Transcript 統計學CH13

第 13 章
兩個母體比較的推論
LOGO
13.1
兩個母體的比較
在前面幾章，我們學到了估計與檢驗單一母體：
母體平均數 µ
母體比例 p
本章之目的在比較兩個母體，我們呈現幾個不同的
方法，感興趣的參數是：
兩個平均數之間的差異。
兩個母體變異數的比率。
兩個比例之間的差異。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第466-467頁
13.2
兩母體平均數差異的推論
為了檢定與估計兩母體平均數之間的差異，我們分別從兩個
母體抽出隨機樣本。我們討論獨立樣本，即定義獨立樣本為
相互之間完全無關的樣本。
母體1
樣本，大小： n1
參數：
（計算母體2的
Copyright ©2010 Cengage Learning
統計量：
與母體1的方式類似）
第13章 兩個母體比較的推論 第467頁
13.3
兩母體平均數差異的推論
因為我們要比較兩個母體平均數間差異，我們使用
統計值
為µ1- µ2的不偏及一致的估計量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第467頁
13.4
的抽樣分配
1. 如果母體為常態或近似常態，或者如果母體是非
常態但是樣本很大(n1, n2 > 30) ，則
為常
態分配。
2.
的期望值是 µ1- µ2
的變異數是
3.
以及標準誤是
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第468頁
13.5
μ1-μ2的推論
如果母體為常態或近似常態，或者如果母體是非常
態但是樣本很大，則
為常態分配。因此：
是一標準常態（或近似常態）的隨機變數。
我們可以藉此計算出µ1 - µ2的檢定統計量與信賴區
間估計量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第468頁
13.6
μ1-μ2的推論
然而，這些公式很少被使用，因為母體變異數σ12與
σ22在實務上通常是未知的。
??
我們用t- 測量值替代。
我們思考兩個未知母體變異數的案例：何時我們相
信它們是相等的，相反地，何時它們不相等。
更多關於此內容如下…
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第468頁
13.7
μ1-μ2的檢定統計量(相等變異數)

計算
—被稱為混合變異數估計量(pooled
variance estimator)…
在此使用：
自由度
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第469頁
13.8
μ1-μ2 的信賴區間估計量(相等變異數)

當母體變異數相等時，μ1-μ2 的檢定統計量被給
定為：
混合變異數估計量
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第469頁
自由度
13.9
μ1-μ2的檢定統計(不相等變異數)

當母體變異數不相等時，μ1-μ2 的檢定統計量被
給定為：
同樣地，信賴區間估計量為：
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第469-470頁
自由度
13.10
該選擇哪個檢定統計量？
我們該選擇哪一種檢定統計量？相等變異數或不等
變異數？
無論是否有證據去推論母體變異數是相異的，我們
將進行
相等變異數 t- 檢定
因此，任何兩個給定樣本：
12=22 的自由度
≥
12≠22 的自由度
較大的自由度，同樣的擁有
較大的樣本
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第470頁
≥
13.11
檢定母體變異數
檢定的假設是
H0: σ12 / σ22 = 1
H1: σ12 / σ22 ≠ 1
檢定統計量：s12 / s22，服從自由度為ν1 = n1– 1 和ν2 =
n2 −2的F- 分配
所需要的條件等同於對µ1 - µ2 的t- 檢定條件，及兩
母體皆服從常態分配。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第471頁
13.12
檢定母體變異數
這是一個雙尾檢定，所以拒絕域為
F  F / 2,1 , 2 或 F  F1 / 2,1 , 2
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第471頁
13.13
範例13.1
數以百萬計的投資人購買共同基金，從數千種可能
的基金中做選擇。
有些基金可以直接向銀行或財務機構購買，而有些
則必須透過收取服務費的經紀人購買。
這產生一個問題。投資人直接購買是否能夠比透過
經紀人購買做得更好。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第471頁
13.14
範例13.1
為了回答這個問題，一群研究人員從直接購買以及
透過經紀人購買的共同基金中隨機抽樣年度報酬率，
並且記錄了年度淨報酬率，它為扣除所有相關費用
之的投資報酬，如 Xm13-01所列。
在5%的信賴水準下，我們是否能夠結論：直接購買
的共同基金表現得比透過經紀人購買的共同基金好？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第471-472頁
13.15
辨識方法
範例13.1
為了回答此問題，我們必須比較直接購買與透過經
紀人購買共同基金報酬率的母體。
很明顯地，資料是區間的（我們記錄了真實的數
字）。
這個問題目的－資料型態的組合告訴我們要被檢定
的參數是兩個平均數之間的差異µ1- µ2。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第472頁
13.16
辨識方法
範例13.1
要檢定的假設是直接購買共同基金的平均淨報酬率
(µ1)大於透過經紀人購買共同基金的平均淨報酬率
(µ2)因此，對立假設為
H1: µ1- µ2 > 0
和
H0: µ1- µ2 = 0
要決定應用哪一個µ1- µ2的 t- 檢定，我們執行σ12/ σ22
