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LA RETTA
Sappiamo che esiste una corrispondenza biunivoca tra
una coppia ordinata di numeri (ascissa e ordinata) e i punti
del piano, ossia preso un qualunque punto P di coordinate
P(x,y) a esso corrisponde un punto del piano cartesiano
Ad esempio i punti A(-3;5) e B(-2;-1)
corrispondono ai seguenti punti nel
piano cartesiano:
Rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione matematica: y  x  2
Attribuiamo alla x valori da noi scelti e calcoliamo i corrispondenti
valori della y, compilando in questo modo una tabella e
rappresentando i valori corrispondenti
y=x+2
y=x+2
x
y
Punto
0
2
A
7
6
1
3
B
2
4
C
4
3
5
D
2
4
6
E
-1
1
F
-2
0
G
-3
-1
H
….
….
5
y
3
1
0
-6
-4
-2
-1 0
-2
-3
x
2
4
6
Rappresentiamo nel piano cartesiano le seguenti rette:
y  x2
y  2 x  4
y  x  3
e consideriamo i loro grafici
y=-x+3
y=-2x+4
y=x+2
8
7
14
7
6
12
6
5
10
4
4
6
2
3
y
y
y
5
8
3
4
2
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
4
5
0
-5
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-4
-2
-2
-6
-3
x
x
x
Osserviamo che il termine noto della prima (2), il termine noto della seconda
(4) e il termine noto della terza (3) rappresentano rispettivamente l’ordinata
del punto in cui la retta interseca l’asse y
4
5
Se una retta è parallela all’asse x, tutti i suoi punti avranno uguale
ordinata (corrisponde alla distanza dall’ascissa)
y
k
k
O
Quindi l’equazione sarà del tipo
yk
x
Se una retta, invece è parallela all’asse y, tutti i suoi punti avranno
uguale ascissa (ovvero la stessa distanza dall’asse dell’ordinata)
y
h
O
h
Quindi l’equazione sarà del tipo
x
x h
I triangoli OP’P e OQ’Q sono
simili perché tutti gli angoli sono
uguali in quanto corrispondenti,
si ha pertanto la seguente
proporzione
T
y
α
P
α

O
y3
α
Q
β
PP '


2
2
2
Q’
P’
T’
x2
OP '
x1
x3

OQ '
y1
x1

y2
x2
Si potrebbe dimostrare che
se
considerassimo
un
ulteriore punto T(x3;y3) di r si
avrebbe
y1
y2

QQ '
x
y1
x1

y2
x2

y3
x3
Dato che i punti P, Q e T sono generici, possiamo concludere che per tutti i punti
della retta r, diversi dall’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa è costante e lo
indichiamo con m. Quindi una retta che passa per l’origine è tale che il rapporto tra
ordinata e ascissa è costate ossia
y
x
m
y  mx
Equazione della
per l’origine
retta
RETTA IN POSIZIONE GENERICA
Consideriamo una retta r non passante per l’origine e non parallela a
nessuno degli assi cartesiani. Sia Q(0;q) il punto in cui r interseca
l’asse y.
Effettuiamo la traslazione τ del sistema di riferimento in modo che
l’origine venga traslato in Q
Y
y
Q(0,q)
x  X
X  x
 
