Transcript Integral 1

IV. INTEGRAL
4.1. PENGERTIAN
4.2. ATURAN TRAPESIUM
4.3. ATURAN SIMPSON
4.4. ATURAN GAUSS QUADRATURE
PENGERTIAN
y=f(x)
x b
I

f ( x)dx
xa
x=a
x=b
Adalah luas daerah yang dibatasi oleh
garis x=a, garis x=b, kurva y=f(x), dan
sb-x
1. ATURAN TRAPESIUM
y=f(x)
x=a
Kurva pada interval x=a
s/d x=b diganti dengan
sebuah garis lurus
sehingga terbentuk
sebuah trapesium yang
mempunyai luas:
x=b
ba
 f (a)  f (b)
I tr 
2
Terdapat kesalahan positif (hasil yang diperoleh
lebih besar dari nilai yang sebenarnya).
n=2
Interval x = a s/d x = b
dibagi menjadi dua sub
Interval sama lebarnya.
y=f(x)
h  b  a  / n
I2
I1
h
x=a
h
x1
x=b
h
I1   f ( x1 )  f (a)
2
h
I 2   f ( x1 )  f (b)
2
h
I tr  I1  I 2   f (a)  2 f ( x1 )  f (b)
2
xn  x0
Multipel Segmen: h 
n
Ii
x0
xn
Luas trapesium ke i:
f(xi)
f(xi-1)
h
h
I i   f ( xi1 )  f ( xi )
2
n
Itr  I k  I1  I 2  ...  I i  ...  I n
k 1
h
 [ f ( x0 )  f ( x1 )   f ( x1 )  f ( x2 )  ...
2
  f ( xi 1 )  f ( xi )  ...   f ( xn 1 )  f ( xn )]
n 1

h
Itr  f ( x0 )  2 f ( x j )  f ( xn )
2
j 1

n 1
 xn  x0 
f ( x0 )  2 f ( x j )  f ( xn )
j 1
2n
Contoh
40
I   x  4 x  5dx 
 13,3333
3
1
5
Diketahui:
2
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
trapesium dengan
a. n = 1
b. n = 2
c. n = 4
d. n = 8
Jawab
f(x) = x2 - 4x + 5
a. Untuk n = 1 maka h = 4 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
xi
1,00
5,00
f(xi)
2,00
10,00
h
I   f ( x0 )  f ( x1 )  24
2
f(x) = x2 - 4x + 5
b. Untuk n = 2 maka h = 2 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
xi
1,00
3,00
5,00
f(xi)
2,00
2,00
10,00
h
I   f ( x0 )  2 f ( x1 )  f ( x2 )  16
2
f(x) = x2 - 4x + 5
c. Untuk n = 4 maka h = 1 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
f(xi)
2,00
1,00
2,00
5,00
10,00
h
I   f ( x0 )  2 f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x3 )  f ( x4 )
2
 14
f(x) = x2 - 4x + 5
d. Untuk n = 8 maka h = 0,5 dan didapat nilai-nilai
fungsi berikut:
2 f ( xi )
i
xi
f(xi)
2 f(xi)
0
1,00
2,00
1
1,50
1,25
2,50
2
2,00
1,00
2,00
3
2,50
1,25
2,50
4
3,00
2,00
4,00
42,00
5
3,50
3,25
6,50
6
4,00
5,00
10,00
7
4,50
7,25
14,50
10,00
8
5,00
n 1
I   xn  x0 
f ( x0 )  2 f ( x j )  f ( xn )
2  42  10
 5  1
16
 13,5
j 1
2n
2. ATURAN SIMPSON
Pendekatan derajat dua.
Untuk mendapatkan fungsi
derajat dua diperlukan tiga
titik (dua sub interval)
y=f(x)
f2(x)
h
x0=a
h
x1
x2=b
Pers. kurva derajat dua:

x  x1  x  x2 
f 2 ( x) 
f ( x0 )
x0  x1 x0  x2 

x  x0 x  x2 

f ( x1 )
x1  x0 x1  x2 

x  x0 x  x1 

f ( x2 )
x2  x0 x2  x1 
n=2
I simp 
y=f(x)
f
2
( x)dx
x0
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
f2(x)
h
x0=a
x2
ba
h
2
h
x1
x2=b
I simp  b  a

f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )

