Transcript 第9章线性电路过渡过程的一般分析方法

第9章
线性电路过渡过程的一般分析方法
9.1 电路的动态过程及初始值的确定
• 9.1.1 电路的动态过程
• 含有动态元件电容和电感的电路称动态电
路。由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对
时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电
路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）
需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状
态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路
时的表现。
1）电阻电路
图6.1（a）所示的电阻电路在 t =0 时合上开关，电
路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图
6.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t
＞0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡
期。
2）电容电路
图 6.2 （a）
图 6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作
前，电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，
uC=0。
（b）
t=0 时合上开关，电容充电， 接通电源后很长时间，
电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和
电容电压满足：i=0，uC=US 。
图 6.2 （c）
电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图6.2（c）
所示，显然从t＜0 时的稳定状态不是直接进入t＞0后
新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个
过渡期。
对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联
参考方向的情况下，可以得到以下关系式
dq d(Cu)
du
i(t ) 

C
dt
dt
dt
( 6  2)
此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正
比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不
同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束
关系。
在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随
时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。
在已知电容电压u(t)的条件下，用式(6-2)容易求出其电
流i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，
其波形如图6-7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为
du
i(t )  C
dt
d[10sin(5t )]
 10 
dt
 50  10 6 cos(5t )A
 50cos(5t )μ A
6
图6-7
例6-1 已知C=0.5F电容上的电压波形如下图所示，
试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画
出波形图。
解：根据电容电压波形的具体情况，按照时间分段来进行
计算
1.当0≤t≤1s 时，uC(t)=2t，根据式(6－2)可以得到
duC
 6 d( 2t )
iC ( t )  C
 0.5  10
 1  10 6 A = 1μA
dt
dt
2.当1s≤t≤3s时，uC(t)=4-2t，根据式(6－2)可以得到
duC
 6 d( 4  2t )
iC ( t )  C
 0.5  10
 1  10 6 A  1μA
dt
dt
3.当3s≤t≤5s时，uC(t)=-8+2t，根据式(6－2)可以得到
duC
 6 d( 8  2t )
iC ( t )  C
 0.5  10
 1  10 6 A  1μA
dt
dt
4.当5s≤t时，uC(t)=12-2t，根据式(6－2)可以得到
duC
 6 d(12  2t )
iC ( t )  C
 0.5  10
 1  10 6 A  1μμ
dt
dt
在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为
1 t
uC ( t )   iC ( )d
C 
1 0
1 t
  iC ( )d   iC ( )d
C 
C 0
1 t
 uC (0)   iC ( )d
C 0
其中
1
uC (0) 
C

0
i ( )d
 C
( 6  3)
称为电容电压的初始值。
1 t
uC ( t )   iC ( )d
C 
1 0
1 t
1 t
  iC ( )d   iC ( )d  uC (0)   iC ( )d
C 
C 0
C 0
( 6  3)
从上式可以看出电容具有两个基本的性质
(1)电容电压的记忆性
从式（6－3）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)，
要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，
此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定
的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的
电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。
图(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，
使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电压uin(t)波
形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。
峰值检波器电路的输入输出波形
(2)电容电压的连续性
从例6－1的计算结果可以看出，电容电流的波形是不
连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑
的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即
电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内
是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到
证明。
将 t=T 和 t=T+dt 代 入 式 (6 － 3) 中 ， 其 中 t1<T<t2 和
t1<T+dt<t2得到
1 T  dt
u  uC (T  dt )  uC (T )  
iC ( )d
T
C
dt  0
0
当i ( )有界时
当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用
下式表示
uC (t  )  uC (t  )
对于初始时刻t=0来说，上式表示为
uC (0 )  uC (0 )
(6  4)
利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作
用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。
例: 图示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻断开瞬间电容
电压的初始值uC(0+)。
解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定
值，造成电容电流等于零，即
duC
iC ( t )  C
0
dt
电容相当于开路。此时电容电压为
R2
uC (0 ) 
US
R1  R2
当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下，电容
电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到
R2
uC (0 )  uC (0 ) 
US
R1  R2
3）电感电路
对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考
方向的情况下，可以得到
dΨ d( Li)
di
u( t ) 

