 ) c2 F (u2 ) c3 F (u3 ) c4 F (u4 ) 26,65520
+