6
ba
h
4
n=4
h
I1   f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
I2
I1
x0=a
x2
h
I 2   f ( x2 )  4 f ( x3 )  f ( x4 )
3
x4=b
I simp  I1  I 2
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x3 )  2 f ( x2 )  f ( x4 )
3
Multipel Segmen:
xn  x0
h
n
n genap
I simp  I1  I 2  ...  I m
x0
I simp  xn  x0 
xn
n1
n 2
i 1,3
j 2 , 4
f ( x0 )  4  f ( xi )  2  f ( x j )  f ( xn )
3n
Contoh
2
Diketahui:
I   e xdx  26,79908
x2
0
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
simpson dengan
a. n = 2
b. n = 4
c. n = 8
Jawab
f ( x)  xe
x2
a. Untuk n = 2 maka h = 1,0 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
xi
f(xi)
0,00
0,00
1,00
2,718282
2,00 109,1963
f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
I  x2  x0 
6
 40,02314
f ( x)  xe
x2
b. Untuk n = 4 maka h = 0,5 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
f(xi)
0,00
0,00
0,50
0,64201
1,00
2,71828
1,50 14,23160
2,00 109,19630
f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x3 )  2 f ( x2 )  f ( x4 )
I  x2  x0 
12
 29,02122
f ( x)  xe
x2
c. Untuk n = 8 maka h = 0,25 dan didapat
nilai-nilai fungsi berikut:
i
xi
f(xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,00
0,26612
0,64201
1,31629
2,71828
5,96342
14,23160
37,41665
109,19630
I simp  xn  x0 
n1
n 2
i 1,3
j 2 , 4
f ( x0 )  4  f ( xi )  2  f ( x j )  f ( xn )
 27,01917
3n
3. GAUSS-QUADRATURE
f(x)
F(u)
Transformasi
a
x
-1
b
b
1
a
1
1
u
I   f ( x)dx   F (u )du
Integran f(x) dengan batas-batas dari x = a s/d x = b
ditransformasi ke integran F(u) dengan batas-batas
dari u = -1 s/d u = 1.
TRANSFORMASI VARIABEL DARI x KE u:
x = a 0 + a1 u
x=a
u = -1
a = a 0 - a1
(i)
x=b
u=1
b = a0 + a 1
(ii)
Solusi simultan (i) dan (ii) adalah:
ba
a0 
2
ba
a1 
2
Jadi hubungan variabel lama x dengan variabel
baru u adalah
ba ba
x

u
2
2
ba
dx 
du
2
f(x)
F(u)
a
x
-1
b
b
1
a
1
1
I   f ( x)dx   F (u )du
ba b a ba 
F (u)  

u
f
2 
 2   2
u
f(x) =
x2
- 4x + 5
f(x)
3
I 
1


8
x  4 x  5 dx 
3
2
Transformasi:
3
1
x
3 1 3 1
x

u  2u
2
2
F(u)
F (u)  f (2  u)  u 2  1
1
-1
1
u


8
I   u  1 du 
3
1
2
F(u)
-1
F(u)
1
u
-1 u1
F(u)
u2 1
u
1
Pendekatan:
I   F (u )du  c1F (u1 )  c2 F (u2 )
1
Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga
terjadi keseimbangan antara kesalahan positif
dengan kesalahan negatif.
Ke empat bilangan yang belum diketahui u1, u2,
c1, dan c2 dicari sebagai berikut:
c1F (u1 )  c2 F (u2 ) 
F(u)=1
1
c1  c2   du  2
-1
1
1
F(u) = u
(1)
c1F (u1 )  c2 F (u2 ) 
1
-1
1
c1u1  c2u2   udu  0
1
(2)
F(u)=u2
c1F (u1 )  c2 F (u2 ) 
1
c1u1  c u   u du  2 / 3
2
-1
1
F(u)=u3
2
2 2
2
(3)
1
c1F (u1 )  c2 F (u2 ) 
1
-1
1
c1u13  c2u23   u 3du  0
1
Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah:
1
 0,577350269
c1 = c2 = 1 u1  u2  
3
(4)
Rumus Umum
I  c1F (u1 )  c2 F (u2 )  ...  cn F (un )
Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u
untuk sampai dengan 6 (enam) titik adalah
sebagaimana diberikan dalam tabel 14.1:
Numerical Methods For Engineer with Personal
Computer Applications.
Steven C Chapra
Contoh
2
Diketahui:
I   e xdx  26,79908
x2
0
Hitung integral itu menggunakan pendekatan
Gauss quadrature dengan
a. 2 titik
b. 3 titik
c. 4 titik
Jawab:
x =u + 1
F (u)  u  1e
( u 1)2
a. 2 titik
1
 1

F ( )   
 1e
3 
3 
1
 1

F( )  
 1e
3  3 
(
(
1
1)2
3
1
1)2
3
 0,50531
 18,98747
1
1
I  F ( )  F ( )  19,49278
3
3
+
b. 3 titik
Dari tabel: c1  0,55556
u1  0,7746
c2  0,88889
u2  0
c1F (u1 )  0,55556 0,7746  1e
( 0, 77461) 2
c2 F (u2 )  0,888890  1e
c3 F (u3 )  0,55556 0,7746  1 e
c3  c2
u3  u1
 0,13175
( 01) 2
 2,41625
( 0, 77461) 2
 22,98867
I  c1 F (u1 )  c2 F (u2 )  c3 F (u3 )  25,53667
+
c. 4 titik
c1  0,34785
c2  0,65214 c3  c2
c4  c1
u1  0,86114 u2  0,33998 u3  u2 u4  u1
c1F (u1 )  0,34785 0,86114  1e
( 0,861141)2
 0,04924
c2 F (u2 )  0,65214  0,33998  1e
( 0,339981)2
 0,66541
c3 F (u3 )  0,65214 0,33998  1e
( 0,339981) 2
 5,26301
c4 F (u4 )  0,347850,86114  1e
( 0,861141) 2
 20,67753
I  c1F (u1 )  c2 F (u2 )  c3 F (u3 )  c4 F (u4 )  26,65520
+