的 F- 檢定。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第472頁
13.17
計算
範例13.1
由資料我們計算下列的統計量
s12 = 37.49 與 s22 = 43.34
檢定統計量 F = s12/ s22 = 37.49/43.34 = 0.86
拒絕域
F  F / 2,1 , 2  F.025,49,49  F.025,50,50  1.75
或
F  F1 / 2,1 , 2  F.975,49,49  1/ F.025,49,49  1/ F.025,50,50  1/ 1.75  .57
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第472頁
13.18
計算
範例13.1
檢定統計量的值是F ＝ .8650。Excel 輸出單尾 p- 值。
因為我們執行雙尾檢定，我們將這個值加倍。因此，
這項檢定的p- 值是2 × .3068 = .6136。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第473頁
13.19
詮釋
範例13.1
沒有足夠的證據去推論母體變異數不同。因此我們
必須應用µ1- µ2 的相等－變異數 t- 檢定。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第473頁
13.20
計算
範例13.1
點選Data、Data Analysis，與t-Test: Two-Sample Assuming
Equal Variances。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.21
計算
範例13.1
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第474頁
13.22
詮釋
範例13.1
檢定統計量的值是2.29。單尾p- 值是.0122。
我們觀察到這項檢定的 p- 值是小的( 並且檢定統計
量落在拒絕域之中)。
因此，我們結論有充分的證據去推論平均而言直接
購買共同基金的表現超越透過經紀人購買的共同基
金。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第475頁
13.23
信賴區間估計
假設我們想要知道直接購買共同基金與透過經紀人
購買共同基金之間平均報酬率差異的95% 信賴區間
估計值。
對相同的母體變異數，平均數之間差異的信賴區間
估計量是
(x1  x 2 )  t  / 2
2
s p 
1
1 


 n1 n 2 
直接購買共同基金與透過經紀人購買共同基金之間
平均報酬率差異的95% 信賴區間估計值
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第475.476頁
13.24
計算
信賴區間估計
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第476頁
13.25
詮釋
信賴區間估計
 我們估計直接購買共同基金的報酬率平均大於透
過經紀人購買共同基金的報酬率在.38 與5.43 個百
分點之間。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第476頁
13.26
範例13.2
當家族經營企業被老闆的兒子或女兒接管時會發生
什麼情況？
如果新老闆是公司擁有者的下一代時，經過改變之
後的企業是否經營得比較好，或是由外來者當執行
長(CEO) 時，企業會經營得比較好？
為了求得答案，研究人員在1994 與2002 年之間隨機
選取140 家公司，其中30%把所有權傳給下一代，
70% 則是指定外來者當CEO。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第476頁
13.27
範例13.2
對於每一家公司，研究人員根據資產的比例計算新
CEO 接管前一年和後一年的經營收入。
這個變數的改變( 之後的經營收入－之前的經營收入)
被記錄並且列於Xm13-02。
這些資料是否容許我們去推論使用下一代CEO 的影
響力不同於聘請外來者當CEO 的影響力？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第476頁
13.28
辨識方法
範例13.2
本例的目的是要比較兩個母體：
母體群體1：公司擁有者的兒子或女兒成為CEO的前
後平均差異。
母體群體2：公司指定外來者當CEO的前後平均差異。
資料是區間的(經營收入)。
兩母體平均數之間的差異µ1- µ2，其中µ1是母體群體
1，而µ2為母體群體2。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第477頁
13.29
辨識方法
範例13.2
因為我們想要決定兩個平均數之間是否存在著差異
(difference)，對立假設為
H1: µ1- µ2 ≠ 0
以及虛無假設為
H0: µ1- µ2 = 0
我們必須決定是否應用µ1- µ2 的相等變異數t- 檢定，
或是µ1- µ2 的不等－變異數 t- 檢定。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第477-478頁
13.30
辨識方法
範例13.2
為了決定要應用哪一個 t- 檢定，我們執行σ12 / σ22 的F- 檢定。
由資料我們計算下列的統計量。
s12 = 3.79 和 s22 = 8.03
檢定統計量 F = 3.79/8.03 = 0.47
拒絕域 F  F / 2,1 ,2  F.025,41,97  F.025,40,100  1.54
或 F  F1 / 2,1 ,2  F.975,41,97  1/ F.025,97,41  1/ F.025,100,40  1/ 1.59  .63
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第477頁
13.31
辨識方法
範例13.2
