Transcript Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики
Лекция 4
Комбинаторика – это наука о
расположении элементов в
определенном порядке и о подсчете
числа способов такого расположения.
• Выборкой объема из множества
называется всякая последовательность из
элементов множества .
• Если элементы в выборке не повторяются, то
выборка называется бесповторной, иначе –
выборкой с повторениями
• При бесповторной выборке все равно, каким
образом осуществляется выбор: берутся все
элементы сразу, или же поочередно (по
одному).
• Расположение элементов выборки в
определенном порядке называется
упорядочением , при этом выборка
называется упорядоченной, в противном
случае – неупорядоченной.
• Комбинаторный принцип умножения
если одну часть действия можно
выполнить n способами, а другую - k
способами, то все действие можно
выполнить n*k числом способов.
• Пример. Пусть требуется составить
набор из ручки, карандаша и линейки.
Имеется:
• 5 различных ручек,
• 7 различных карандашей,
• 10 различных линеек.
• Сколькими способами можно составить
требуемый набор?
• Решение. Действием в данном случае является
составление набора из ручки, карандаша и линейки;
действие распадается на три этапа (части): выбрать
ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую
часть действия – выбрать ручку – можно выполнить
пятью способами, вторую часть действия – выбрать
карандаш – можно выполнить семью способами,
третью часть действия – выбрать линейку – можно
выполнить десятью способами. Тогда все действие
можно выполнить 5*7*10 =350
• Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого
набора.
Пример. В столовой предлагают два
различных первых блюда а1 и а2, три
различных вторых блюда b1, b2, b3 и два вида
десерта с1 и с2. Сколько различных обедов из
трех блюд может предложить столовая?
Решение. Пусть А –
множество первых
блюд, В – множество
вторых блюд, а С –
множество третьих
блюд. По условию
известно, что
Пример. "Команда космического
корабля"
Рассмотрим задачу о формировании команды
космического корабля. Известно, что возникнет
вопрос психологической совместимости.
Предположим, надо составить команду из 3-х
человек: командира, инженера и врача. На место
командира есть четыре кандидата: a1, a2, a3, a4,
на место инженера три - b1, b2, b3, на место
врача три – c1, c2, c3 . Проведенная проверка
показала, что a1 совместим с b1, b2, c2,c3; a2
совместим с b1, b2,c1,c2,c3; a3 совместим с b1 и
b2, c1, c3; a4 совместим с b1, b2, b3, c2 ; b1 не
совместим с c3 ; b2 не совместим с c1 ; b3 не
совместим с c2 .
Сколькими способами при этих условиях может быть составлена
команда корабля? По результатам совместимости строится дерево
решений. Итак, всего 11 комбинаций, а без ограничения
• Расположение n различных элементов
в определенном порядке называется
перестановкой без повторений из n
элементов.
• Например, на множестве из трех элементов
{a,b,c} возможны следующие перестановки:
abc, acb, bca, bac, cab, cba.
• Число различных перестановок без
повторений из элементов обозначается Pn и
равно n!, т.е.
Pn  n!
Задача. Флаг можно составить из 3
горизонтальных полос синего, красного и
белого цветов. Сколько разных флагов можно
составить?
ФЛАГ
РОССИИ
Что означает каждый цвет?
Флаги стран Европы, где встречаются три цвета:
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту,
непорочность,белый,
совершенство;
синий -красный.
цвет веры и верности,
синий,
постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь,
пролитую за Отечество.
НИДЕРЛАНДЫ
ФРАНЦИЯ
ЮГОСЛАВИЯ
Таблица вариантов
КБС
БСК
КСБ
БКС
СБК
СКБ
Дерево вариантов
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВО
ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВО
ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВ
КРАСНЫЙ
БЕЛЫЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б
Правило умножения
1 полоса 3 способа
2 полоса 2 способа
3 полоса 1 способ
3∙2∙1=6
Ответ: 6 способов
С
СИНИЙ
Б
КРАСНЫЙ
КРАСНЫЙ
БЕЛЫЙ
СБЕЛЫЙ
С
КБЕЛЫЙ
ББЕЛЫЙ
К СИНИЙ СИН
СИНИЙ
КРАСНЫЙ
КРАСНЫЙ
КРАСНЫЙ
БЕЛЫЙ
СИНИЙ
СИНИЙ
Б
Б
С
Б
С
БС
С
С
К
Б
С
К
КК
Б
С
С
Б
КС
К
К
ББК
Подсчет перестановок
P3  3! 1 2  3  6
КБ
С
• Сочетанием без повторений из n элементов по k
называется неупорядоченное k-элементное
подмножество n-элементного множества. Число
сочетаний без повторений из элементов по равно :
Сnk 
n!
k!n  k  !
• Например, требуется подсчитать, сколькими
способами можно составить бригаду из трех человек
для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку
порядок расположения людей в бригаде не
фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем
случай сочетаний из 30 элементов по 3 без
повторений:
30!
30!
30  29  28
С 