τ 
y  q Y
Y  y  q
X
O
x
Nel sistema XQY la retta r passa per l’origine Q quindi avrà
equazione del tipo Y=mX; sostituendo in tale equazione x
al posto di X e y-q al posto di Y si otterrà l’equazione della
retta nel sistema xOy, in cui r non passa per l’origine; in
formule
Y  mX  y  q  mx  y  mx  q
Eq. r in XOY
Eq. r in xOy
La funzione
y  mx  q
si dice equazione della
retta in forma esplicita, il numero m si dice
coefficiente
angolare
e
ne
caratterizza
l’inclinazione rispetto all’asse x.
Il termine noto q rappresenta l’ordinata del punto
in cui la retta interseca l’asse y
y=mx+q
Termine noto
Coefficiente angolare
Ponendo
m 
a
c
q
e
b
b
Si ottiene
y  mx  q  y  
a
b
Moltiplicando per b si ottiene
x
c
b
by   ax  c
E portando tutto al primo membro si ha
ax  by  c  0
Che è l’equazione della retta in forma implicita
L’equazione della retta può essere scritta
quindi in forma:
•IMPLICITA
ax+by+c=0
•ESPLICITA (viene esplicitato il coefficiente
angolare)
y=mx+q
by   ax  c
ax  by  c  0
y
a
b
m
x
c
y  mx  q
b
q
Passaggio dalla forma implicita a quella esplicita
Esempio numerico.
Supponiamo di avere la retta di equazione 3x-2y+7=0 scritta in
forma implicita e la vogliamo scrivere in forma esplicita
3x  2 y  7  0
Lasciando il termine in y al primo membro si ottiene
 2 y  3 x  7
y 
3
2
m
x
q
7
2
Da cui segue
Quindi trovo la y, cioé
y 
3
2
x
7
2
Che è l’equazione della retta in forma
esplicita
Viceversa supponiamo di avere l’equazione della retta in forma
esplicita e di volerla in forma implicita.
Sia y  
5
2
y  
5
2
x
x
8
l’equazione della retta in forma esplicita.
3
8
3
Trovo il m.c.m. dei denominatori, che in questo caso è 6,
quindi
6 y  5  3 x  8  2
6 y   15 x  16
Da cui portando tutto al primo membro si ottiene
15 x  6 y  16  0
Concretizziamo il concetto di coefficiente angolare di una
retta.
Cosa significa che una strada ha una pendenza del
15%?
Significa che la strada si alza di 15
metri ogni 100 metri percorsi
orizzontalmente
15 metri
100 metri
y
P
15
O
100
Il coefficiente angolare sarà
il rapporto tra l’ordinata e
l’ascissa del punto P
H
PH
HO
x

15
100
Equazione della retta per due punti
Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano per il
teorema di Talete si ha
PP1 : P2 P1  HH 1 : H 2 H 1
y
P1
x1
Q1
x
Q
x2
Q2
P
PP1 : P2 P1  QQ 1 : Q 2 Q 1
P2
y2
O
Ed anche
H2
y
H
y1
H1
x
N.B. Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele
tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di
segmenti proporzionali
Da cui si ottiene:
PP1

P2 P1
PP1
P2 P1
HH
1
H 2H1

QQ 1
QQ 1
Q 2 Q1
HH

1
Sostituendo si ottiene
H 2H1
Q 2 Q1
y  y1
y 2  y1

x  x1
x 2  x1
Equazione della retta per due punti
Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano
l’equazione della retta passante per i due punti è data
dall’equazione:
y  y1
y 2  y1

x  x1
x 2  x1
Ad esempio: dati i punti di coordinate P1(4;-9) e P2(-6;5) andando
a sostituire al posto di x1, y1, x2, y2 i valori di P1 e P2 si ottiene
y  y1
y 2  y1
y   9 
5   9 


x  x1
x 2  x1
x4
y9
64
59
y9
14


x4
 10
x4
 10
Eseguendo il prodotto in croce si ottiene
 10  y  9   14  x  4 
 10 y  90  14 x  56
Portando tutto al primo membro si ottiene
 14 x  10 y  90  56  0
 14 x  10 y  34  0
Semplificando e moltiplicando
per -1 si ottiene
7 x  5 y  17  0

 


Dal
grafico
possiamo
notare che le tre rette
formano con l’asse delle x
lo stesso angolo, pertanto
le loro equazioni avranno
lo
stesso
coefficiente
angolare
Se ne deduce che date due rette esse sono parallele se
e solo se le loro equazioni hanno lo stesso coefficiente
angolare m=m’
Teorema di Euclide:
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa
all’ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Siano r e s due rette perpendicolari passanti per
l’origine di equazione rispettivamente y=mx e
y=m’x. Considero il punto B(1;m) sulla retta r e
considero il seqmento perpendicolare all’asse x
passante per B. Esso interseca l’asse x nel
punto di coordinate A(1;0) mentre interseca la
retta s nel punto C(1;m’). Per il teorema di
Euclide avremo
BA : OA  OA : AC  BA  CA  OA
2
Poiché OA=1; BA=m e AC=-m’ poiché si trova nel
semipiano negativo, sostituendo si ottiene
m   m'

m' 
1
m
1
Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto
dei loro coefficienti angolari è uguale a -1, ossia siano
l’uno l’antireciproco dell’altro