點選 Data, Data Analysis，與 F-Test Two Sample for
Variances
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.32
辨識方法
範例13.2
檢定統計量的值是 F ＝.47以及 p- 值＝ 2×.0040
＝ .0080。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第478頁
13.33
辨識方法
範例13.2
因此，適當的方法是µ1- µ2的不等－變異數 t- 檢定。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第478頁
13.34
計算
範例13.2
點選Data、Data Analysis，與t-Test: Two-Sample
Assuming Unequal Variances 。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.35
計算
範例13.2
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第479頁
13.36
詮釋
範例13.2
t- 統計量為-3.22 並且其 p- 值是 .0017。因此，我們
下結論說有充分的證據去推論經營收入的平均改變
有差異。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第479頁
13.37
信賴區間估計
我們也可以用計算信賴區間估計量的方式產生有關
兩母體平均數間差異的推論。我們使用m1 － m2 的
不等－變異數信賴區間估計量以及95%的信賴水準。
我們使用Estimators工作簿中的t-Estimate_2 Means
(Uneq-Var) 工作表或手算。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第480頁
13.38
計算
信賴區間估計
啟動Estimators工作簿中的t-Estimate_2 Means
(Uneq-Var) 工作表並且帶入樣本統計量與信賴水準。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第480頁
13.39
詮釋
信賴區間估計
 我們估計外聘CEO 經營收入的平均改變超越下一
代CEO 經營收入的平均改變在 .51 到2.16 個百分
點之間。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第480頁
13.40
檢查必要的條件
相等－變異數和不等－變異數兩種方法皆要求兩母
體為常態。如同以前，我們能夠藉著畫資料的直方
圖來檢查這項條件是否被滿足。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第480頁
13.41
檢查必要的條件：範例13.1
.
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第481頁 圖13.2 & 圖13.3
13.42
檢查必要的條件：範例13.2
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第481.482頁 圖13.4 & 圖13.5
13.43
必要條件的違背
當常態的條件不被滿足時， 我們可以使用一個無母
數方法──Wilcoxon 等級和檢定(Wilcoxon rank sum
test) 來取代µ1-µ2的相等－變異數 t- 檢定。
當母體是非常態時，我們並沒有對µ1-µ2的不等－變
異數 t- 檢定之無母數替代方案。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第482頁
13.44
專有術語
來自第一個樣本的所有觀測值被儲存於一欄，而來自第二個
樣本的所有觀測值被儲存於另一欄，資料被稱為非堆疊式
(unstacked) 。
如果來自兩種樣本的所有資料
被儲存在同一欄中，則稱資料
為堆疊式(stacked)。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第482頁
13.45
發展對統計觀念的了解 1
本節的公式相對於其他章節是比較複雜的。但是，
在觀念上，兩個檢定定統計量都是基於我們在第11
章和第12 章介紹的方法。
也就是，檢定統計量的值是統計量 x 1  x 2 和參數1
- 2 假設值之間的差距，以標準誤為衡量單位。
統計量  參數
檢定統計量 
標準誤
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第483-484頁
13.46
發展對統計觀念的了解 2
如同對 p 的區間估計量，對所有在此介紹的推論程
序，標準誤必須從資料估計。
我們用來計算x1 － x2 標準誤的方法取決於母體變異
數是否相等。當它們相等，我們使用混合變異數估
計量sp2 來計算。
我們在此應用一個重要的原則，而且我們將在13.5
節和之後的章節中再次應用此原則。此原則是，如
果可能，混合樣本資料來估計標準誤是較具優勢的。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第484頁
13.47
發展對統計觀念的了解 2
這個原則可以概略敘述如下：只要可能，混合樣本資料去估
計標準誤是較具優勢的。在先前的應用中，我們能夠混合是
因為我們假設兩組樣本是從兩個具共同變異數的母體中抽取
出來。
合併兩組樣本增加估計值的精確度。因此，sp2 是比個別用s12
或s22 更好的共同變異數估計量。
當兩母體變異數不等時，我們不能混合資料以產生一個共同
的估計量。
我們必須計算s12 和s22 並使用它們分別去估計12 和22 。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第484頁
13.48
辨識因素 I
辨識1 － 2 相等－變異數 t- 檢定和估計量的因素
1. 問題目的：比較兩個母體。
2. 資料類型：區間。