L
dt
dt
dt
(6  7)
此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正
比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，
电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。
在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压
电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。
在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为
1 t
i L ( t )   uL ( )d
L 
1 0
1 t
  uL ( )d   uL ( )d
L 
L 0
1 t
 i L (0)   uL ( )d
L 0
其中
1 0
i L (0)   uL ( )d
L 
称为电感电流的初始值。
(69-8
 8)
从上式可以看出电感具有两个基本的性质。
(1)电感电流的记忆性
从式（9－8）可见，任意时刻T电感电流的数值iL(T)，要
由从-到时刻T 之间的全部电压来确定。
也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T
的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅
取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种
记忆元件。
(2)电感电流的连续性
从电感电压、电流的积分关系式可以看出,电感电压在
闭区间[t1,t2]有界时，电感电流在开区间(t1,t2)内是连续的。
i  i L ( t＋)  i L ( t－)
1 t＋
  uL ( )d  0
L t－
当uL ( )有界时
也就是说，当电感电压有界时，电感电流不能跃变，
只能连续变化，即存在以下关系
i L (t  )  i L (t  )
电感电流的跃变要伴随电感储存
能量的跃变，在电压有界的情况
对于初始时刻t=0来说，上式表示为
下，是不可能造成磁场能量发生
突变和电感电流发生跃变的。
iL (0 )  iL (0 )
(6  9)
利用电感电流的连续性，可以确定电路中开关发生作
用后一瞬间的电感电流值。
为什么电感电流不能轻易跃变?
图 6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关
未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电感
电压满足：i=0，uL=0。
t=0 时合上开关。接通电源很长时间后，电路
达到新的稳定状态，电流 i 和电感电压满足：
i= US/R ，uL= 0 。
电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图
6.3（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直
接进入t＞0后新的稳定状态。说明含电感的电路
在换路时需要一个过渡期。
从以上分析需要明确的是：
1.换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或
断开或电路参数变化；
2.含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡
过程产生的原因是由于储能元件L、C ，在换路时能
量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间
来完成，
3.代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、
电流随时间的变化过程。
动态电路的方程
分析动态电路，首先要建立描述电路
的方程。动态电路方程的建立包括两
部分内容：一是应用基尔霍夫定律，
二是应用电感和电容的微分或积分
的基本特性关系式。下面通过例题给
出详细的说明。
设 RC 电路如图 6.4 所示，根据 KVL 列出回路方程为：
由于电容的 VCR 为：
从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：
若以电流为变量，则有：
对以上方程求导得：
考察上述方程可得以下结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，
一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该
电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路；
（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：
9.1.2 电路初始条件的确定
求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件
来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为
变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电
压或电感电流的初始值。
若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬
间记为0－，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0
＋时u ，i 及其各阶导数的值。
(1)电容电压和电感电流的初始条件
由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见
第一章），所以上两式中的积分项为零，从而有：
对应于
以上式子称为换路定律，它表明：
1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电
压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律
的体现。
2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流
（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。
需要明确的是:
1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的
条件。
2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。
（2）电路初始值的确定
根据换路定律可以由电路的uC(0－) 和iL(0－) 确
定uC（0+）和iL(0+) 时刻的值 , 电路中其他电流
和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0+ 等效电路求
得。
求初始值的具体步骤是：
1）由换路前 t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求uC (0－)
或 iL (0－)
2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；
3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电
流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电
流方向相同）；
4）由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。
例9-1 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+)
解：
(1) 由图(a) t=0－电路求得：uC (0－)=8V
(2) 由换路定律得：uC (0＋)=uC (0－)=8V
(3) 画出0＋等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，
解得：
注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即：
例9-2 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压 uL (0+) 。
解：(1) 首先由图(a)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b）
所示，则：
(2) 由换路定律得： iL (0+) = iL (0－)= 2A
(3) 画出 0+ 等效电路如图 (c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得：
注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即
例9－3 图示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻
断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。
解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定
值，造成电容电流等于零，即
duC
iC ( t )  C
0
dt
电容相当于开路。此时电容电压为
R2
uC (0 ) 
US
R1  R2
当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下，电容
电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到
R2
uC (0 )  uC (0 ) 
US
R1  R2
请看下一节
• 9.2 一阶电路的零输入响应
9.2 一阶电路的零输入响应
动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零，仅
由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
9.2.1 RC 电路的零输入响应
，
如图所示的 RC 电路在开关倒向2端前已充电，电容电压uC (0－)=
U0，开关倒向2端后，电容电压不能跃变，即 ：
uC (0 )  uC (0 )  U0
由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电
容电压相同，即
uR (0 )  uC (0 )  U0
电阻的电流为
U0
i R (0  ) 
R
该电流在电阻中引起的功率和能量为
p(t )  Ri (t )
2
R
WR (t )＝R i ( )d
t
2
0 R
电容中的能量为
1 2
WC ( t )  Cu ( t )
2
随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，
这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容
放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值
uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢
取决于电阻消耗能量的速率。
为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到
 uR  uC  0
由KCL和电阻、电容的VCR方程得到
duC
uR  Ri R   RiC   RC
dt
代入上式得到以下方程
duC
RC
 uC  0
dt
(t  0)
(9  11)
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为
uC (t )  Ke st
代入式(9－11)中，得到特征方程
RCs  1  0
(9 12)
其解为
1
s －
RC
称为电路的固有频率。
(9  13)
于是电容电压变为
uC (t )  Ke