 10  29  14  4060
3!30  3 ! 3! 27 !
23
3
30
• Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в
группе из 30 человек можно выбрать 4060
различными способами.
Свойства сочетаний без
повторений:
1)
2)
nk
n
C C
k
n
kn
C  C  ...  C  2
0
n
1
n
n
n
n
Задача. Сколькими способами
можно из семи банок с краской
разных цветов выбрать четыре?
Решение: Число способов выбора - это
C74. Давайте его посчитаем: C74=C73 по
св-ву 1. C73 = 7*6*5/3! = 7*6*5/6 = 7*5 =
35.
Задача. У одного меломана есть 6 дисков
известной поп-группы, у другого 8. Сколькими
способами они могут обменяться тремя
дисками?
Решение: Каждый меломан должен
выбрать из своих дисков три, которые
он будет менять. Первый может сделать
это C63 способами, а второй C83
способами. Так как выбор независим, то
все вариантов C63*C83. Посчитаем: C63
= 6*5*4/3! = 6*5*4/6 = 5*4 = 20. C83 =
8*7*6/3! = 8*7*6/6 = 8*7 = 56. Ответ:
20*56=1120.
• Размещением без повторений из n
элементов по k называется
упорядоченное k-элементное
подмножество n-элементного
множества.
• Число размещений без повторений из
элементов по равно:
n
k
k
A  nn  1n  2...n  k  1
k
n
.
В футбольной команде пятого класса 7 человек.
Члены команды выбирают капитана и
вратаря. Сколькими способами это можно сделать?
7!
А 
 6  7  42
(7  2)!
2
7
В чемпионате по футболу
участвуют десять команд.
Сколько существует различных
возможностей занять командам
первые три места?
10!
А 
 8  9 10  720
(10  3)!
3
10
Рассмотрим выборку с
повторениями
Пусть имеется выборка из n элементов, причем k элементов
из них - одинаковые.
Число различных перестановок на элементах такой выборки
n!
равно:
Pn k  
k!
- число перестановок с k
повторениями на множестве из n элементов
Сочетание с повторениями из элементов по неупорядоченная выборка элементов с возвращением из
множества, содержащего элементов:
Cnk  Cnk m 1
- число различных сочетаний с
повторениями из n элементов по k
Размещения с повторениями из элементов по расположение различных шаров по различным ячейкам
A n
k
n
k
- число различных
• Пример. Сколько различных 4буквенных слов можно составить из
символов 0,0,a,b?
• Решение. Другими словами, требуется
найти число перестановок с
повторениями на 4 элементах выборки,
в которой два элемента одинаковы:
4!
P4 2   4  3  12
2!
0ab0 a00b b00a
0a0b a0b0 b0a0
00ba ab00 ba00
00ab
0ba0
ob0a
• Пример. Сколько различных
перестановок можно составить из букв
слова АБАКАН?
• Решение. Требуется найти число
перестановок на множестве из 6
элементов, среди которых три элемента
одинаковы:
.
6! 6  5  4  3  2
P6 3  
 120
3!
23
Пример. Сколько перестановок можно
получить из букв слова КОЛОКОЛА?
Решение. Требуется найти число перестановок
с повторениями на множестве из 8 букв,
среди которых:
буква К повторяется 2 раза;
буква О повторяется 3 раза;
буква Л повторяется 2 раза
буква А повторяется 1 раз.
Таким образом,
8!
8 7  65 43 2
P8 2;3;2;1 

 1680
2!3!2!1!
2 23 2
Пример. Сколькими способами можно
составить набор из 5 шоколадок, если
имеются шоколадки трех сортов в
количестве по 10 штук каждого вида?
Решение. Поскольку при составлении
шоколадного набора порядок
расположения шоколадок не важен, то
используем для подсчета формулу
сочетаний с повторениями:
С305 51  С345
34!
34!
34  33 32  31 30


 34  33 8  31
5!34  5! 5!29!
2 3 4 5
Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв
и трех цифр. Сколько различных номеров можно
составить, используя 10 цифр и алфавит в 30
букв.
Очевидно, что количество всех возможных комбинаций
из 10 цифр по 4 равно 10.000.
Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две
равно
А302  30  29  870
Если учесть возможность того, что буквы могут
повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно
30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого,
полное количество комбинаций по две буквы равно 900.
Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита
в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30
раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.
Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно
поставить в соответствие числовую комбинацию, то
полное количество автомобильных номеров равно
270.000.000.