3. 敘述性測量的類型：中央位置。
4. 實驗設計：獨立樣本。
5. 母體變異數：相等。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第484頁
13.49
辨識因素 II
辨識1 － 2 不等－變異數t- 檢定和估計量的因素
1. 問題目的：比較兩個母體。
2. 資料類型：區間。
3. 敘述性測量的類型：中央位置。
4. 實驗設計：獨立樣本。
5. 母體變異數。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第484頁
13.50
範例13.3
雖然有些爭論，科學家大致同意高纖穀類可以降低罹患
各種癌症的可能性。但是，有一位科學家宣稱早餐吃高
纖穀類的人，與早餐不吃高纖穀類的人相較，平均而言
在午餐時會攝取少一點的卡路里。
如果這個宣稱為真，高纖穀類製造商將可以宜稱另一個
食用他們產品的好處——對減肥者有潛在的減重效果。
對宣稱的一項初步檢定中 · 隨機抽出150個人 · 並且詢問
他們日常早餐與午餐的食物為何。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第488頁
13.51
範例13.3
每一個人被分類為高纖穀類的消費者或非消費者，
並且在午餐所吃下的卡路里被測量且記錄下來。這
些資料如Xm13-03所列。
科學家是否能夠在5％的顯著水準下結論他的認知為
正確的？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第488頁
13.52
範例13.3
H 0 : (1   2 )  0
H1 : (1   2 )  0
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第488.489頁
13.53
範例13.3
檢定統計量的值是- 2.09。
單尾的 p- 值是.0193。
根據此結果，我們下結論說有充分的證據去推論高
纖穀物的消費者午餐的確比非高纖穀物的消費者攝
取較少的卡路里。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.54
觀測和實驗資料
從這個結果，我們傾向於相信在早餐食用高纖穀物
可能是一種減重的方法。
但是，還有其他可能的詮釋。
例如，攝取較少卡路里的人很可能是比較重視健康
的一群人，而這些人比較可能會將高纖穀物當成是
健康早餐的一部分。
在這個詮釋中，高纖穀物並不一定導致低午餐卡路
里攝取。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.55
觀測和實驗資料
另一個因素是，對健康的整體顧慮同時導致低午餐
卡路里攝取和以高纖穀物為早餐。
注意的是這個統計程序的結論是不變的。
平均而言，食用高纖穀物的人在午餐攝取較少的卡
路里。但是，因為資料蒐集的方法，我們要詮釋這
個結果是比較困難的。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.56
觀測和實驗資料
根據範例13.3的結果，我們傾向於相信在早餐食用
高纖穀物可能是一種減重的方法。
但是，還有其他可能的詮釋。例如，攝取較少卡路
里的人很可能是比較重視健康的一群人，而這些人
比較可能會將高纖穀物當成是健康早餐的一部分。
在這個詮釋中，高纖穀物並不一定導致低午餐卡路
里攝取。另一個因素是，對健康的整體顧慮將同時
導致低午餐卡路里攝取和以高纖穀物為早餐。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.57
觀測和實驗資料
假設我們用實驗的方法重做範例13.3。
我們隨機抽選出150 個人來參與這個實驗。
並隨機指派75 個人於早餐食用高纖穀物，而另外75
個人吃其他的食品。
我們接著再記錄他們每一個人在午餐所攝取的卡路
里。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.58
觀測和實驗資料
在理想的情況下，在這個實驗中，兩群人對所有其
他的面向會比較相似，包括對健康顧慮。( 越大的樣
本大小越能增加兩群體相似的可能性。)
假如統計的結果與範例13.3 的結果大致相同，我們
就有一些正當的理由去相信早餐食用高纖穀物導致
減少午餐卡路里的攝取。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第489頁
13.59
成對樣本
在13.1 節中，感興趣的參數是兩母體平均數之間的
差異，其中資料是由獨立樣本取得。
然而，假設在一個樣本中的一個觀測值與第二個樣
本的一個觀測值配對，稱為配對實驗。
為了說明我們為何會需要配對實驗以及如何處理這
種方法所產生的資料，考慮範例13.4。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第491頁
13.60
範例13.4
過去幾年一些以網路為基礎提供就業服務的公司逐
漸成立。
一位這類公司的經理想要調查最近支付給MBA 工作
的薪資。
特別是，她想要知道是否支付給主修財務者的薪資
高於主修行銷者的薪資。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第491頁
13.61
範例13.4
在初步的研究中，她隨機抽樣50 位最近畢業的MBA，
其中半數主修財務，半數主修行銷。
對每一個人，她記錄其最高的薪資( 包括紅利)。資
料列於Xm13-04。
我們是否能夠推論在這些MBA 之中，主修財務者比
主修行銷者獲得更高的薪資支付？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第491頁
13.62
辨識方法
範例13.4
參數是兩平均數的差異µ1 - µ2（其中 µ1＝提供給主
修財務者的平均最高薪資，以及µ2 = 提供給主修行
銷者的平均最高薪資）。
因為我們想要決定是否主修財務者被提供較高的薪
資，對立假設將指定 µ1大於µ2。
對變異數執行 F- 檢定，使用相等一變異數檢定統計
量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第491頁