t
RC
t0
式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变
为
uC (0 )  Ke

t
RC
K
根据初始条件
uC (0 )  uC (0 )  U0
求得
K  U0
最后得到图(b)电路的零输入响应为
uC (t )  U 0e

t
RC
(t  0)
(9  14a )
(t  0)
(9  14b)
(t  0)
(9  14c)
t
duC
U 0  RC
iC (t )  C
 e
dt
R
t
U 0  RC
iR (t )  iC (t ) 
e
R
从式(9－14)可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C
的乘积。令 =RC，由于  具有时间的量纲，故称它为RC
电路的时间常数。引入  后，式9－14表示为
uC (t )  U 0e

t
τ
(t  0)
(9  15a )
(t  0)
(9  15b)
(t  0)
(9  15c)
t
duC
U0  τ
iC (t )  C
 e
dt
R
t
U0  τ
iR (t )  iC (t ) 
e
R
图9－14 RC电路零输入响应的波形曲线

t
τ
下面以电容电压 uC (t )  U 0e 为例，说明电压的变化与
时间常数的关系。
当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0。表9－1
列出t等于0、、2、3、4、5 时的电容电压值，由于波
形衰减很快，实际上只要经过4～5的时间就可以认为放电
过程基本结束。
t
0

2
3
4
5

uC(t)
U0
0.368U0
0.135U0
0.050U0
0.018U0
0.007U0
0
RC电路零输入响应的波形曲线
电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为


0
0
WR＝ i R2 ( t ) Rdt  
U 0  RCt 2
1
( e
) Rdt  CU 02
R
2
计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全
部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消
耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的
快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。
例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容C，
就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加
电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程
的时间加长。
这就可以解释当时间常数=RC变大，电容放电过程会
加长的原因。
从以上分析可以得出：
1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图所示；
2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关。
令τ= RC
τ大 → 过渡过程时间长，
τ小 → 过渡过程时间短
3）在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗，即：
例 电路如图(a)所示， t=0开关由1倒向2， 求t > 0的电容电
压和电容电流。
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到
uC (0 )  uC (0 )  6V
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电
阻值为
6 3
Ro  (8 
)k  10k
6 3
得到图(b)所示电路，其时间常数为
  RC  1010  5 10 S
3
2
 5 10  0.05S
6
根据式(9－15)得到
uC ( t )  U 0e

t

 6e  20 t V
duC
U 0  t
iC ( t )  C

e
dt
R
6
 20 t

e
mA
3
10  10
 0.6e  20 t mA
( t  0)
( t  0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替
电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
3
1
iR (t )  
iC ( t )   0.6e  20 t mA  0.2e  20 t mA
36
3
9.2.2、RL电路的零输入响应
我们以图(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算
过程。
电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，
在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)=
iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，
这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。
综上所述，图(b)所示RL电
路是电感中的初始储能逐渐释
放出来消耗在电阻中的过程。
与能量变化过程相应的是各电
压电流从初始值，逐渐减小到
零的过程。
列出KCL方程
uR
iR  iL 
 iL  0
R
代入电感VCR方程
diL
uR  uL  L
dt
得到以下微分方程
L di L
 iL  0
R dt
(9  16 )
这个微分方程与式(9－11)相似，其通解为
iL (t )  Ke
R
 t
L
(t  0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得
K  I0
最后得到电感电流和电感电压的表达式为
iL (t )  I 0e
R
 t
L
 I 0e

