Transcript Урок "Теорема косинусов и синусов"

Определить вид треугольника
(остроугольный, прямоугольный,
тупоугольный)
• Стороны треугольника равны 3,4,5 см
• Стороны треугольника равны 5, 12,13 см
• Стороны треугольника равны 4, 6, 8 см
4 см
350
450
Найти стороны
треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов
Геометрия
9 класс
Цели урока
• Найти способ находить стороны и углы
треугольников по трем известным
элементам
• Доказать теорему синусов
• Доказать теорему косинусов
Сформулируйте теорему о площади
треугольника
• Площадь треугольника равна половине
произведения двух его сторон на синус
угла между ними.
Запишите, чему равна площадь треугольника АВС
1
1
1
S  AB  BC sin B  AC  BC sin C  AB  AC sin A
2
2
2
AB sin B  AC sin C
AB
AC
ВС


sin C sin B
sin A
В
А
С
Теорема синусов
• Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов
N
MN
NF
MF


sin F sin M sin N
M
F
В
ВС
AB
AC


sin A
sin C sin B
А
С
Запишите теорему синусов для
треугольников:
• АВС
• МNP
• POH
• TDK
АВ
ВС
АС


sin C sin A sin B
Теорема косинусов
• Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
N
F
M
MN  MF  FN  2MF  FN cosF
2
2
2
Запишите теорему косинусов для
треугольников:
• АВС
АВ  AC  BC  2 AC  BC cosC
2
2
2
AC  AB  BC  2 AB  BC cosB
2
2
2
BC  AB  AC  2 AB  AC cosA
2
• MNP
• POH
• TDK
2
2
Доказательство:
у
С (bcos A;bsin A)
b
a
Дано:
ΔАВС
АВ=с
АС=b
BC=a
Доказать:
а 2  b2  c 2  2bc cos A
А(0;0)
c
В (с;0) х
BC  a  b cos A  c  b2 sin 2 A 
2
2
2
2
2
 b cos A  b sin A  2bc cos A  c 
2
2
2


 b2 cos2 A  sin 2 A  2bc cos A  c 2 
 b  c  2bc cos A
2
2
Выразим косинус угла из теоремы
косинусов
АВ  AC  BC  2 AC  BC cosC
2
2
2
2 АС  ВС cosC  AC  BC  AB
2
2
AC  BC  AC
cosC 
2 AC  BC
2
2
2
2
Домашнее задание:
• П.97-98
• П.99 (решение задач – посмотреть)
• Задача