13.63
辨識方法
範例13.4
假設分別為：
H 0 : (1   2 )  0
H1 : (1   2 )  0
Excel的結果為：
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第492頁
13.64
計算
範例13.4
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第493頁
13.65
詮釋
範例13.4
檢定統計量的值(t =1.04) 與其 p- 值 (.1513) 指出只有
很少的證據可以支持主修財務者比主修行銷者獲得
較高薪資的假設。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第493頁
13.66
詮釋
範例13.4
注意我們有一些證據支持對立假設。
樣本平均數的差異為：
x 1  x 2 = (65,624 -60,423) = 5,201
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第493頁
13.67
範例13.5
假設現在我們以下列的方式重做這項實驗。
我們檢視主修財務與主修行銷MBA 的成績單。
我們隨機選取平均成績(grade point average, GPA)介
於 3.92 與 4.0 之間（最多為 4）的一位主修財務者
與一位主修行銷者。
然後我們隨機選取平均成績介於於3.84 與 3.92 之間
的一位主修財務者與一位主修行銷者。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第493-494頁
13.68
範例13.5
我們持續這個程序直到第25 對的樣本點被抽出，其
GPA是落在2.0 與2.08 之間。
( 畢業要求的最低GPA 是2.0。)
如同我們在範例13.4 中所執行的，我們記錄最高的
薪資。這些資料，與 GPA 群組，列於Xm13-05。
從這些資料我們是否可以結論主修財務者比主修行
銷者吸取較高的薪資？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第494頁
13.69
辨識方法
範例13.5
在範例 l3.4中描述的實驗是一個獨立樣本的設計。
也就是，一個樣本中的觀測值與第二個樣本中的觀
測值之間沒有關係存在。但是，在這個範例中的實
驗被設計為在一個樣本中的每一個觀測值與在另一
個樣本中的一個觀測值配對。這項配對是選擇具有
相似 GPA 的主修財務者與主修行銷者。因此，在每
一個配對組中比較不同主修的薪資是合理的。這類
的實驗稱為配對實驗(matched pairs experiment)。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第494頁
13.70
辨識方法
範例13.5
對每一個GPA 組，我們計算主修財務和行銷者薪資
之間的配對差異。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第494頁
13.71
辨識方法
範例13.5
下圖表黑字部分為原始的薪資資料(Xm13-05) ，藍字
部分為計算後的結果。
雖然一位學生不是主修財務就是
主修行銷（即獨立），但是資料
以這種方式群組使之成為配對實
驗（即，在群組#1的兩位學生是
根據他們的成績範圍被“配對”)。
平均數的差異＝差異的平均數，所以我們可以認為「配對差異的平均數」
是我們感興趣的參數：
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.72
辨識方法
範例13.5
主修財務者比主修行銷者吸取較高的薪資？
對立假設為： H1:
(我們的虛無假設為 H0:
Copyright ©2010 Cengage Learning
)
第13章 兩個母體比較的推論 第494-495頁
13.73
D的檢定統計量
辨認方法
差異的母體平均數（μD）的檢定統計量為：
在差異是常態分配的前提下，它是具有自由度v =D
－1的學生t 分配。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第495頁
13.74
計算
範例13.5
點選Data, Data Analysis，與 t-Test: Paired Two- Sample for
Means
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.75
計算
範例13.5
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第496頁
13.76
詮釋
範例13.5
檢定統計量的值是 t ＝ 3.81，具有.0004 的p- 值。現
在存在著壓倒性的證據去推論主修財務者比主修行
銷者獲得更高的薪資。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第497頁
13.77
範例13.6 μD信賴區間估計值
應用信賴區間的一般公式，我們可以推導出μD 的信
賴區間估計量：
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第497.498頁
13.78
檢查必要的條件
母體的差異被要求為常態分佈。 就如之前的作法,
我們藉著繪製差異的直方圖以檢視條件是否被滿足。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第500頁 圖13.6
13.79
必要條件的違背
假如差異是非常的非常態，我們不能採用D 的t- 檢
定。
但是我們能夠採用一個無母數方法──配對樣本的
Wilcoxon符號等級和檢定。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第500頁
13.80
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
 範例13.4 和範例13.5 展示實驗設計在統計推論上