t
τ
(t  0)
(9  17a )
t
R

 t
diL
L
uL (t )  L
  RI0e   RI0e τ
dt
(t  0)
(9  17b)
其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律
衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R具有时间的量
纲，称为RL电路的时间常数。
例9－7 电路如图(a)所示，开关S1连接至1端已经很久，
t=0时开关S由1端倒向2端。求t0时的电感电流iL(t)
和电感电压uL(t)。
解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故
i L (0 )  i L (0 )  0.1A
将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得
到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为
L 0.2H
＝ ＝
 10  3 s  1ms
R 200 
根据式9－7得到电感电流和电感电压为
i L ( t )  I 0e

t
τ
 0.1e
10 3 t
A
( t  0)
di L
3 10 3 t
10 3 t
uL ( t )  L
 0.2  0.1  10 e
V  20e
V ( t  0)
dt
通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表
明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律
衰减到零，一般表达式为
f (t )  f (0 )e

t

因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各
元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要
将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。
小结：
1
一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响
应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般
表达式 可以写为：

y(t )  y(0 )e
RC电路
RL电路
uc (t )  U 0e
iL (t )  I 0e


t

t


t

duc
U0
ic (t )  C

e
dt
R

t

diL
u L (t )  L
  RI0e
dt

t

2 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，
其中RC电路τ=RC , RL电路τ=L/R ，R 为与动
态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为
零输入线性。
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• §9.3 一阶电路的零状态响应
《
电
路
与
电
工
基
础
》
电
子
教
案
讲课内容
§9.3 一阶电路的零状态响应
§9.3 一阶电路的零状态响应
初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或
输入)引起的响应，称为零状态响应。本节只讨论
由直流电源引起的零状态响应。
一、 RC电路的零状态响应
下图所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。
t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，
电压源通过电阻对电容充电。
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
uC(0-)=0
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
uC(0-)=0
(a) t<0 的电路
(b) t>0 的电路
uC(0+)=0
以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程
uR  uC  US
RiC  uC  US
duC
RC
 uC  U S
dt
(9  18)
duC
RC
 uC  U S
dt
(9  18)
这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解
答由两部分组成，即
uC (t )  uCh (t )  uCp (t )
(9 19)
式中的uCh(t)是与式（9－18）相应的齐次微分方程
的通解，其形式与零输入响应相同，即
uCh (t )  Ke st  Ke

t
RC
(t  0)
式(9－19)中的uCp(t)是式(9－18)所示非齐次微分方程的
一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于
直流电源激励的电路，它是一个常数，令
uCp (t )  Q
duC
RC
 uC  U S
dt
(9  18)
将它代入式(6－18)中求得
uCp (t )  Q  US
因而
uC (t )  uCh (t )  uCp (t )  Ke

t
RC
 US
(9  20)
式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时
uC (0 )  K  US  0
由此求得
K  US
uC (t )  US (1  e

t
RC
)
代入式(9－20)中得到零状态响应为
uC (t )  U S (1  e

t
RC

t
τ
)  U S (1  e )
t
(t  0)
(9  21a )
(t  0)
(9  21b)
t
duC U S  RC U S  τ
iC (t )  C

e

e
dt
R
R
其波形如图所示。
RC电路的零状态响应曲线
t

τ
uC (t )  US (1  e )
U S τt
iC ( t ) 
e
R
从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，
经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过
(4～5)时间后电容电压实际上达到US。
电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零。
零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。当时
间常数 越大，充电过程就越长。
例9－8 电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。
t=0 打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以
及电阻电流i1(t)。
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到
uC (0 )  uC (0 )  0
先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维
宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中
Uoc  100V
Ro  100  150  250
电路的时间常数为
τ  RoC  250 106 F  250106 s  250μs
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得
UC ()  Uoc  100V
按照式(6－11)可以得到

t
τ
uC ( t )  U oc (1  e )  100(1  e
 410 3 t
( t  0)
)V
duC
6
3  410 3 t
 410 3 t
iC ( t )  C
 10  100 4  10 e
 0.4e
A
dt
( t  0)
为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到
i1 (t )  I S  iC (t )  (1  0.4e
 410 3 t
)A
(t  0)
二、RL电路的零状态响应
RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。图示
电路在开关转换前，电感电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时
开关由a倒向b，其电感电流和电感电压的计算如下
RL电路的零状态响应
以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程
i R  i L  IS
UL
 iL  IS
R
L diL
 iL  I S
R dt
(t  0)
(9  22)
这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答为
常系数非齐次一阶微分方程的其解答为
iL (t )  iLh (t )  iLp (t )  Ke
R
 t
L

t

 IS  Ke  IS
(9  23)
式中 =L/R是该电路的时间常数。常数K由初始条件确定，即
i L (0 )  i L (0 )  K  I S  0
由此求得
K   IS
i L (t )  I S (1  e