是一項重要的因素。
 但是，這兩個範例引起了數個有關實驗設計的問
題。
1. 為何配對實驗可導致主修財務者比主修行銷者得
到較高薪資的結論，然而獨立樣本實驗卻不能？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第498頁
13.81
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
2. 我們是否應該總是使用配對樣本的實驗？是否有
使用上的缺點？
3. 當一個配對實驗被執行時，我們該如何辨識？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第498頁
13.82
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
1. 在範例13.5 中執行的配對實驗可以降低資料的變
異性。
 要了解這一點，檢查兩種樣本的統計量。在範例
13.4，我們發現 x1 － x2 ＝5,201。
 在範例13.5，我們計算xD ＝ 5,065。因此，兩個檢
定統計量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第498頁
13.83
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
 因此，兩個檢定統計量的分子是非常相似的。
 但是，因為標準誤的關係，範例13.5 的檢定統計
量比範例13.4 的檢定統計量大很多。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第498頁
13.84
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
 在範例13.4 中，我們計算
s 2p  311,330,926
2
s p 
1
1 
  4,991

 n1 n 2 
 範例13.5 產生
s D  6,647
sD
 1,329
nD
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第498-499頁
13.85
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
2. 配對實驗是否總是產生比獨立樣本實驗大的檢定
統計量？答案是，不一定。
 假設對我們的範例，我們發現公司在決定該支付
MBA 畢業生多少薪資時，並不考慮GRA。
 在這種情況，當與獨立樣本做比較時，配對實驗
並不會顯著地減少變異性。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第499頁
13.86
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
3. 正如你所見，在本書中我們處理已被執行的實驗
所產生的問題。
 因此，你的任務之一是決定適合的檢定統計量。
 在比較兩個區間資料母體的個案中，你必須決定
是否樣本是獨立的（在這樣的個案中參數是1-2)
或配對的(在這樣的個案中參數是D)以選擇正確
的檢定統計量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第499頁
13.87
獨立樣本或成對樣本：哪一種實驗設計比較好？
 為了幫助你做這個判斷，我們建議你詢問並回答
下列問題：
 是否有一些自然的關係存在於每一對觀測值之間，
它能夠提供一個合邏輯的理由去比較樣本l的第一
個觀測值與樣本 2 的第一個觀測值、樣本1的第二
個觀測值與樣本 2 的第二個觀測值，以此類推？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第499-500頁
13.88
發展對統計觀念的了解 1
本節應用了兩個在統計上最重要的原則。
第一個觀念是分析變異性的來源。在範例13.4 和範
例13.5 中，我們顯示藉由降低每一個樣本薪資之間
的變異性，能夠偵測出介於兩個主修之間的實際差
異。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.89
發展對統計觀念的了解 1
這是一個一般化分析資料程序的應用，將部分的變
異性歸屬於數個來源。
在範例13.5中，兩個變異性的來源是GPA 和MBA 的
主修。但是，我們對介於不同GPA 畢業生之間的變
異性並不感興趣。
取而代之，我們僅想要移除該變異來源，使得決定
主修財務者是否獲得較大的薪資支付更為容易。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.90
發展對統計觀念的了解1
在第14 章，我們將介紹一個稱為變異數分析
(analysis of variance) 的方法，如其名稱所建議的：
它分析變異性的來源，試圖去偵測真正的差異。
在這個程序大部分的應用中，我們將對每一個變異
性來源感興趣，而不是簡單地降低其中一個來源。
我們將這種過程稱為變異性的解釋(explaining the
variation)。解釋變異性的觀念也應用於第16 至第17
章，在其中我們將介紹迴歸分析。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.91
發展對統計觀念的了解 2
第二個在本節中展示的原則是統計實作人員能夠設
計資料蒐集的程序，使得變異性的來源能夠被分析。
在執行範例13.5 中的實驗之前，統計實作人員懷疑
不同GPA 的畢業生之間有大的差異。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.92
發展對統計觀念的了解2
因此，實驗被安排來儘可能移除那些差異所造成的
影響。
我們也可能設計實驗讓我們更容易偵測出實際的差
異以及最小化資料蒐集的成本。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.93
辨識因素
辨識D 的t- 檢定和估計量的因素：
1. 問題目的：比較兩個母體。
2. 資料類型：區間。
3. 敘述性測量的類型：中央位置。