R
t
L
)
最后得到RL一阶电路的零状态响应为
iL (t )  I S (1  e
uL (t )  L
R
 t
L

t

)  I S (1  e )
diL
 RISe
dt
R
 t
L
 RISe

t

(t  0)
(9  24a )
(t  0)
(9  24b)
其波形曲线如图所示。
RL电路零状态响应的波形曲线
例9－9 电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。
t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。
i L (0  )  0
解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电
感电压有界，电感电流不能跃变，即
i L (0  )  i L (0  )  0
将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电
路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为
L 0.4


s  0.05s
Ro
8
i L (t )  1.5(1  e
20t
)A
按照式(9－24)可以得到
i L ( t )  1.5(1  e 20 t )A
( t  0)
di L
uL ( t )  L
 0.4  1.5  20e  20 t V  12e 20 t V
dt
( t  0)
假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧
姆定律求得
36V  uL ( t ) 36V  12e 20 t V
i(t ) 

 (1.5  0.5e  20 t )A
24
24
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• §9.4
一阶电路的完全响应
§9.4
一阶电路的完全响应
由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全
响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路
如(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0。t=0时开关
倒向2端。t >0 时的电路如图(b)所示。
RC电路的完全响应
UC(0+)=U0
为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，
列出图(b)所示电路的微分方程
duC
RC
 uC  U S
dt
(t  0)
(9  25)
其解为
uC (t )  uCh (t )  uCp (t )  Ke

t
RC
 US
代入初始条件
uC (0 )  U0  K  US
求得
K  U0  US
uC (t )  (U0  US )e

t
RC
 US
于是得到电容电压以及电容电流的表达式
uC (t )  uCh (t )  uCp (t )  (U0  US )e
uC (t )  (U 0  U S )e


t
RC
 US
t

 US
全响应  固有响应  强制响应
全响应  瞬态响应  稳态响应
(t  0)
(9  26)
第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有
响应或自由响应，若时间常数 >0，固有响应将随时间增
长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响
应。
第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输
入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t时，
uC(t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应。
uC (t )  (U 0  U S )e

t

 US
全响应  瞬态响应 稳态响应
(t  0)
(9  26)
式(9－26)可以改写为以下形式
uC (t )  U 0e

t


t

 U S (1  e )
(t  0)
(9  27)
全响应＝零输入响应＋ 零状态响应
式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应，
第二项为输入(独立电源)单独作用引起的零状态响应。
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响
应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以
叠加的一种体现。
以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用
全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实
际电路存在的是电压电流的完全响应。
全响应
全响应
稳态响应
零状态响应
瞬态响应
零输入响应
(a) 全响应分解为固有响应与强制响应之和
(b) 全响应分解为零输入响应与零状态响应之和
9.4.2 三要素法
一阶电路的数学模型是一阶微
分方程 ：
其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为 ：
t= 0+ 时有 ：
则积分常数：
代入方程得：
注意直流激励时 ：
以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的
初值 f（0+），稳态值 f（￥）及时间常数τ的三个要素
的问题。求解方法为：
1 f（0+）：用 t → ￥的稳态电路求解；
2 f（￥）： 用 0+ 等效电路求解；
3 时间常数τ：求出等效电阻，则电容电路有τ=RC ，电
感电路有:τ=L/R。
例9－10 图(a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断
开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。
解1：
用三要素法求解
一、在t<0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为
U S 10V
iL (0 ) 

 0.25A
R2 40
二、对于直流激励，稳态时电感相当于导线，所以可求得
il () 0  0.2 A
三、时间常数
L 0.1H
 
 0.002s  2ms
R0 50
代入三要素公式
可得全响应
电流为
iL (t )  0.2  (0.25  0.2)e
 (0.05e
500 t
 0.2)A

t

(t  0)
解2 ：电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响
应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的
零输入响应为
i'L (t )  i L (0 )e

t

 0.25e 500 t A
电感电流iL(t)的零状态响应为

t

i"L (t )  i Lp (1  e )  0.2(1  e 500 t )A
iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和
i L ( t )  i'L ( t )  i"L ( t )
 0.25e  500 t A  0.2(1  e  500 t )A
 (0.05e 500 t  0.2)A
( t  0)
电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得
di L
uL ( t )  L
 2.5e  500 t V
dt
( t  0)
本章结束
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