4. 實驗設計：成對樣本。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第501頁
13.94
兩母體變異數比值的推論
到目前為止我們已經看過中央位置測量的比較，稱為兩母體
的平均數。
當看到兩母體變異數，我們考慮變異數的比值，也就是，我
們感興趣的參數是：
這個統計量
的F 分配。
Copyright ©2010 Cengage Learning
服從自由度為ν1 ＝ n1 － 1 和ν2 ＝ n2 －1
第13章 兩個母體比較的推論 第503頁
13.95
兩母體變異數比值的推論
虛無假設永遠表達為
H0:
(我們的虛無假設將永遠指向兩個母體的變異數是相
等的，因此，比值將會等於1。)
因此，我們的檢定統計量是：
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第505頁
13.96
範例13.7
在範例12.3 中，我們應用一個變異數的卡方檢定去
決定是否有足夠的證據去下結論說母體變異數小於
1.0。
假設統計實作人員也從另一個容器填充機蒐集資料，
並且記錄了一個隨機樣本的填充量。在5% 的顯著水
準下，我們是否可以推論第二部機器的一致性是比
較好的。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第505-506頁
13.97
辨識方法
範例13.7
問題之目的是要比較兩個母體，資料是區間的。
由於我們想要有關兩部機器一致性的資訊 · 我們想
要檢定的參數是σ12 / σ22，其中σ12 是機器 l 的變異數
而σ22是機器 2 的變異數。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第506頁
13.98
辨識方法
範例13.7
我們必須執行σ12 / σ22的 F - 檢定以決定是否母體 2
的變異數是小於母體 l 的變異數。
換言之，我們想要決定是否有足夠的證據去推論σ12
大於σ22。因此，我們檢定的假設為
H0: σ12 / σ22 = 1
H1: σ12 / σ22 > 1
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第506頁
13.99
計算
範例13.7
點選Data、Data Analysis，與F-Test Two-Sample
for Variances。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.100
計算
範例13.7
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第506頁
13.101
詮釋
範例13.7
沒有足夠的證據去推論機器2 的變異數小於機器1 的
變異數。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第507頁
13.102
範例13.8
決定在範例13.7 中兩母體變異數比值的95% 信賴區
間估計量。
已知信賴區間估計量σ12 / σ22 為:
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第507頁
13.103
計算
範例13.8
開啟Estimators 工作簿中的F-Estimate_2 Variances
工作表，並且代入樣本變異數、樣本大小，以及信
賴水準。
我們估計 σ12 / σ22 落在.6164 和 3.1741之間。
注意 1 在這個區間之中。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第507-508頁
13.104
辨識因素
辨識的F- 檢定與估計量的因素：
1. 問題目的：比較兩個母體。
2. 資料類型：區間。
3. 敘述性測量的類型：變異性。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第508頁
13.105
兩母體比例差異的推論
我們現在將看看當資料是名目的(即：類別的)時候，
兩母體之間差異的推論。
當資料是名目的，唯一有意義的計算是計數每一種
類型發生的次數，以及計算比例。因此，在本節中
要被檢定的和估計的參數是兩母體比例之間的差異
p1–p2。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第509頁
13.106
統計量和抽樣分配
為了推論參數p1–p2，我們選取母體的樣本，計算樣
本比例並且看它們的差異
和
是p1–p2的一個不偏且一致的估計量。
我們將母體1計數成功
的次數標示為x1。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第510頁
和
13.107
抽樣分配
在樣本大小夠大的前提下，統計量
我們表達樣本大小的條件為
大於或等於5。
會近似於常態分配。
和
皆
平均數、變異數、標準誤分別是：
因此，變數
Copyright ©2010 Cengage Learning
是近似標準常態分配。
第13章 兩個母體比較的推論 第510-511頁
13.108
檢定和估計
因為母體比例(p1 & p2)未知，標準誤
是未知的。因此， 對於
的標準誤，我們有兩
種不同的估計量，取決於虛無假設。我們將在下一
頁看見案例。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第511頁
13.109
pˆ1  pˆ 2 的檢定統計量
有兩個案例可以考慮
 公式1
假如虛無假設設定為
H0: ( p1 - p2) = 0
檢定統計量是
pˆ 是混和比例估計值
Copyright ©2010 Cengage Learning
 公式2
假如虛無假設設定為
H0: ( p1 - p2) = D (D≠0)
檢定統計量為
它可以被表示為
第13章 兩個母體比較的推論 第512頁
13.110
範例13.9
General Products Company 製造與銷售各種家庭用品。
由於激烈的競爭，其產品之一──沐浴皂──的銷售
情形不佳。
為了改善銷售量，General Products 決定引進更具吸
引力的包裝。
這家公司的廣告代理商發展兩種新的設計。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.111
範例13.9
第一種設計以數種亮麗顏色為特色，與其他品牌做
區別。
第二種設計以淡綠色為底並僅僅印上該公司的商標。
為了檢定哪一種設計比較好，行銷經理選擇兩家超
市。
其中一家超市，香皂被包裝在使用第一種設計的盒
中，第二家超市則使用第二種設計。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.112
範例13.9
每一家超市的產品掃描機記錄一週之內的每一位香
皂購買者。
兩家超市記錄了五種在超市中銷售的香皂商品的條
碼後四位。 Xm13-09
General Products 品牌香皂的條碼是9077( 其他品牌
的條碼是4255、3745、7118，與8855)。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.113
範例13.9
在測試期間過後，掃描機的資料被轉換成電腦檔案。
由於第一種設計較昂貴，管理階層決定當有充分證
據讓他們下結論其為一種較佳的設計時才採用這種
設計。
管理階層應該轉換到亮麗顏色的設計或是簡單的綠
色設計？
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.114
辨識方法
範例13.9
問題之目的是比較兩個母體。第一個是在超市1 浴
皂銷售的母體，以及第二個是在超市2 浴皂銷售的
母體。
因為數值為「購買General Products 浴皂」與「購買
其他公司的浴皂」，所以資料為名目的。
這兩個因素告訴我們要檢定的參數是兩母體比例之
間的差異p1 – p2 ( 其中p1 與p2 分別代表General
Products 品牌的浴皂在超市1 與超市2 中銷售的比例)。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.115
辨識方法
範例13.9
因為我們想要知道是否有足夠的證據去採用亮麗顏
色的設計，對立假設為
H1: (p1 – p2) > 0
虛無假設一定是
H0: (p1 – p2) = 0
這告訴我們這是一個公式1 的應用。因此，檢定統
(pˆ 1  pˆ 2 )
計量為
z
 1
1 
ˆp(1  pˆ )
 n  n 
2 
 1
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第514頁
13.116
計算
範例13.9
點選Add-Ins、Data Analysis Plus，與Z-Test : 2
Proportions。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.117
計算
範例13.9
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第515頁
13.118
詮釋
範例13.9
檢定統計量的值是z ＝ 2.90；其 p- 值是.0019。有充
分的證據去推論亮麗顏色的設計比簡單的設計更受
歡迎。因此，建議管理階層可以轉換到第一種設計。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第516頁
13.119
範例13.10
假設在範例13.9 中，亮麗顏色設計的額外成本要求
它必須比簡單設計的銷售多3%。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第516頁
13.120
辨識方法
範例13.10
對立假設為
H1: (p1–p2) > .03
則虛無假設是H0: (p1–p2) = .03
由於虛無假設指定一個不為0 的差異，我
們將應用公式2 的檢定統計量。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第516頁
13.121
計算
範例13.10
點選Add-Ins、 Data Analysis Plus，與 Z-Test: 2
Proportions
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.122
計算
範例13.10
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第517頁
13.123
詮釋
範例13.10
並沒有充分的證據去推論購買亮麗顏色設計的香皂
顧客比例比購買簡單設計的香皂顧客比例高3%。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第517頁
13.124
信賴區間估計
參數為p1 – p2，以下列的信賴區間估計量來估計：
表達樣本大小的條件為
皆大於或等於 5。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第518頁
和
13.125
範例13.11
為了協助估計利潤的差異，在範例13.9 與範例13.10
中的行銷經理想要估計兩個比例之間的差異。建議
使用95% 的信賴水準。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第517頁
13.126
計算
範例13.11
點選Add-Ins、Data Analysis Plus，與Z-Estimates:
2 Proportions。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論
13.127
計算
範例13.11
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第518頁
13.128
辨識因素
辨識p1 – p2 的z- 檢定與估計量的因素
1. 問題目的：比較兩個母體。
2. 資料類型：名目。
Copyright ©2010 Cengage Learning
第13章 兩個母體比較的推論 第520頁
13.129